摘 要：本文首先進(jìn)一步研究了不允許賣空時(shí)n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均值-方差模型的前沿邊界和有效邊界的構(gòu)成及其本質(zhì)特征，然后利用這些結(jié)論給出了確定前沿邊界和有效邊界解析表達(dá)式的有效指標(biāo)集法，該方法是一種解析分析法，可以精確且快速地確定有效邊界的解析表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：有效邊界；不允許賣空；有效指標(biāo)集；二次凸規(guī)劃

中圖分類號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5192(2008)06-0077-04

The Efficient Indexed Set Methods for Portfolio Efficient Frontier

Without Short Selling

YAO Hai-xiang1， YI Jian-xin2， MA Qing-hua1

（1. School of Informatics， Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou 510006， China; 2. School of Mathematical Sciences， South China Normal University，Guangzhou 516031， China）

Abstract:The paper investigates the structure and properties of the portfolio frontier of mean-variance model without short selling. Then utilizing the properties we give the efficient indexed set methods for obtaining the explicit expression of efficient frontier and boundary of the model. 

Key words:efficient frontier; without short selling; efficient indexed set; convex quadratic

1 引言

1952年Markowitz提出的均值-方差模型［1，2］ 開(kāi)創(chuàng)了利用定量分析的方法研究現(xiàn)代資產(chǎn)組合投資理論，被譽(yù)為金融領(lǐng)域的一場(chǎng)革命。

眾所周知，不允賣空時(shí)證券組合的前沿邊界和有效邊界是由一組拋物線段（有限段）相互平穩(wěn)聯(lián)結(jié)而成，這由Markowitz本人提出的臨界線的方法已證明［2］，但要求解出不允許賣空時(shí)前沿邊界和有效邊界的具體解析表達(dá)式并非容易的事情，雖然國(guó)內(nèi)外都有很多學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，得到了一些求解的方法，但目前還沒(méi)一個(gè)公認(rèn)的十分好的方法。

目前，不允許賣空時(shí)證券組合前沿邊界和有效邊界的求解方法主要：有Markowitz本人的臨界線方法［2］、文獻(xiàn)［3，4］的解析方法、文獻(xiàn)［5］的樹(shù)形算法、文獻(xiàn)［6］的參數(shù)單純形法、文獻(xiàn)［7］的“降維”法、文獻(xiàn)［8］的區(qū)間搜索法。臨界線方法、單純形法及“降維” 法雖然有較好的理論根據(jù)，但計(jì)算復(fù)雜且比較煩瑣；解析法和樹(shù)形算法還在發(fā)展中，解析法中如何確定區(qū)間的端點(diǎn)和樹(shù)形算法中如何確定“多余證券”的問(wèn)題還沒(méi)有得到很好的解決，此外由于這兩種方法是以窮舉法為基礎(chǔ)，所以計(jì)算量比較大不適于求解大規(guī)模證券組合優(yōu)化問(wèn)題；區(qū)間搜索法關(guān)于步長(zhǎng)的選擇比較困難，很難保證沒(méi)有遺漏區(qū)間，難免有誤差。

本文首先進(jìn)一步研究不允許賣空時(shí)n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的前沿邊界和有效邊界的構(gòu)成及其本質(zhì)特征，然后根據(jù)這些結(jié)論并針對(duì)以上方法的不足，給出了確定不允許賣空時(shí)模型的前沿邊界與有效邊界解析表達(dá)式的有效指標(biāo)集法，該方法是一種精確的解析分析法，可以精確且快速地確定不允許賣空時(shí)證券前沿邊界和有效邊界的解析式，而且還可以反映出構(gòu)成前沿邊界和有效邊界的不同拋物線段之間是如何過(guò)渡和聯(lián)系的。

2 模型的建立及預(yù)備課結(jié)論

設(shè)市場(chǎng)上有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其指標(biāo)集為S={1，2，…，n}，收益率為ξ1，ξ2，…，ξn，期望向量和協(xié)方差矩陣分別為U和Σ，投資組合為W，I為各分量為1的n維向量。設(shè)組合收益的期望和標(biāo)準(zhǔn)差分別為u，σ。則不允許賣空時(shí)的n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值-方差模型可由以下最優(yōu)化問(wèn)題（M1）得到

