“用比例知識解應(yīng)用題”是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版第12冊的總復(fù)習(xí)內(nèi)容之一。通過復(fù)習(xí)要使學(xué)生提升對正、反比例意義的認(rèn)識，進(jìn)一步掌握用比例知識解應(yīng)用題的方法，發(fā)展探究解決問題策略的能力，溝通“比例”、“方程”、“算術(shù)”不同解題方法之間的聯(lián)系，構(gòu)建相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)。同時(shí)使學(xué)生初步感知世界是普遍存在聯(lián)系的，各種量之間存在相互依存、變化的關(guān)系。從而激發(fā)學(xué)生探究事物變化規(guī)律、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想情趣。

一、回顧與提升

1．引導(dǎo)學(xué)生回顧比例知識。

（1）用投影儀出示兩個(gè)商品價(jià)格表，分別體現(xiàn)兩種數(shù)量的正、反比例關(guān)系。請同學(xué)們說說自己知道哪些比例知識，可以用自己喜歡的方式進(jìn)行描述。以此喚醒學(xué)生體驗(yàn)，為學(xué)生自主回顧知識提供廣闊的思考空間。

（2）學(xué)生匯報(bào)。鼓勵(lì)其用“多元”方式描述對比例知識的理解。如：列表舉例說明的方法、常見的數(shù)量關(guān)系式判斷的方法、呈現(xiàn)坐標(biāo)圖像的方法、代數(shù)式的表示方法、概念闡述的方法等。學(xué)生將比例概念知識與“數(shù)量”、“圖像”、“字母符號”、“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”等結(jié)合理解，為解決實(shí)際問題積累了較豐富的經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)。

（3）投影出示正、反比例概念。請同學(xué)們合作討論：發(fā)現(xiàn)了什么？

（4）總結(jié)。理清正、反比例的意義的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，認(rèn)識到從“變量”中找到“不變（一定）量”的方法，“不變（一定）量”對“變量”進(jìn)行判斷的作用。如：

二 、應(yīng)用與探究

1．出示教科書中的例5：修一條公路，總長12千米。開工3天修了1.5千米，照這樣計(jì)算，修完這條公路還要多少天？（學(xué)生獨(dú)立嘗試、探究解答，首先用比例知識解答，然后用其他方法解答。）

2．全班討論交流。

（1）例5與以前學(xué)過的解比例應(yīng)用題的不同點(diǎn)在什么地方？（稍復(fù)雜些，對應(yīng)數(shù)量沒有直接給出。）

（2）結(jié)合正、反比例的意義說說例5的思考過程，分幾步進(jìn)行，每步做什么。

歸納：基本可以分6步完成：理解數(shù)學(xué)事例、收集數(shù)量、梳理出兩種相關(guān)聯(lián)的數(shù)量和一種“一定量”、判斷成正或反比例、列式解題、檢驗(yàn)和反思。

（3）結(jié)合例5說說每一步是怎樣完成的。

①理解數(shù)學(xué)事例：修路。

②收集數(shù)量信息。此題4條信息。其中兩條是顯性的：公路總長12千米、3天修了1.5千米；一條是隱性的：“照這樣計(jì)算”；一條是“未知性”的：修完這條公路還要多少天。重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生討論“照這樣計(jì)算”隱含的數(shù)學(xué)信息是什么。再討論“還要多少天”的含義。

③梳理兩種相關(guān)聯(lián)的量和“定量”。引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系比例的意義進(jìn)行探究、總結(jié)。首先研究梳理出兩種相關(guān)聯(lián)的量的策略。如：在原題上用符號劃分的方法。“12千米”、“1.5千米”是表示各自修路總長度的量，用符號“△ ”標(biāo)記；“3天”、“還要多少天”是表示各自修路的天數(shù)，用符號“ ○ ”標(biāo)記。還可以用列項(xiàng)摘記的方法：

