費(fèi)布納西的花朵

偶爾觀察一下植物王國，你就會清楚看到生命的第二個(gè)秘密，比在其他任何地方都來得明顯——到處都可以找得到數(shù)學(xué)模式：在對稱排列的花辨里，在沿著莖稈上下疊置的葉子里，在某些植物的圓形種子和某些植物的尖形種子里，以及在其他一些隨風(fēng)飄散的種子的小小降落傘狀物里。

就連在樹木不規(guī)則的幾何外形里，也隱藏著令人難以捉摸的模式，這模式是一種自我參照的幾何原理，而在這樣的幾何架構(gòu)下，樹木的些許小部分會與整體形貌有著不可思議的相似之處——正因?yàn)榉浅Ｏ嗨?，所以建?gòu)模型的人可以用樹枝代表縮小的樹木。植物世界已經(jīng)向物理學(xué)借用了這樣的結(jié)構(gòu)，甚至現(xiàn)在仍然以近乎原來的形式使用這些結(jié)構(gòu)。

不過，植物的其他特征則因演化而與原始物理學(xué)愈離愈遠(yuǎn)。植物的數(shù)學(xué)原理(如果有的話)，一直隱藏在演化的層層修補(bǔ)中。有某些花朵會模仿雌蠅，是為了騙雄蠅前來做親密的接觸，以便傳播花粉；這種植物與昆蟲交互作用的演化，時(shí)間已經(jīng)長達(dá)數(shù)億年之久。

在了解那些塑造植物的力量的同時(shí)，一定也要區(qū)別出哪些是演化形成的，哪些是免費(fèi)提供的，一定要解開數(shù)學(xué)的一般限制與有彈性的遺傳指令之間的糾結(jié)。

科學(xué)家在很早以前就知道植物具有數(shù)學(xué)性。湯普生清楚地看到植物世界里的奇特?cái)?shù)術(shù)，為植物生長的生物學(xué)帶來重要的影響。

多虧有當(dāng)代動力學(xué)的研究成果，我們現(xiàn)在才對這種生物學(xué)所涉及的知識，有了相當(dāng)清楚的概念。湯普生觀察到，植物王國對某些數(shù)字及螺線幾何結(jié)構(gòu)有奇特的偏好，而這些數(shù)字又與幾何結(jié)構(gòu)極有關(guān)聯(lián)；他的這項(xiàng)觀察，遵循了一個(gè)建構(gòu)完整的傳統(tǒng)，這個(gè)傳統(tǒng)根據(jù)他推測，可追溯至達(dá)文西的時(shí)代，甚至更可遠(yuǎn)推至古埃及。

我們已經(jīng)注意到，植物(如花瓣、萼片及其他各種外貌)里出現(xiàn)的數(shù)目，常取自費(fèi)布納西數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……，在這個(gè)數(shù)列中，每一個(gè)數(shù)都是其前兩個(gè)數(shù)的和。如有例外，多半會是下列兩種情形當(dāng)中的一種：一、這些數(shù)成對出現(xiàn)，這種把戲可能是由植物染色體的某些獨(dú)特性變出來的，但仍然屬于費(fèi)布納西模式；二、所謂的“異常數(shù)列”1，3，4，7，11，18，29，這個(gè)數(shù)列也是按照與費(fèi)布納西數(shù)列相同的加法模式，只不過開始的數(shù)字不同。 針對植物的幾何與數(shù)目模式所做的研究稱為“葉序”，這類研究的歷史和文獻(xiàn)可列出一大串。在18世紀(jì)中葉，就有兩位科學(xué)家研究過冷杉球果里的螺線，這兩位數(shù)學(xué)家分別是龐內(nèi)及卡蘭德利尼。

后來約在1837年，晶體學(xué)先驅(qū)布拉菲兄弟對葉序理論做出了很大的貢獻(xiàn)，他們在生長中的植物身上發(fā)現(xiàn)了最顯著的單一規(guī)則性，也就是植物幾何學(xué)中普遍存在的一種特別角度，這部分我們在后面會談到。

