[摘要] 當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的損失為離散隨機(jī)變量時(shí)，用概率方程、反分布函數(shù)和分布最小值給出的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR定義不滿足存在惟一性，而用概率下確界、概率最小值、分布下確界和分布右極限最小值給出的VaR定義則對(duì)任意隨機(jī)變量都能滿足存在惟一性。

[關(guān)鍵詞] 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 隨機(jī)變量 概率 下確界 存在惟一性

VaR是Value at risk簡稱，通常譯為風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，亦譯為在險(xiǎn)價(jià)值、受險(xiǎn)價(jià)值、險(xiǎn)值等，現(xiàn)已經(jīng)成為金融風(fēng)險(xiǎn)管理的國際標(biāo)準(zhǔn)。菲利普·喬瑞將VaR定義為：在正常的市場環(huán)境下，在一定的置信水平和期間內(nèi)，衡量(風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn))最大預(yù)期損失的方法。

一、三種已知定義及存在缺陷

已知VaR的數(shù)學(xué)定義多采用含有概率的方程形式給出，也有用概率分布函數(shù)的最小值或反函數(shù)等形式給出的，現(xiàn)分別予以討論。

定義1(概率方程定義):設(shè)隨機(jī)變量X是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在某期間內(nèi)的損失(或負(fù)收益)，α∈(0，1)，則稱滿足方程:

P(X≥x)＝α(1)

x為該資產(chǎn)在此期間內(nèi)的置信度為α的VaR，記作VaR1。

定義2(反分布函數(shù)定義):設(shè)Ｘ、α如定義1，且X的分布函數(shù)為F(x)，則定義VaR為:

VaR2= F-1(1-α)

定義3(分布最小值定義):設(shè)同定義2，則定義VaR為:

VaR3=min{ x｜F(x)≥1-α}

然而，上述三種定義的存在惟一性卻不一定能得到保證，下面給出一個(gè)反例。

例1:設(shè)X為離散隨機(jī)變量，分布律為P(X=xi) ， (xi

(1)VaR1對(duì)幾乎所有的α都不存在，僅對(duì)至多可數(shù)個(gè)α存在還不惟一。

(2)VaR2對(duì)所有的α都不存在。

(3)VaR3對(duì)所有的α視分布函數(shù)的不同定義形式或都不存在或都存在惟一。

證明:(1)由于P(X≥x) =是關(guān)于x的單調(diào)非增且左連續(xù)的階梯函數(shù)，故其值域是區(qū)間[0，1]上某個(gè)可數(shù)集的非空子集，因此方程(1)只對(duì)至多可數(shù)個(gè)α有解。對(duì)不可數(shù)個(gè)使方程(1)無解的α，其對(duì)應(yīng)的VaR1自然不存在。對(duì)至多可數(shù)個(gè)使方程(1)有解的每個(gè)α，即存在ξ使P(X≥ξ)=α，由階梯函數(shù)性質(zhì)可知，存在一個(gè)包含ξ的區(qū)間(xk，xk+1]，使區(qū)間內(nèi)所有的x都滿足方程(1)，即此α對(duì)應(yīng)的VaR1有無窮多個(gè)，因而不惟一。

(2)因?yàn)镕(x)是階梯函數(shù)，故F(x)的每一個(gè)函數(shù)值都有無窮多個(gè)原象，因此F(x)沒有反函數(shù)，從而F-1(1-α) 對(duì)所有的α都無意義，當(dāng)然就不存在VaR2。

(3)若F(x) = P(X＜x)，則F(x) =是關(guān)于x單調(diào)非降且左連續(xù)的階梯函數(shù)，故對(duì)每個(gè)α，都存在惟一的xα使F(xα)＜1-α≤F(xα+0)。由F(xα)＜1-α可知VaR3＞xα，由1-α≤F(xα+0)可知xα≥VaR3，從而VaR3≥xα＞VaR3，矛盾，此矛盾表明其對(duì)應(yīng)的VaR3不存在。

若F(x)=P(X≤x)，則F(x)=是關(guān)于x單調(diào)非降且右連續(xù)的階梯函數(shù)。故對(duì)每個(gè)α，都存在惟一的xα使F(xα-0)＜1-α≤F(xα)，故{ x｜F(x)≥1-α}=[ xα，∞)，此時(shí)xα即為VaR3。

二、三種已知定義存在惟一的必要條件

例1:表明已知的三種定義都存在缺陷，下面給出這三種定義存在惟一的必要條件。

定理1(VaR1存在惟一的必要條件):若P(X≥x)關(guān)于x連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則VaR1對(duì)每個(gè)α都存在且惟一。

證明:因P(X≥x)=1＞α＞0=P(X≥x)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在ξ∈(-∞，∞)，使P(X≥ξ)＝α，由單調(diào)性可知ξ還是惟一的，此ξ即為VaR1。

定理2(VaR2存在惟一的必要條件):若F(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，則VaR2對(duì)每個(gè)α都存在且惟一。

證明:因?yàn)镕(x)為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，因此F(x)存在嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)反函數(shù)F-1(x)，故對(duì)任意的α，都存在惟一的xα，使xα= F-1(1-α)，此xα即為VaR2。

定理3(VaR3存在惟一的必要條件):若F(x)右連續(xù)，則VaR3對(duì)每個(gè)α都存在且惟一。

證明:對(duì)任意的α，方程或有解或無解。

若方程有解，即存在ξ，使F(ξ)=1-α，則解或惟一或不惟一。當(dāng)解惟一時(shí)，其解即為VaR3；當(dāng)解不惟一時(shí)，由于F(x)單調(diào)非降且右連續(xù)，因此解集為一個(gè)左閉區(qū)間，此區(qū)間的左端點(diǎn)即為VaR3。

