摘 要：經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為許多經(jīng)濟(jì)變量具有非對稱的閾值自回歸調(diào)整行為，而標(biāo)準(zhǔn)的單位根檢驗ADF和PP法都是基于線性自回歸模型而構(gòu)造的，因此對非對稱單位根檢驗并不適用。本文應(yīng)用Monte-Carlo模擬方法對ADF和PP檢驗在TAR與M-TAR模型下的檢驗勢進(jìn)行系統(tǒng)研究，并對模擬結(jié)果的產(chǎn)生原因進(jìn)行了深入分析。模擬結(jié)果表明：數(shù)據(jù)的非對稱性程度和數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間是影響ADF和PP檢驗的最主要因素；當(dāng)非對稱性增強(qiáng)和均值回復(fù)時間增大時，ADF和PP的檢驗勢都具有較大幅度的下降，但是PP比ADF法具有更大程度的下降。

關(guān)鍵詞： TAR與M-TAR模型；Monte-Carlo模擬；非對稱性；檢驗勢

中圖分類號：F224.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-5192(2008)06-0067-06

Research into the ADF and PP Methods in Asymmetric Unit Root Test

LIU Han-zhong1， LI Chen-hua2

(1. College of Economics and Commerce， Hunan University of Commerce， Changsha 410205， China; 2. Academe of Economics and Management， Hunan University ofCommerce， Changsha 410205， China)

Abstract:Economic theory often predicts that some economic variables display asymmetric threshold autoregressive adjustments towards their long-run equilibrium， but standardADF and PP test methods are misspecified in this case， consequently， may suffer from a lack of power against such alternatives. This paper aims to study the power of ADF and PP against such alternatives as TAR or M-TAR， and analyse some reasons for that. Mont-Carlo experiments demonstrate that the Asymmetry and mean-reversion of the data plays a important role in the power of ADF and PP methods; and when the Asymmetry and mean-reversion is very strong， the power of ADF and PP test falls dramatically， but the PP method is less powerful than the ADF test.

Key words:TAR and M-TAR model; Monte-Carlo simulation; asymmetry; test power

1 引言

在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)量分析中單位根檢驗已經(jīng)成為不可缺失的重要方法，眾所周知許多經(jīng)濟(jì)變量呈現(xiàn)出非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)生成過程（DGP），其中單位根過程（即I(1)過程）無疑是最主要的數(shù)據(jù)形式，因此對變量進(jìn)行單位根檢驗可以避免經(jīng)典回歸分析中的“偽回歸”問題，因為如果對相互獨立的單位根過程進(jìn)行回歸分析時，回歸方程往往會通過所有的顯著性檢驗。目前ADF和PP法已經(jīng)成為了單位根檢驗的最主要方法，但是ADF［1］和PP［2］都是基于線性自回歸模型而構(gòu)造的，對非線性自回歸模型的單位根檢驗并不適用［3~5］，同時在非線性自回歸模型中應(yīng)用最廣泛的是閾值自回歸模型［6］，刻畫了自回歸“衰減”隨著一些變量值的不同而呈現(xiàn)不同的“衰減”速率；沖量閾值自回歸模型(Momentum-TAR，簡記為M-TAR)是由Enders和Granger［7］引入到經(jīng)濟(jì)分析，刻畫了自回歸“衰減”隨著一些變量變化程度的不同而呈現(xiàn)不同的“衰減”速率。Perron［8］認(rèn)為當(dāng)時間序列數(shù)據(jù)在任何時候發(fā)生突變時，即使變化前后的兩段都各自表現(xiàn)出平穩(wěn)性，仍會使單位根檢驗的檢驗勢大大下降。雖然Perron首次發(fā)現(xiàn)了這個問題，但是他只是對時間軸上發(fā)生的結(jié)構(gòu)突變情況進(jìn)行了研究，而本文是對TAR或M-TAR下的單位根檢驗勢進(jìn)行系統(tǒng)研究。Balke和Fomby［3］運用Engle-Granger［9］的兩步協(xié)整檢驗法，對ADF和PP分別在EQ-TAR、Band-TAR與RD-TAR三種閾值自回歸誤差下的檢驗勢進(jìn)行了模擬研究，但是沒有對ADF和PP檢驗在非對稱單位根檢驗中的適用性進(jìn)行研究，因此本文將對ADF和PP方法在非對稱TAR和M-TAR模型下的檢驗勢進(jìn)行模擬研究與原因分析。

