摘 要：在債務(wù)人資產(chǎn)的多因素模型下，本文利用指數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)了信用組合損失的上邊界，然后應(yīng)用拉普拉斯近似方法計算了組合損失分布，得出了一種多因素模型下計算信用組合風(fēng)險量度的方法，最后應(yīng)用上面方法對銀行實例分別在單因素和兩因素模型下計算了組合風(fēng)險的VaR和ES，并將兩種模型下的結(jié)果相比較，說明了對于異質(zhì)組合建模債務(wù)人資產(chǎn)為多因素模型的必要性和拉普拉斯近似方法計算一致性風(fēng)險量度的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞： 信用組合;一致性風(fēng)險量度;拉普拉斯近似;預(yù)期短缺(ES)

中圖分類號：F830.9 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5192（2008）05-0064-05

Coherent Measures of Credit Portfolio Risk under Multi-Factor Model

ZHAN Yuan-rui，LIU Jiu-biao

(School of Management， Tianjin University， Tianjin 300072， China)

Abstract:Based on the exponential property， this paper deduces the upper bound of credit portfolio losses， calculates loss distribution by applying laplace approximations under multi-factor model， and get a proper method to calculate credit portfolio risk measures. Then for an example， this method is used to calculate risk measures VaR and ES under one factor and two factors model. Through comparing these results， this paper draws the conclusions that it is necessary to model multi-factor model for the obligors’ asset and it is a proper method to calculate coherent risk measures by applying laplace approximations under multi-factor model.

Key words:credit portfolio; coherent risk measures; laplace approximations; expected shortfall (ES)

1 引言

VaR是當(dāng)前最流行的風(fēng)險量度，但其只表示損失分布的一個分位數(shù)，不反映整個損失分布下尾部的情況，不具有次可加性，因而備受批評［1］。

Artzner等提出了替代VaR的一致性風(fēng)險量度，如預(yù)期悔恨、條件受險價值、預(yù)期短缺、尾部條件期望值和尾部均值、最差條件預(yù)期值、譜風(fēng)險量度［2，3］。其中，預(yù)期短缺是最適合替代VaR的一致性風(fēng)險量度，其在任何條件下都具有風(fēng)險量度的一致性，無論損失分布連續(xù)或者不連續(xù)、風(fēng)險因素為何種分布，且計算方便、容易實施［4］。

ES被定義為超過VaR的尾部極端損失的條件期望。因而，確定損失分布，尤其是尾部分布是計算ES的先決條件。目前，確定組合損失分布的方法主要包括模擬和各種基于大偏差的近似算法［5］。由于大量違約的尾部事件較少發(fā)生，且信用風(fēng)險管理要求置信水平相對較高，模擬方法幾乎不可能得到非預(yù)期損失的有效估計。另一方面，現(xiàn)有的近似方法大多在因素模型框架下，求解信用組合損失的條件分布，再對系統(tǒng)風(fēng)險因素求積分，得到損失分布的非條件分布［6，7］。如果風(fēng)險因素數(shù)目較多，多重積分將很難求解，因此，這些模型很難推廣到多因素模型下。

因此，本文以ES作為信用組合的風(fēng)險量度，在債務(wù)人資產(chǎn)的多因素模型下，利用指數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)信用組合損失的上邊界，并利用拉普拉斯近似直接得到組合損失的非條件分布，提高了準(zhǔn)確性，并減少了計算量，是一種適用于多因素模型、方便有效計算信用組合一致性風(fēng)險量度ES的方法。

2 建模信用組合損失

2.1 風(fēng)險量度

在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，考慮一個由n個債務(wù)人組成的信用組合，銀行面臨的任意債務(wù)人i的信用風(fēng)險由下面三個參數(shù)描述：違約暴露EADi、違約損失LGDi和違約概率PDi。固定期限（通常為一年）后，如果公司價值Vi等于或者低于該公司的違約閾值Hi，發(fā)生違約，否則，不發(fā)生違約［8］。因此，假設(shè)用柏努利隨機變量Di表示違約

