摘要：線性規(guī)劃被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)、交通、國防、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域，已成為現(xiàn)代科學(xué)管理的重要手段和管理決策的有效方法，在管理中的有代表性的應(yīng)用案例有資源分配問題、員工的排班問題、運(yùn)輸問題、投資問題和成本效益平衡問題等。Exce的普及性和易學(xué)性也會(huì)讓讀者感到利用計(jì)算機(jī)求解線性規(guī)劃十分容易。本文給出運(yùn)用規(guī)劃求解，解決客戶服務(wù)中心每個(gè)班次的上班人數(shù)，使在滿足客戶服務(wù)的情況下，達(dá)到成本最低。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；規(guī)劃求解；客戶中心；排班

中圖分類號(hào)：TP311文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3044(2008)06-10ppp-0c

The Application of Settlement by Linear Programming in the Stuff Shift Arrangement of Consumer Service Center

ZHAO Hong-yan

(Shandong Yingcai Vocational Technology College， Jinan 250104， China)

Abstract: Linear programming has been applied in industry， communications， economy， and management widely， and it has become an important and efficient means of modern scientific management. The balances of resource allocation， the stuff shift arrangement， the investment and cost are the representative applied cases in management. Excel is popular and easy to learn， which makes the linear program settled by computer easy for people. Settlement by programming is explained in this article， which is used to give the most reasonable number of people in each shift in the consumer service center， in purpose of using the lowest cost to meet the consumer's need.

Key words: linear programming; the settlement of programming; consumer service center; stuff shift arrangement

1 引言

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，它的應(yīng)用已愈來愈深入到社會(huì)生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域。描述線性規(guī)劃問題的抽象的數(shù)學(xué)式子是線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型后，求解滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)中常用的方法是圖解法和單純形法，而圖解法只適用于兩個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，單純形法則計(jì)算量相當(dāng)大，步驟繁瑣，容易出錯(cuò)。在Excel中建立電子表格模型，并利用它提供的“規(guī)劃求解”工具，能輕松快捷地求解模型的解。

Excel是分析和求解線性規(guī)劃問題很好的工具，它不僅可以很方便地將線性規(guī)劃模型所有的參數(shù)錄入電子表格，而

且可以利用規(guī)劃求解工具迅速找到模型的解。Exce中的這個(gè)工具叫規(guī)劃求解，可以方便地求解線性規(guī)劃模型。

2 線性規(guī)劃在話務(wù)員排班問題中的具體應(yīng)用

用Excel解線性規(guī)劃，必須在Excel系統(tǒng)中加載“規(guī)劃求解”項(xiàng)目，“規(guī)劃求解”加載宏是Excel的一個(gè)可選加載模塊，在安裝Excel時(shí)，只有在選擇“定制安裝”或完全安裝時(shí)才可以選擇裝入這個(gè)模塊。如果沒有，可以啟動(dòng)Excel軟件，進(jìn)入Excel用戶界面，然后通過“工具”菜單的“加載宏”選項(xiàng)打開“加載宏”對(duì)話框來添加“規(guī)劃求解”，如圖1所示。

圖1 “加載宏”對(duì)話框

下面介紹線性規(guī)劃在話務(wù)員排班問題中的具體應(yīng)用過程。

某公司新建了一個(gè)客戶中心，雇用了多名話務(wù)員工作，他們每天工作3節(jié)，每節(jié)3小時(shí)，每節(jié)開始時(shí)間為0點(diǎn)、3點(diǎn)鐘、6點(diǎn)鐘，9點(diǎn)、12點(diǎn)、15點(diǎn)、18點(diǎn)、21點(diǎn)，為方便話務(wù)員上下班，管理層安排每位話務(wù)員每天連續(xù)工作3節(jié)，根據(jù)調(diào)查，對(duì)于不同的時(shí)間，由于業(yè)務(wù)量不同，需要的話務(wù)員的人數(shù)也不相同，公司付的薪水也不相同，有關(guān)數(shù)據(jù)見表1。