2 TAR、M-TAR模型和單位根檢驗

2.1 TAR模型

根據(jù)Tong對TAR模型的描述，TAR模型的定義如下

在以上模型中，每個Ai上擬合一個線性自回歸模型，分割由轉(zhuǎn)換變量Xt-d來確定，通常由下式來決定：Ai=（γi-1，γi］，-∞=γ0＜γ1＜…＜γk=∞，在這里γi是閾值（Threshold Value）。事實上該模型是自激勵閾值自回歸模型（Self-exciting Threshold Autoregression，簡記為SETAR）的一種特殊形式，它可以廣泛用于不同領(lǐng)域的各種非線性建模，包括經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、金融學(xué)以及人口動力學(xué)等。在這個模型中，我們假定閾值是不連續(xù)的（Discontinuity），如果閾值是連續(xù)的，則此時的模型被稱為光滑轉(zhuǎn)換自回歸模型（Smooth Transition Autoregression，簡記為：STAR），這個模型已被Granger和Terasvirta［10］詳細(xì)討論過，國內(nèi)許多學(xué)者［11］也對該模型在我國貨幣政策中的應(yīng)用研究作了詳細(xì)的討論。在本文中由于簡單起見我們只討論當(dāng)閾值是不連續(xù)的情形。

2.2M-TAR模型

沖量閾值自回歸模型（Momentum Threshold Autoregression，簡記為M-TAR）由Enders和Granger引入到經(jīng)濟(jì)分析中，與TAR模型的主要區(qū)別在于轉(zhuǎn)換變量不同。在TAR模型中以滯后的時間序列作為轉(zhuǎn)換變量。而在M-TAR中，轉(zhuǎn)換變量不再是滯后的時間序列，而是滯后的時間序列變化量，其它變量含義與TAR模型相同。即

（3）式和（1）式的唯一區(qū)別在于：在（1）式的TAR模型中轉(zhuǎn)換變量是Xt-d，而在（3）式表示的M-TAR中轉(zhuǎn)換變量不再是Xt-d，而是ΔXt-d。Enders和Granger認(rèn)為TAR模型可以捕捉時間序列中的“深”的特征，而M-TAR模型可以捕捉時間序列的“尖”特征。時間序列的“深”和“尖”特征是由Sichel［12］在研究美國的GNP、失業(yè)率與工業(yè)總產(chǎn)值的周期波動過程中，發(fā)現(xiàn)它們的周期波動呈現(xiàn)“深”(Deepness)和“尖”(Sharpness)的非對稱特征，所謂“深”是長期趨勢以下的周期成分和長期趨勢之上的周期成分的“衰減”(decay)速度不一樣。所謂“尖”是指上升的周期成分與下降的周期成分呈現(xiàn)不同的“衰減”速度。Enders和Siklos［13］也對TAR模型和M-TAR模型的性質(zhì)作了詳細(xì)的比較研究。

2.3 單位根檢驗 

傳統(tǒng)的單位根檢驗假定時間序列是線性和具有對稱調(diào)整機(jī)制，即基于以下的回歸模型

ΔXt=θXt-1+εt(4)

其中εt是白噪聲序列或具有自相關(guān)的隨機(jī)項，對(4)式進(jìn)行對稱單位根檢驗的主要方法是DF、ADF和PP檢驗。如果接受原假設(shè)即θ=0，則認(rèn)為Xt是單位根過程，反之認(rèn)為是對稱調(diào)整的平穩(wěn)過程。即ADF和PP檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：單位根過程H1：對稱調(diào)整的平穩(wěn)過程

而隨著經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展，許多經(jīng)濟(jì)變量呈現(xiàn)出非對稱的調(diào)整行為，這種非對稱調(diào)整機(jī)制可以通過閾值自回歸模型（即TAR）或沖量自回歸模型（即M-TAR）來刻畫，且在交易成本等經(jīng)濟(jì)分析中具有非凡的應(yīng)用價值。因此具有非對稱調(diào)整行為的單位根檢驗中，原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