修路總長度：1.5千米 （12-1.5）千米

修路天數(shù)：3天、還要多少（ x ）天

這些方法可以較直觀地看出修路總長度與修路天數(shù)是兩種變化的量。

再找“不變”的量。如，采用分析法，抓住關(guān)鍵數(shù)量信息，找出兩種相關(guān)聯(lián)的量變化的規(guī)律（積一定或比值一定），例5中的關(guān)鍵信息就是“照這樣計(jì)算”。還可以采用推測驗(yàn)證方法，利用數(shù)量關(guān)系組群來推測出量的“變”與“不變”，如，例5中修路總長度、修路天數(shù)、每天修的路長就是一組數(shù)量關(guān)系?？梢浴坝啥茰y一”，即，從修路長度和修路天數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，來推測每天修的路長是不變的量；“由一推測二”，從每天修的路長是不變的量，來推測修路總長度和修路天數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，且是正比例的關(guān)系。然后再用題目中的限定條件來驗(yàn)證推測的正確與否。

④判斷。從一定（不變）量的規(guī)律判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量的比例關(guān)系?？梢詫⑴袛嗟慕Y(jié)果用正、反比例字母關(guān)系式的形式寫出來，便于列算式。這樣可以溝通字母抽象解析式與文字語言描述方式的聯(lián)系，也可以用文字描述。

⑤列式解答。引導(dǎo)學(xué)生特別關(guān)注兩種相關(guān)聯(lián)的量的“對應(yīng)”條件。對于間接的數(shù)量條件要轉(zhuǎn)化為直接對應(yīng)的數(shù)量條件。為此要找準(zhǔn)轉(zhuǎn)化提示“點(diǎn)”。例5問題中的“還要多少天”就是這樣的“點(diǎn)”。另外，雖然用比例“模型”解應(yīng)用題，但也要鼓勵(lì)學(xué)生追求合乎“模型”的不同解題思路，以利形成不同的解決問題的策略。

⑥檢驗(yàn)、反思。啟發(fā)學(xué)生自主選擇檢驗(yàn)方法。如：將結(jié)果代入原題、運(yùn)用比例的基本性質(zhì)、用算術(shù)方法或一般方程方法解答來檢驗(yàn)等。反思，即引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)自己的和吸納別人的數(shù)學(xué)思考、解決問題的策略等。

三、比較與建構(gòu)

1.對學(xué)生列出的不同比例式進(jìn)行比較。

例如：

（1）“照這樣計(jì)算”就是說每天修的路長度是一定的，所以修路長度和修路天數(shù)成正比例關(guān)系。

解：設(shè)修完這條路還要x天。

（2）“照這樣計(jì)算”就是說每千米的路長所需天數(shù)是一定的，所以修路天數(shù)和修路長度成正比例關(guān)系。

解：設(shè)修完這條路還要 x 天。

（3）每天修的路長度是一定的，所以修路長度和修路天數(shù)成正比例關(guān)系。因此，修路的長度擴(kuò)大，所需要的天數(shù)也隨著擴(kuò)大。

解：設(shè)修完這條路還要 x 天。

第（1）和第（2）式中對“照這樣計(jì)算”的數(shù)量信息從不同角度理解，找到不同的“一定量”。但是，修路天數(shù)與修路長度的正比例關(guān)系沒變。第（3）式是根據(jù)修路天數(shù)與修路長度成正比例的關(guān)系，這兩種量變化過程的特征來列式的。

這樣進(jìn)行比較探究，可以培養(yǎng)學(xué)生多角度 、多層面應(yīng)用比例知識解決問題，在比例知識“不變”的“模型”結(jié)構(gòu)中追求“變”，另辟蹊徑，研究解決問題的多種策略，全面發(fā)展思維能力。

2.對“用比例”和與“用方程”解應(yīng)用題的方法進(jìn)行比較。

（1）引導(dǎo)學(xué)生明確二者的相互關(guān)系。其共同點(diǎn)：它們都是方程式，“用方程解”中包括“用比例解”。不同點(diǎn)：要求“用方程解”的題目可以“用比例解”，但是要求“用比例解”的題目，不能用一般方程的方法解。