表1 各時(shí)間段所需的人數(shù)及應(yīng)付薪水的對(duì)照表

那如何安排話務(wù)員才能保證服務(wù)人數(shù)，又使總成本最低呢？

這個(gè)問題實(shí)際上是一個(gè)成本效益平衡問題。公司在向客戶提供滿意服務(wù)水平的同時(shí)要控制成本，因此必須尋找成本與效益的平衡。由于每節(jié)工作時(shí)間為3小時(shí)，一天被分為8班，每人連續(xù)工作3節(jié)，為建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)應(yīng)于一般成本效益平衡問題，我們首先必須明確包含的活動(dòng)數(shù)目，活動(dòng)一個(gè)單位是對(duì)應(yīng)于分派一個(gè)話務(wù)員到該班次，效益的水平對(duì)應(yīng)于時(shí)段。收益水平就是該時(shí)段里上下班的話務(wù)員數(shù)目，各活動(dòng)的單位效益貢獻(xiàn)就是在該時(shí)間內(nèi)增加的在崗位話務(wù)員數(shù)目。成本效益平衡問題參數(shù)表如表2：

表2 成本效益平衡問題參數(shù)表

決策變量xi表示分派到第i班的話務(wù)員人數(shù)（i= 1，2，3，4，5，6，7，8），約束條件為：

0-3時(shí)間段：x1+x7+x8≥8 （最低可接受水平）

3-6時(shí)間段：x1+x2+x8≥6

6-9時(shí)間段：x1+x2+x3≥15

9-12時(shí)間段： x2+x3+x4≥20

12-15時(shí)間段：x3+x4+x5≥25

15-18時(shí)間段：x4+x5+x6≥23

18-21時(shí)間段：x5+x6+x7≥18

21-0時(shí)間段： x6+x7+x8≥10

非負(fù)約束：xi≥0i=1，2，3，4，5，6，7，8

目標(biāo)函數(shù)為最小化成本：Z=84x1+80x2+70x3+62x4+62x5+66x6+72x7+80x8

填充數(shù)據(jù)：首先將要求解模型的所有相關(guān)信息和公式填入電子表格中。在應(yīng)用規(guī)劃求解工具以前，要首先確認(rèn)在Excel電子表格中包括決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)三種信息的單元格或單元格區(qū)域。本例中決策變量在D14到K14單元格中；目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)在第13行；約束函數(shù)在第5-12行。如圖2所示。

圖2 數(shù)據(jù)添加界面

選取“工具”—“規(guī)劃求解”命令后，彈出圖3所示的“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框。

圖3 “規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框

“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框的作用就是讓計(jì)算機(jī)知道模型的每個(gè)組成部分放在電子表格的什么地方，我們可以通過鍵入單元格（或單元格區(qū)域）的地址或用鼠標(biāo)在電子表格相應(yīng)的單元格（或單元格區(qū)域）點(diǎn)擊或拖動(dòng)的辦法將有關(guān)信息加入到對(duì)話框相應(yīng)的位置。

2.1 設(shè)置目標(biāo)單元格

在此文本框中應(yīng)指定目標(biāo)函數(shù)所在單元格的引用位置，此目標(biāo)單元格，經(jīng)求解后獲得某一特定數(shù)值、最大值或最小值。由此可見，這個(gè)單元格必須包含公式。本例中由于目標(biāo)函數(shù)在L13單元格，所以輸入“L13”。

2.2 設(shè)置求解值的類型

在此指定是否需要對(duì)目標(biāo)單元格求取最大值、最小值或某一指定數(shù)值。如果需要讓目標(biāo)函數(shù)為某一指定數(shù)值，則要在右側(cè)編輯框中鍵入。本例是求目標(biāo)函數(shù)最小化，所以選最小值。

2.3 設(shè)定可變單元格

可變單元格指定決策變量所在的各個(gè)單元格、不含公式，可以有多個(gè)區(qū)域或單元格，求解時(shí)其中的數(shù)值不斷調(diào)整，直到滿足約束條件，并且“設(shè)置目標(biāo)單元格”編輯框中指定的單元格達(dá)到目標(biāo)值?？勺儐卧癖仨氈苯踊蜷g接與目標(biāo)單元格相聯(lián)系。本例的決策變量在D14-K14的幾個(gè)單元格中，所以在此鍵入D14:K14單元格引用區(qū)域。

2.4 添加約束條件

顯示“添加約束”對(duì)話框。

圖4 “添加約束”對(duì)話框

在添加約束對(duì)話框中有三個(gè)選項(xiàng)，其中

2.4.1 單元格引用位置

指定需要約束其中數(shù)據(jù)的單元格或單元格區(qū)域，一般在此處添加約束函數(shù)不等式左側(cè)的函數(shù)表達(dá)式的單元格或單元格區(qū)域。本例輸入“L5:L12”。