H0：單位根過程

H1：非對稱調(diào)整的平穩(wěn)過程（TAR或M-TAR模型）

如果采用傳統(tǒng)的ADF對以上原假設(shè)進(jìn)行檢驗是不適用的，因為ADF方法是針對線性自回歸模型而構(gòu)造的，對非線性自回歸模型并不適用［14］，但是Pippenger和Goering并沒有對PP單位根檢驗法在非對稱單位根檢驗中的適用性進(jìn)行研究，因此本文采用Monte-Carlo模擬來揭示ADF和PP方法在非對稱單位根檢驗中的適用性；同時由于經(jīng)濟(jì)分析中普遍存在異方差，所以也對ADF和PP法在異方差下的檢驗勢進(jìn)行了MC模擬研究。



3 ADF和PP檢驗在TAR與M-TAR模型下的檢驗勢研究

3.1 在TAR下的檢驗勢研究

為了進(jìn)行MC模擬研究，我們特構(gòu)造以下的Two-Regime的TAR模型

Xt=ρ1X

首先根據(jù)(5)式和（6）式分別生成Two-Regime或Three-Regime閾值自回歸模型Xt。為了應(yīng)用ADF和PP檢驗，對隨機(jī)誤差項εt施加自回歸條件：εt=0.6εt-1+ηt，其中ηt是相互獨立的N（0，1）。如果是異方差情形，對隨機(jī)變量ηt的方差施加GARCH(1，1)的異方差，其表達(dá)式為：σ2t=1+0.12t-1+0.85σ2t-1，在模擬中樣本容量T=50、100、200，每種情形模擬1000次，所有初始值都設(shè)為0，方差的初始值設(shè)定為1，因此為了消除初始值的設(shè)定對檢驗所帶來的影響，模擬中去掉數(shù)據(jù)列的前200個數(shù)據(jù)。顯著性水平分別為5%、10%，利用AIC準(zhǔn)則確定最佳滯后階數(shù)。

從表1得出如下結(jié)論：首先，不論是同方差還是異方差，ADF和PP檢驗會隨著模型的非對稱性程度越大(即在Two-Regime的TAR模型中，不同Regimes中自回歸系數(shù)相差越大或在Three-Regime模型中，除中間Regime之外的自回歸系數(shù)相差越大)，則檢驗勢都呈下降趨勢，但是PP法的檢驗勢比ADF的檢驗勢下降幅度要大，如在樣本容量為200、5％顯著性水平下，隨著非對稱程度的加大，同方差下ADF的檢驗勢由1.0下降到0.304，而PP的檢驗勢由1.0下降到0.203；在異方差下ADF的檢驗勢由0.995下降到0.301，而PP的檢驗勢由1.0下降到0.210。這主要是因為當(dāng)非對稱程度越大，ADF和PP法具有越嚴(yán)重的設(shè)定誤差，會導(dǎo)致檢驗勢下降；而另一方面由于非對稱程度加大使得數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間發(fā)生變化而導(dǎo)致檢驗勢發(fā)生變化，兩種效應(yīng)疊加使得ADF和PP檢驗勢下降。其次，在每一種情形中，兩種方法的檢驗勢都隨樣本容量的增大而增大，但是PP法的檢驗勢隨樣本容量增大而增加的幅度在大多數(shù)情形比ADF法要大，可能的原因在于PP法是一種非參數(shù)方法，要求更多的樣本；第三，在Three-Regime的TAR模型的檢驗勢要低于Two-Regime的TAR模型的檢驗勢，這主要是因為在Three-Regime的TAR模型的中間Regime服從單位根過程，增大了數(shù)據(jù)過程的均值回復(fù)時間；第四，是否存在異方差對ADF和PP的檢驗勢沒有明顯的規(guī)律性影響。第五，在Three-Regime的TAR模型的檢驗中，隨著中間Regime的單位根過程的加寬，ADF和PP檢驗勢呈現(xiàn)出沒有規(guī)律性的變化，原因在于加寬中間Regime的單位根過程的不同設(shè)定具有不同的均值回復(fù)時間，因而ADF和PP檢驗勢也會發(fā)生變化。