從表2中可以看出，對于該異質(zhì)組合，單因素模型下求出的結(jié)果明顯小于兩因素模型下求出的結(jié)果。這是由于單因素模型未充分反映債務(wù)人資產(chǎn)的相關(guān)性，因而低估和大損失相聯(lián)系的資產(chǎn)聯(lián)合違約的概率，而兩因素模型體現(xiàn)了更大的債務(wù)人資產(chǎn)相關(guān)性，更真實地反映了組合損失的情況。

為了更直觀地反映這些不同，我們下面將基于兩種模型求出的損失尾部概率分布作圖如下。

從圖中可以看出，單因素模型下計算出的組合損失頻率明顯小于兩因素模下計算出的結(jié)果?？梢?，對于債務(wù)人分屬不同行業(yè)的異質(zhì)組合，在計算其組合VaR或ES時，需要利用兩因素或者多因素模型建模債務(wù)人資產(chǎn)價值。另外，我們從圖中也可以看出，拉普拉斯近似方法無論對于單因素還是兩因素模型，都可以得到尾部穩(wěn)定的損失分布，是一種適用于多因素模型的、方便有效計算信用組合一致性風(fēng)險量度ES的方法。

5 結(jié)論

從以上分析和算例，我們可以得出結(jié)論：

(1)信用組合的損失分布呈現(xiàn)明顯的“偏峰厚尾”性，使用VaR模型會忽視度量尾部損失的嚴(yán)重程度，進而在實踐中造成嚴(yán)重的后果；而一致性風(fēng)險量度ES考慮了尾部損失嚴(yán)重程度的度量，因而是合適的信用風(fēng)險量度。(2)對于資產(chǎn)分屬不同行業(yè)的異質(zhì)組合，由于單因素模型不能充分反映債務(wù)人的資產(chǎn)相關(guān)性，因而會低估和大損失相聯(lián)系的資產(chǎn)聯(lián)合違約的概率，而兩因素模型體現(xiàn)了更大的債務(wù)人資產(chǎn)相關(guān)性，基于兩因素模型建模可以更真實地反映了組合損失的情況。(3)基于拉普拉斯近似的方法可以得出十分準(zhǔn)確、穩(wěn)定的信用組合損失概率分布，尤其是對于比較復(fù)雜的多因素模型，由于拉普拉斯近似方法不必再對宏觀經(jīng)濟因素求解積分，相比其他近似方法可以大大減少計算量。

參 考 文 獻：

［1］Acerbi C， Tasche D. On the coherence of expected shortfall［J］. Journal of Banking and Finance， 2002， 6: 1487-1503.

［2］Artzner P， Delbaen F， Eber J M， et al.. Thinking coherently［J］. Risk， 1997， 10: 68-71.

［3］Artzner P， Delbaen F， Eber J M， et al.. Coherent measures of risk［J］. Mathematical Finance， 1999， 9: 203-228.

［4］Inui K， Kijima M. On the significance of expected shortfall as a coherent risk measure［J］. Journal of Banking and Finance， 2005， 4: 853-864.

［5］Glasserman P. Tail approximations for portfolio credit risk［R］. The Journal of Derivatives， 2004，10: 5-33.

［6］Kostadinov K. Tail approximation for credit risk portfolios with heavy-tailed risk factors［R］. The Munich University of Technology， 2005. 1-24. 

［7］Dembo A， Deuschel J D， Duffie D. large portfolio losses［J］. Finance and Stochastics， 2004， 8: 3-16.

［8］Haworth H. Structural models of default［R］. Nomura Centre for Quantitative Finance， University of Oxford， 2004. 1-62.

［9］Strawderman R L. Higher-order asymptotic approximation: laplace， saddlepoint， and related methods［J］. Journal of the American Statistical Association， 2000， 9: 1358-1364.

［10］Butler R W， WoodA T A. Laplace approximation for bessel functions of matrix argument［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2003， 115: 359-382.