2.4.2 約束值

在此指定對(duì)“單元格引用位置”編輯框中輸入的內(nèi)容的限制條件。即，對(duì)于單元格引用及其約束條件，選定相應(yīng)的需要添加或修改的關(guān)系運(yùn)算符（<=、=、>=、Int或Bin），然后在右側(cè)的編輯框中輸入數(shù)字、單元格或區(qū)域引用及公式等約束條件。本例輸入“N5:N12”。

2.4.3 添加其他約束

單擊此按鈕可以在不返回“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框的情況下繼續(xù)添加其它約束條件。再添加引用位置“D14:K14”>0的約束。按“確定”鍵，回到“規(guī)劃求解”參數(shù)對(duì)話框，我們發(fā)現(xiàn)“約束”一欄中已經(jīng)顯示了我們剛剛添加的約束。

設(shè)置好以上約束條件后，顯示的結(jié)果如下：

圖5 “規(guī)劃求解參數(shù)”設(shè)置好的對(duì)話框

由于本例所有的不等式都是“<=”，所以利用單元格引用區(qū)域一次添加，否則，要分幾次添加約束。

2.5 設(shè)置選項(xiàng)

單擊顯示“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框中的“選項(xiàng)”按鈕，顯示如下對(duì)話框。在其中裝入或保存規(guī)劃求解模型，并對(duì)求解運(yùn)算的高級(jí)屬性進(jìn)行設(shè)定。本例中的模型是線性的，而且所有變量都是非負(fù)的，所以在選中“采用線性模型”和“假定非負(fù)”兩個(gè)復(fù)選框，本對(duì)話框的其它選項(xiàng)采用默認(rèn)值。

圖6 “規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框

2.6 對(duì)定義好的問題進(jìn)行求解，并生成敏感性報(bào)告

單擊“求解”按鈕后，經(jīng)過幾秒鐘的計(jì)算，彈出“規(guī)劃求解結(jié)果”對(duì)話框，選擇“保存規(guī)劃求解結(jié)果”，并自動(dòng)生成敏感性報(bào)告。

圖7 “規(guī)劃求解結(jié)果”對(duì)話框

2.6.1 得到?jīng)Q策變量的最優(yōu)解

圖8 決策變量的最優(yōu)解

由圖8看出，即第一班安排4人上班，第二班安排2人上班，第三、四、五、六、七班分別安排9、9、8、6、4人，第八班不安排人，在滿足各時(shí)段的最低人數(shù)需求的同時(shí)花費(fèi)最少的薪金支出（2864元）。

2.6.2 生成敏感性報(bào)告

在“規(guī)劃求解結(jié)果”對(duì)話框中選擇“敏感性報(bào)告”，會(huì)生成如下的敏感性報(bào)告。

圖9 敏感性報(bào)告

在“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框的“目標(biāo)單元格”編輯框中所指定的公式的微小變化，以及約束條件的微小變化對(duì)求解結(jié)果都會(huì)有一定的影響。此報(bào)告提供關(guān)于求解結(jié)果對(duì)這些微小變化的敏感性的信息。

由上圖的敏感性分析報(bào)告知：

目標(biāo)函數(shù)中1班的系數(shù)為84，在其它系數(shù)不變的情況下，系數(shù)變化范圍在84-60～84+60，即24～144變化時(shí)，不影響最優(yōu)解。并可以得到其他班次的敏感性分析。

目標(biāo)函數(shù)中8班的系數(shù)為80，在其它系數(shù)不變的情況下，系數(shù)變化范圍在80-30～84+無窮大，即50～無窮大變化時(shí)，不影響最優(yōu)解。

0-3點(diǎn)約束的影子價(jià)格為36，有效范圍：6～12人，增加改班次人數(shù)會(huì)增加目標(biāo)值，證明該約束有效。

12-15點(diǎn)約束的影子價(jià)格為0，顯示該約束是無效的。

參考文獻(xiàn)：

[1]李榮鈞，鄺英強(qiáng). 運(yùn)籌學(xué)[M]. 華南理工大學(xué)出版社，2002.

[2]迪米特里斯·伯特西馬斯，羅伯特·M·弗羅因德 著，李中新 譯. 數(shù)據(jù)、模型與決策[M]. 中信出版社，2004.

收稿日期：2008-01-23

作者簡介：趙紅艷（1974-），女，河北保定人，講師，碩士，主要研究方向：數(shù)據(jù)庫、數(shù)據(jù)挖掘。