若方程無解，由F(x)的單調(diào)性可知，存在惟一的xα，使F(xα-0)＜1-α＜F(xα)，此xα即為VaR3。

三、定義的改進(jìn)

為了彌補(bǔ)上述三種定義的缺陷，下面給出能適應(yīng)各種隨機(jī)變量的VaR數(shù)學(xué)定義。

定義4(概率下確界定義):設(shè)X、α如定義1，則定義VaR為

VaR=inf{ x｜P(X≥x)≤α}

定理4(VaR存在惟一性定理) 對(duì)任意的X和α都有惟一的VaR。

證明:記Aα={x｜P(X≥x)≤α}，由概率論可知

P(X≥x)＝1＞α，故由極限性質(zhì)知，存在ξ＞-∞，使P(X≥ξ)＞α，可見Aα有一個(gè)下界ξ，由下確界存在定理知，下方有界的數(shù)集Aα必有下確界xα，而下確界是惟一的，此xα即為VaR。

推論1:(概率最小值定義):設(shè)X、α如定義1，則：

VaR=min{ x｜P(X＞x)≤α}

證明:記xα＝VaR，則P(X≥x)。當(dāng)x＞xα?xí)r，P(X＞x)=P(X≥x) P(X=x)≤P(X≥x)≤α，由于P(X＞x)關(guān)于x右連續(xù)，故P(X＞xα)=P(X＞x)≤α；當(dāng)x＜xα?xí)r，令ξ=，則x＜ξ＜xα，由于P(＞x)單調(diào)非增，從而P(X＞x)≥P(X≥ξ)＞α。綜合之有P(X＞x)，所以min{ x｜P(X＞x)≤α}=min[xα ，∞)＝xα=VaR。

推論2(分布下確界定義):設(shè)同定義2，則:

VaR=inf{ x｜F(x)≥1-α}

證明:若F(x)=P(X＜x)，因?yàn)镻(X≥x)=1-P(X＜x)= 1-F(x)，從而有{ x｜P(X≥x)≤α}＝{ x｜F(x)≥1-α}，所以inf { x｜F(x)≥1-α}= inf { x｜P(X≥x)≤α}=VaR。

若F(x)=P(X≤x)，由推論1證明知 P(X＞x)，因此F(x)＝1-P(X＞x)，所以inf{ x｜F(x)≥1-α}=inf [VaR ，∞)＝VaR。

推論3(分布右極限最小值定義):設(shè)同定義2，記F(x+0)=F(t)，則:

VaR=min{ x｜F(x+0)≥1-α}

證明:記xα＝VaR，則F(x)。因F(x)單調(diào)非降，當(dāng)x＞xα?xí)r，F(xiàn)(x+0)≥F(x)≥1-α，并且F(xα+0)≥1-α；當(dāng)x＜xα?xí)r，令ξ=，則x＜ξ＜xα，故F(x+0)≤F(ξ)＜1-α，從而F(x+0)，所以min{ x｜F(x+0)≥1-α}= min[xα ，∞)=xα=VaR。

例2:設(shè)X如例1，則:

四、結(jié)論

由于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)損失的分布未必連續(xù)，因而用概率方程、反分布函數(shù)和分布最小值給出的VaR定義就不一定能滿足存在性或惟一性，故在理論上和實(shí)際應(yīng)用中這三種定義都存在缺陷。用概率下確界給出的定義以及由其導(dǎo)出的概率最小值、分布下確界、分布右極限最小值等定義可彌補(bǔ)所有缺陷。

鑒于用概率下確界給出的定義比用分布函數(shù)給出的定義有更直觀的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，所使用的數(shù)學(xué)工具也較少，而用最小值給出的定義又受到右連續(xù)的約束，適應(yīng)性有所欠缺．?？梢娪酶怕氏麓_界給出的定義具有普適性，因此可以作為VaR首選的數(shù)學(xué)定義。

參考文獻(xiàn):

[1]菲利普·喬瑞:風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VAR[M].北京:中信出版社，2005

[2]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(中)[M].北京:人民教育出版社，1978

[3]復(fù)旦大學(xué):概率論(第一冊(cè))[M].北京:人民教育出版社，1979

[4]胡杰郭曉輝邱亞光:VaR與CVaR在商業(yè)銀行風(fēng)險(xiǎn)度量中的比較分析及應(yīng)用[J].金融論壇， 2005，(7):40～44

[5]谷偉萬建平魯鴿:雙曲分布及其在VaR模型分析中的應(yīng)用[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23(3): 274～281

[6]柳向東麥清溪:風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VAR幾種算法及其比較[J].知識(shí)叢林，2005，(12):142～143

[7]馮香入:VaR方法原理及應(yīng)用[J].合作經(jīng)濟(jì)與科技，2006，(5x):17～18

[8]武巍巍韓學(xué)意丁日佳:VaR計(jì)量模型在金融市場的運(yùn)用研究[J].工業(yè)技術(shù)分析， 2006，25(8): 98～99

[9]李秀敏史道濟(jì):VaR的若干度量方法及其比較[J].西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)， 2006，6(6):38～41

[10]王慧敏劉國光:基于極值理論的滬深股市VaR和CVaR分析[J].財(cái)貿(mào)研究，2005，(2):68～72

[11]包峰俞金平李勝宏:CVaR對(duì)VaR的改進(jìn)與發(fā)展[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005， 20(4):95～96

[12]劉小茂田立:VaR與CVaR的對(duì)比研究及實(shí)證分析[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，33(10): 112～114

[13]劉小茂馬林:資產(chǎn)相對(duì)價(jià)值的VaR和CVaR風(fēng)險(xiǎn)[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2006，(8):128～129

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。