3 不允賣空時(shí)前沿邊界與有效邊界的構(gòu)成及本質(zhì)特征

現(xiàn)在我們來(lái)研究最優(yōu)化問(wèn)題（M2）的最優(yōu)解J=（（Jr）′，θ′n-r

）′在什么條件下也是最優(yōu)化問(wèn)題（M1）的最優(yōu)解。類似最優(yōu)化問(wèn)題（M2）的轉(zhuǎn)化，最優(yōu)問(wèn)題（M1）可轉(zhuǎn)化為定理2 設(shè)為最優(yōu)化問(wèn)題（M1）對(duì)應(yīng)期望u的最優(yōu)解，若滿足當(dāng)s∈SJ時(shí)，S＞0；當(dāng)sSJ時(shí)，S=0。則也是最優(yōu)化問(wèn)題（M2）的最優(yōu)解。定義 若最優(yōu)化問(wèn)題（M2）的最優(yōu)解也是最優(yōu)化問(wèn)題（M1）的最優(yōu)解，則稱SJ指標(biāo)集為對(duì)應(yīng)u的有效指標(biāo)集；若最優(yōu)化問(wèn)題（M1）的最優(yōu)解滿足定理2中的條件，則稱SJ為對(duì)應(yīng)u的嚴(yán)格有效指標(biāo)集。由定理1、定理2，我們易得如下性質(zhì)1。

性質(zhì)1 存在J，J=1，2，…，K，滿足miniui=1<2<…<K=maxiui，

使得每個(gè)區(qū)間(J，J+1)對(duì)應(yīng)同一（嚴(yán)格）有效指標(biāo)集，不同區(qū)間對(duì)應(yīng)不同（嚴(yán)格）有效指標(biāo)集。

定理1、性質(zhì)1表明組成前沿邊界和有效邊界的每段拋物線對(duì)應(yīng)一有效指標(biāo)集SJ及區(qū)間。為此，我們研究這些有效指標(biāo)集及區(qū)間之間是如何過(guò)渡的？下面定理3將回答這些問(wèn)題。

4 確定不允賣空時(shí)前沿邊界與有效邊界解析式的有效指標(biāo)集法

定理3表明，從某個(gè)有效指標(biāo)集及對(duì)應(yīng)區(qū)間開(kāi)始，可連鎖反應(yīng)求出其余所有的有效指標(biāo)集及其對(duì)應(yīng)的區(qū)間。故可得確定不允許賣空時(shí)證券組合前沿邊界的步驟：第1步：求出初始有效指標(biāo)集及其對(duì)應(yīng)的區(qū)間，可通過(guò)以下方法得到：在(miniui，maxiui)任意取一點(diǎn)u0求解最優(yōu)化問(wèn)題

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］Markowitz H. Portfolio selection［J］. Journal of Finance， 1952， (4): 77-91.

［2］Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments［M］. Cambridge: Basil Blackwell， 1959.

［3］Voros J. The explicit derivation of the efficient portfolio frontier in the case of degeneracy and general singularity［J］. European Journal of Operational Research， 1987， 32: 302-310.

［4］Voros J， Kriens J， Strijbosch L W G. A note on the kinks at the mean variance frontier［J］. European Journal of Operational Research， 1999， 112: 236-239.

［5］馬永開(kāi)，唐小我.不允許賣空的證券組合選擇模型研［J］.預(yù)測(cè)，1999，18（2）:49-52.

［6］曾勇，唐小我.確定有效證券組合構(gòu)成變動(dòng)的期望收益率參數(shù)化方法［J］.系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用，

1996，5（4）:21-25.

［7］于維生.組合證券投資的有效邊界［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1996，15（3）：27-31.

［8］楊德權(quán)，楊德禮，史克祿，等.求解不允許賣空證券組合前沿的區(qū)間搜索方法［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2001，4（1）：33-37.

［9］史樹(shù)中，楊杰.不允許賣空證券組合選擇的有效子集［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，（2）：286-299．

［10］蕭樹(shù)鐵，等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京：高等教育出版社，2003.