[摘要] 期權(quán)定價(jià)理論是現(xiàn)代金融學(xué)的重要組成部分，本文主要介紹了以早期的期權(quán)定價(jià)理論、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論及Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論的擴(kuò)展為體系的期權(quán)定價(jià)理論的發(fā)展過程。

[關(guān)鍵詞] 期權(quán)定價(jià) 股票價(jià)格 Black-Scholes模型

近幾十年來金融衍生證券在全球范圍內(nèi)獲得迅猛發(fā)展，期權(quán)問題及投資消費(fèi)問題越來越引起國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家、金融學(xué)家的廣泛重視，要對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的管理，就必須對(duì)金融衍生證券進(jìn)行正確的估價(jià)，如何確定金融衍生證券的公平價(jià)格是它們合理存在與健康發(fā)展的關(guān)鍵。在所有的衍生證券定價(jià)中，期權(quán)定價(jià)的研究最為廣泛。

一、早期的期權(quán)定價(jià)理論

期權(quán)的價(jià)格是一種風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格，長(zhǎng)期以來，人們一直在探索著利用各種因素正確評(píng)估資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的有效方法。

1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Louis Bachelier發(fā)表了論文“投機(jī)理論”，提出了最早的期權(quán)定價(jià)模型，它假設(shè)股票價(jià)格是絕對(duì)的Brown運(yùn)動(dòng)，單位時(shí)間方差為σ2，且沒有漂移，則買方期權(quán)的價(jià)值為:

二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論

期權(quán)定價(jià)理論的最新革命開始于1973年，Black和Scholes發(fā)表了經(jīng)典論文“期權(quán)定價(jià)及公司債務(wù)”，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式;Merton發(fā)表了另一篇論文“期權(quán)的理性定價(jià)理論”在若干方面作了重要推廣，使得期權(quán)定價(jià)理論取得了突破性的進(jìn)展。他們?cè)诠善眱r(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)下，運(yùn)用無套利原則推導(dǎo)出標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票的歐式期權(quán)定價(jià)公式:

三、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論的擴(kuò)展

Black-Scholes模型為投資者提供了適用于股票的任何衍生證券的且計(jì)算方便的定價(jià)公式，但它的推導(dǎo)和應(yīng)用也受到各種假設(shè)條件的約束，這使它在理論和應(yīng)用上存在缺陷。以Merton為代表的經(jīng)濟(jì)學(xué)家在此基礎(chǔ)上，對(duì)模型進(jìn)行了研究和推廣。主要有以下的幾個(gè)方面:

1.支付已知紅利股票的期權(quán)定價(jià)。在期權(quán)定價(jià)的過程中，“紅利”被定義為在除權(quán)日由紅利支付引起的股票價(jià)格的減少額。Merton考慮了一種以每年同一比率q的股票價(jià)格從t時(shí)刻的S增加到T時(shí)刻的ST，則沒有紅利支付時(shí)的股票價(jià)格將從t時(shí)刻的S增加到T時(shí)刻的 或是從t時(shí)刻的增加到T時(shí)刻的ST。由于支付和不支付紅利的股票價(jià)格的最終值都是相同的，所以給予一種價(jià)格為S支付連續(xù)紅利率為q的股票的歐式期權(quán)與基于一種價(jià)格為不支付紅利的股票的相應(yīng)的歐式期權(quán)有相同的價(jià)值。

2.Merton隨機(jī)利率模型。Black-Scholes模型假定無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)且對(duì)所有的到期日相同，所以面對(duì)現(xiàn)實(shí)的變動(dòng)利率時(shí)Black-Scholes模型就需要進(jìn)行修正。由于利率的波動(dòng)接近于隨機(jī)變動(dòng)，因此Merton考慮了利率是隨機(jī)變量的期權(quán)定價(jià)模型。

如果定義B(t)為與期權(quán)同時(shí)到期且到期時(shí)支付給持有人$1的貼現(xiàn)債券的價(jià)值。Merton假設(shè)B(t)遵循以下過程:

變量μB時(shí)債券價(jià)格的增長(zhǎng)率，是隨機(jī)變量;σB是B(t)的波動(dòng)率，假定為時(shí)間的已知函數(shù)；dzB是維納過程。Merton得出的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為:

3.Merton跳躍—擴(kuò)散模型。前面所有的股票價(jià)格都是連續(xù)變動(dòng)的，但是現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)股票的價(jià)格分布往往不是光滑移動(dòng)，而呈現(xiàn)間斷的“跳空”過程，于是Merton提出了一種股票價(jià)格遵循跳躍過程的模型，在股票的幾何Brown運(yùn)動(dòng)之上加了各種跳躍。設(shè)μ為股票的預(yù)期回報(bào)，λ為跳躍發(fā)生頻率，k為平均跳躍幅度占股票價(jià)格上升幅度的比率。假定跳躍幅度的比例從模型的概率分布中抽取，由跳躍帶來的平均增長(zhǎng)率為λk，由此幾何Brown運(yùn)動(dòng)提供的預(yù)期增長(zhǎng)率為μ－λk。因此，Merton的跳躍過程可以表為:

早期的期權(quán)定價(jià)理論的提出，推動(dòng)了期權(quán)定價(jià)理論的發(fā)展，為后來的Black－Scholes模型奠定了基礎(chǔ)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式是現(xiàn)代金融學(xué)的最杰出成就之一，是經(jīng)濟(jì)學(xué)中唯一一個(gè)先于實(shí)踐的理論，并在理論和實(shí)踐中得到了廣泛的接受，為其它金融衍生證券的定價(jià)奠定了基礎(chǔ)，也為其它領(lǐng)域的經(jīng)濟(jì)估算鋪平了道路。而以Merton為代表的經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)Black-Scholes模型進(jìn)行了推廣，使其適用于更為廣泛的金融衍生證券和更為寬泛和普遍的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>