3.2 在M-TAR下的檢驗勢研究

首先生成沖量閾值自回歸模型Xt，數(shù)據(jù)生成過程同（6）式，只是此時的轉(zhuǎn)換變量為ΔXt-1，參數(shù)的設(shè)定、顯著性水平、樣本容量以及GARCH異方差形式與TAR模擬相同，表2為模擬結(jié)果。

從上面的模擬結(jié)果來看，首先，ADF和PP在檢驗M-TAR時比檢驗TAR時具有較高的檢驗勢，可能的原因在于在其它條件(自回歸系數(shù)都是大于0的正數(shù)，在經(jīng)濟(jì)時間序列中往往如此)都相同的情況下，M-TAR模型的“持久性”(persistence)一般要小于相應(yīng)的TAR模型，因而在M-TAR模型中的均值回復(fù)時間往往要小于TAR模型的均值回復(fù)時間，這樣M-TAR模型的ADF和PP統(tǒng)計量比TAR模型的ADF和PP統(tǒng)計量要更加左偏，拒絕單位根原假設(shè)的概率也增大?！俺志眯浴狈从沉藬?shù)據(jù)的均值回復(fù)時間的長短特征，如在一階線性自回歸即AR(1)模型中，當(dāng)一階自回歸系數(shù)(大于0的正數(shù))較大時，則數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間較長，“持久性”也較強(qiáng)，當(dāng)一階自回歸系數(shù)(大于0的正數(shù))較小時，則數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間較短，“持久性”也較弱；其次，在Two-Regime和Three-Regime的M-TAR模型中，隨著非對稱程度的增加，ADF和PP的檢驗勢都呈上升趨勢。究其原因在于隨著M-TAR的非對稱程度加大，一方面檢驗式的設(shè)定誤差會導(dǎo)致ADF和PP檢驗勢下降，而另一方面非對稱程度加大使得數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間發(fā)生變化而導(dǎo)致檢驗勢發(fā)生變化，兩種效應(yīng)疊加使得ADF和PP檢驗勢上升。這與TAR模型下的ADF和PP的檢驗勢變化趨勢正好相反。第三，在異方差下兩方法的檢驗勢影響不明顯。第四，在Three-Regime的M-TAR模型中，隨著中間Regime的單位根過程加寬對ADF和PP法的檢驗勢影響也不明顯，具體的原因在于中間Regime的單位根過程加寬的數(shù)據(jù)設(shè)定的不同也是影響ADF和PP檢驗勢的主要原因。