（2）引導(dǎo)學(xué)生明確二者解決問題過程的思維、策略?！坝帽壤狻北仨毎凑毡壤R“模型”來梳理數(shù)量信息。思維特點(diǎn)：對應(yīng)思維——尋找數(shù)量信息的對應(yīng)條件，抽象思維——?dú)w納出兩種相關(guān)聯(lián)的量，邏輯思維——發(fā)現(xiàn)兩種相關(guān)聯(lián)的量變化特征，判斷思維——明確兩種相關(guān)聯(lián)量的比例關(guān)系。用比例知識解題思維更具深刻性、抽象性。用方程解題，主要從“等式”條件的需要出發(fā)梳理數(shù)量信息。思考過程以找等量關(guān)系為主。方程解法思維的靈活性、廣泛性較強(qiáng)。

3.對“用比例”與“用算術(shù)”解題方法進(jìn)行比較。

通過比較，使學(xué)生體會(huì)“用比例”和“用算術(shù)方法”解題思維過程相反，即逆向思維與順向思維?！八阈g(shù)方法”沒有方程的“等式”要求，也沒有比例的“模型”的要求，思維過程更具靈活性、廣泛性。

“用比例解”、“用方程”、“用算術(shù)”方法解應(yīng)用題，可以從不同角度、不同層面形成不同解決問題的策略，發(fā)展思維。建議學(xué)生用比例解題后，在檢驗(yàn)環(huán)節(jié)中換一種方法解題，來進(jìn)行驗(yàn)證，可以“一舉多得”。

4．比較“用比例知識解”的應(yīng)用題之間的異同。

（1）學(xué)生小組合作探究：教科書練習(xí)二十三1至5題 。比較這些可以用比例解的題目，題目的敘述方法有哪些共同的？不同的？

（2）交流。第一，題目內(nèi)容涉及方面廣：社會(huì)（救災(zāi)物資）、生活（蜂蜜）、校園（跳繩）、工廠（齒輪、零件）。引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界處處存在數(shù)學(xué)現(xiàn)象及量與量之間的聯(lián)系變化。第二，這些題目的數(shù)量信息雖然以不同組合形式、不同順序呈現(xiàn)（例，略），但是對事物的語言描述結(jié)構(gòu)都可以劃分為兩個(gè)層面（例，略）。這是為什么？引導(dǎo)學(xué)生將這些題目描述的數(shù)量關(guān)系與正、反比例意義進(jìn)行對照理解。使學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界中成比例關(guān)系的量與數(shù)學(xué)的比例“模型”之間的聯(lián)系。

通過“比較”教學(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生構(gòu)建起較系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)與解決問題的策略框架：理清了用比例解應(yīng)用題的思維和尋找策略的方法，即從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變（規(guī)律）”，用“不變（規(guī)律）”探索“變”；溝通了用“比例”、“方程”、“算術(shù)”不同方法解題思維及策略的聯(lián)系與區(qū)別；理解了“用比例解的應(yīng)用題”結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與正、反比例意義的互為對應(yīng)的聯(lián)系。

四、練習(xí)與拓展

1.大齒輪與小齒輪的齒數(shù)比是4：3。如果大齒輪有36個(gè)齒，小齒輪有多少個(gè)齒？如果這是相互咬合的齒輪，大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)36周，小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)多少周？（具有一定的挑戰(zhàn)性，首先用比例解，然后用其他方法解。）

2.結(jié)語。今天我們研究了事物兩種量之間的簡單變化規(guī)律，上了中學(xué)還要繼續(xù)研究，這是為中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)積淀的一點(diǎn)感知。我們所生存的世界是運(yùn)動(dòng)的，有運(yùn)動(dòng)就有變化。數(shù)學(xué)思想博大精深。希望同學(xué)們學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)思想去探索事物的變化規(guī)律，有所發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)造、創(chuàng)新。

（作者單位:佳木斯市第十一小學(xué) 佳木斯市教育研究院）