摘要：用等分弧長(zhǎng)函數(shù)來(lái)控制網(wǎng)格剖分，用迎風(fēng)有限差分格式來(lái)求解一類奇異攝動(dòng)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的自適應(yīng)算法。本文用了的數(shù)值試驗(yàn)證明了算法的可行性和高效性。

關(guān)鍵詞:奇異攝動(dòng)；自適應(yīng)網(wǎng)格；迎風(fēng)有限差分格式；等分原則

中圖分類號(hào)：O241文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044(2008)06-10ppp-0c

A Improved Adaptive Grid Method for a Singularly Perturbed Problem

LI Li

(Information department of Hunan business college， Changsha 410205，China)

Abstract: In this paper， the discrete solution are generated by an upwind finite difference scheme and the grid is formed by equidistributing a monitor function based on arc-length. A improved numerical experiment proved that the algorithm is feasible and efficient.

Key words: singular perturbation problems; adaptive mesh; upwind finite difference; equidistribution principle.

1 引言

近年來(lái)，研究帶邊界層對(duì)流占優(yōu)的對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題移動(dòng)網(wǎng)格算法收斂性分析問(wèn)題的網(wǎng)格構(gòu)造主要有兩種：特殊網(wǎng)格（如B-type meshes， S-type meshes）、自適應(yīng)網(wǎng)格。對(duì)比之下，在自適應(yīng)網(wǎng)格方面的工作甚少。

我們考慮如下奇異攝動(dòng)的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值近似解法：

這里0<ε<<1，ε是一個(gè)很小的正的參數(shù)。本文考慮的是更特殊的情形，即p(x)=1。

對(duì)于(1)形式的對(duì)流擴(kuò)散方程問(wèn)題，我們已有一些自適應(yīng)網(wǎng)格方面的結(jié)論。這些都是從控制函數(shù)的等分上所得到的結(jié)果[1，4，5，6]。Qiu， Sloan 和Tang[6]研究基于半離散方法的收斂速度問(wèn)題，這種方法指出精確解被應(yīng)用于控制函數(shù)中。這就使得分析變得簡(jiǎn)化，并且能夠在解區(qū)間上給出一個(gè)清晰的網(wǎng)格剖分結(jié)構(gòu)。他們證明了對(duì)于任意給定的γ∈[0，1]，總存在一個(gè)不依賴于ε和N的正常數(shù)C(γ)，使得

其中N是剖分節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，并且足夠大，ll03.tif 是數(shù)值近似值。本文的主要目的是用一種改進(jìn)的數(shù)值試驗(yàn)方法證明利用o(N-1lnN)替代（2）式的右端從而提高結(jié)論（2）的一致收斂性的可行性。其改進(jìn)之處在于剖分節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上的工作有了大大的簡(jiǎn)化。

2 問(wèn)題描述

我們考慮的是一種特殊的奇異攝動(dòng)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值近似解法。方程如下所示：

其中ε是一個(gè)很小的正數(shù)，且0<ε<<1。令[0，1]上一個(gè)任意的剖分：ΩN={xj|x0

其中所用到的算子如下面定義：

在 [0，1]上，數(shù)值網(wǎng)格由等分弧長(zhǎng)函數(shù)M(x)=??1+(u'(x))2給出，并且產(chǎn)生一個(gè)映射x=x(ξ)：

其中L是u在[0，1]上的弧長(zhǎng)。這種方法叫做半離散方法。在這篇文章中我們運(yùn)用數(shù)學(xué)試驗(yàn)討論這種數(shù)值方法的誤差分析等。

在論文中，C代表一個(gè)普通的獨(dú)立于ε以及網(wǎng)格剖分的常數(shù)，并且在不同的地方可以取不同的值。這些工作的主要結(jié)果由以下定理給出[7]。

定理1令u(x)為（3）的一個(gè)精確解，且令ll08.tif為由（6）所定義的網(wǎng)格上的有限差分格式（4）和（5）所得到的，那么存在一個(gè)不依賴于ε和N的正常數(shù)C，使得：|u(xi)-uNi|≤CN-1lnN，0

3 數(shù)值試驗(yàn)

3.1 求真解表達(dá)式?

微分方程

的真解表達(dá)式為：ll10.tif

3.2 用迎風(fēng)格式進(jìn)行離散?

我們運(yùn)應(yīng)迎風(fēng)格式得到：

此時(shí)系數(shù)矩陣A以及矩陣B和U分別為：

那么方程（9）化為：

AU=B，

3.3 構(gòu)造剖分節(jié)點(diǎn)

要求出方程的解，關(guān)鍵在于構(gòu)造出剖分節(jié)點(diǎn)，從而得到hi。它不同于我們平時(shí)一般所采取的方法：平均剖分。它是由一個(gè)控制函數(shù)（6）來(lái)給出。其中ξ是計(jì)算坐標(biāo)，x是物理坐標(biāo)。這個(gè)式子所代表的意義就是：把計(jì)算坐標(biāo)上等分弧長(zhǎng)的點(diǎn)映射到物理坐標(biāo)上，而得到的這些物理坐標(biāo)上面的點(diǎn)就不一定是等分的了。那么我們?nèi)绾蔚玫揭唤M合適的剖分節(jié)點(diǎn)呢？

以前的做法是將（6）兩端積分，再用一種迭代的方法，通過(guò)比較每一步的弧長(zhǎng)是否符合等分原則來(lái)確定剖分節(jié)點(diǎn)。此法可以驗(yàn)證定理1，但是在實(shí)施上很煩瑣。

在這里，我們采用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法，即對(duì)一階微分方程（6）用如下格式進(jìn)行計(jì)算：

其中f(ξ，x)指的是（6）的右端函數(shù)。這樣能夠用較以前更加簡(jiǎn)潔的算法輕松快捷地算出所要節(jié)點(diǎn)，且能夠達(dá)到很好的計(jì)算效果。

3.4 求近似解

最后用追趕法求得（9）的解，也即離散點(diǎn)的值{uNi}。

4 分析數(shù)據(jù)

下面給出的是真解與近似解在剖分節(jié)點(diǎn)數(shù)不同和攝動(dòng)系數(shù)取不同值時(shí)的平均誤差。

參考文獻(xiàn)：

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[6]陳艷萍.Uniform pointwise convergence for a singularly perturebed problem using arc-length

equidistribution， J. Comput. Appl. Math.， 2003(159):25-34.

[7]李桂成.計(jì)算方法[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

收稿日期：2008-01-12

作者簡(jiǎn)介：李麗（1981-），女，湖南醴陵人，碩士研究生，助教，研究方向：偏微分方程數(shù)值解法及應(yīng)用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>