4 結(jié)論

ADF和PP檢驗雖然已經(jīng)成為單位根檢驗的標(biāo)準(zhǔn)化方法，但是近年來隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的發(fā)展，許多經(jīng)濟(jì)變量具有非對稱自回歸非線性行為，因此新的非對稱單位根檢驗方法論的研究已經(jīng)成為目前時間序列計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要領(lǐng)域之一。顯然傳統(tǒng)的ADF和PP單位根檢驗法由于檢驗式的設(shè)定誤差已經(jīng)不能適應(yīng)非對稱單位根檢驗。本文的模擬結(jié)果也顯示了隨著序列的非對稱程度的加大，在TAR模型下ADF和PP的檢驗勢都呈下降趨勢；而在M-TAR下ADF和PP的檢驗勢都呈上升趨勢。究其原因：隨著TAR或M-TAR的非對稱程度加大，一方面ADF和PP檢驗式的設(shè)定誤差也增大，因而其檢驗勢也下降；而另一方面非對稱程度加大使得數(shù)據(jù)的均值回復(fù)時間發(fā)生變化而導(dǎo)致檢驗勢發(fā)生變化，兩種效應(yīng)疊加使得ADF和PP檢驗勢在不同的模型下具有不同的變化規(guī)律。其次，在非對稱程度保持不變，而轉(zhuǎn)換變量不同，此時M-TAR的檢驗勢要高于TAR模型的檢驗勢，究其原因：TAR模型比M-TAR模型回復(fù)均值的時間要長(即“持久性”較大)，因而M-TAR模型的檢驗勢要高于相應(yīng)的TAR模型的檢驗勢。再次，在非對稱程度和轉(zhuǎn)換變量都相同的情況下，Three-Regime的TAR或M-TAR比相應(yīng)的Two-Regime的TAR或M-TAR模型的檢驗勢要低，究其原因：在Three-Regime中由于中間Regime中數(shù)據(jù)呈單位根過程，所以數(shù)據(jù)序列的均值回復(fù)時間比Two-Regime數(shù)據(jù)序列的均值回復(fù)時間要長，因而“持久性”也較強(qiáng)導(dǎo)致檢驗勢下降。另外由于ADF和PP檢驗式的設(shè)定不同，ADF法的檢驗式是根據(jù)信息準(zhǔn)則來確定滯后階，不同的信息準(zhǔn)則就有可能得到不同的滯后階數(shù)，因而有可能得到不同的結(jié)論。因此在同一模型的單位根檢驗中，在檢驗式的設(shè)定上PP法比ADF法具有優(yōu)勢，原因在于：PP檢驗通過非參數(shù)方法可以全部剔除干擾項自相關(guān)對檢驗所帶來的影響(檢驗式中不包含被解釋變量的滯后項)，而ADF只是通過增加滯后項來減弱自相關(guān)的影響，不同的信息準(zhǔn)則具有不同的滯后階數(shù)。但是在我們的MC模擬中反映出大多數(shù)情況下ADF檢驗勢要高于PP檢驗勢，其中可能的原因在于樣本容量較小。由于PP是非參數(shù)方法，它的有效性要求樣本容量較大，所以隨著樣本容量的增大PP的檢驗勢增加較ADF法快，這一點在我們的結(jié)果中得到了充分的反映。最后，ADF和PP法在非對稱單位根檢驗中，異方差對兩方法的檢驗勢不存在明顯的規(guī)律性影響。還有一點需要說明的是在理論上隨著Three-Regime的TAR或M-TAR模型中間Regime的單位根過程加寬，會導(dǎo)致ADF和PP的檢驗勢下降，而在模擬中表現(xiàn)不明顯，原因在于加寬中間Regime的單位根過程的不同設(shè)定具有不同的均值回復(fù)時間，因而ADF和PP檢驗勢也會發(fā)生變化。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］Dickey D A， Fuller W A. Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root［J］. Econometrica， 1981， 49: 1057-1072.

［2］Phillips P C B， Perron P. Testing for a unit root in time series regression［J］. Biometrika， 1988， 75: 335-346.

［3］Balke N S， FombyT B. Threshold cointegration［J］. International Economic Reviews， 1997， 38(3): 627-645.

［4］劉漢中.Enders-Granger方法在協(xié)整檢驗中的應(yīng)用研究［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2007，24(8):137-144.［5］劉漢中.具有GARCH(1，1)-正態(tài)誤差項的非對稱單位根檢驗研究［J］.統(tǒng)計研究，2007，24(11):74-79.

［6］Tong H. Threshold models in non-linear time series analysis［M］. New York: Spinger-Verlag， 1983.

［7］Enders W， Granger C W. Unit-root tests and asymmetric adjustment with an example using the term structure of interest rates［J］. Journal of Business Economic Statistics， 1998， 16(3): 304-311.

［8］Perron P. The great crash，the oil price shock and the unit root hypothesis［J］. Biometrika， 1989， 57: 1361-1401.

［9］Engle R F， Granger C W J. Cointegration and error correction: representation， estimation and testing［J］. Econometrica， 1987， 55(2): 251-276.

［10］Granger C W J， Terasvirta T. Modeling nonlinear economic relationship (advanced texts in econometrics)［M］. Oxford University Press， New York， 1993.

［11］王少平，彭方平.我國通貨膨脹與通貨緊縮的非線性轉(zhuǎn)換［J］.經(jīng)濟(jì)研究，2006，(8):35-44.

［12］Sichel D E. Business cycle asymmetry: a deeper look［J］. Economic Inquiry， 1993， 31(2): 224-236. 

［13］Enders W， Siklos P L. Cointegration and threshold adjustment［J］. Journal of Business Economic Statistics， 2001， 19(2): 166-176.

［14］Pippenger M K， Goering G E. A note on the empirical power of unit root tests under threshold processes［J］. Oxford Bulletin of Economics and Statistics，1993， 55: 373-481.