1872年，沉迷于數(shù)學(xué)奇特事物的蘇格蘭數(shù)學(xué)家泰特，利用晶格的幾何結(jié)構(gòu)，證明出每當(dāng)某個(gè)螺線系統(tǒng)一出現(xiàn)，我們一定也會看到其他相關(guān)的螺線。這就是為什么我們會在相鄰的種子中看到兩組螺線，而這兩個(gè)螺線，都與相鄰的費(fèi)布納西數(shù)有關(guān)，也都與模式的真正來源有非常大的差別。但上述這些人的研究僅只是敘述罷了——只是整理出排列的幾何結(jié)構(gòu)，但沒有解釋這些數(shù)目與植物的生長究竟有何關(guān)聯(lián)。

費(fèi)布納西數(shù)術(shù)之謎

為了解釋植物的費(fèi)布，納西數(shù)術(shù)，人們已經(jīng)花了300多年努力尋找答案。終于。這個(gè)目標(biāo)好像已經(jīng)達(dá)成了；1992年，庫德與鐸狄這兩位法國數(shù)學(xué)家，將費(fèi)布納西數(shù)術(shù)追溯到植物發(fā)展所碰到的自然動力學(xué)限制條件，總算對這個(gè)幾世紀(jì)以來的研究做了總結(jié)。

庫德與鐸狄的研究成果證明了植物里明顯的數(shù)學(xué)模式，的確來自物理世界通用的定律，這些模式不只是演化所強(qiáng)化的遺傳偶發(fā)事故。然而就像其他所有的事物一樣，物理定律必須與植物的基因密切合作，如果沒有基因，當(dāng)初就不會生長出任何植物了。

費(fèi)布納西的兔子謎題隱含了更進(jìn)一步的訊息。重要的不只是數(shù)字；這些數(shù)字產(chǎn)生的方式也關(guān)系重大。分支結(jié)構(gòu)擁有令人驚嘆的數(shù)學(xué)理論，而費(fèi)布納西數(shù)是看得見的一點(diǎn)端倪。用上述同樣的結(jié)構(gòu)不僅能說明植物的數(shù)術(shù)，還可以闡釋植物的整個(gè)形態(tài)——也包括植物分枝的方式。如今我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則，來“種”出逼真的草、花、灌木叢和樹木，而那些規(guī)則很有可能就是說明植物如何自我生長的精髓所在。

我們先來談數(shù)術(shù)。要了解費(fèi)布納西數(shù)出現(xiàn)在植物中的狀況，最好的方法其實(shí)不是把重心放在這些數(shù)的四則運(yùn)算上。就某種意義而言，這些數(shù)的相加模式是一種巧合，是費(fèi)布納西數(shù)術(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)果，但不是其重要依據(jù)。探討這個(gè)問題最好的方法，就是來看看植物幾何學(xué)。

要看植物中的模式，最好的起點(diǎn)之一就是從湯普生的這個(gè)例子開始看起：向日葵的排列方式。在此我們會看到相當(dāng)驚人的數(shù)學(xué)模式。

向日葵的花呈現(xiàn)出兩組螺線，一組是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一組則是逆時(shí)針，兩者好像可以互相套合。在這個(gè)例子中，有34條像車輪輻條但呈彎曲狀的順時(shí)針螺線，并有55條逆時(shí)針方向的螺線，這兩個(gè)數(shù)目并不相同，但都是費(fèi)布納西數(shù)——而且在數(shù)列中的位置是相鄰的。確實(shí)的數(shù)目要視向日葵的種類而定，不過我們通?？吹降氖恰?4及55”一組，或“55及89”一組，甚至有的是“89及144”一組。

雛菊也有類似的模式，但是比較小。菠蘿有8排向左傾斜的鱗片(也就是那些呈菱形的小片)，另有13排向右傾斜。挪威云杉的球果有5排鱗片向一個(gè)方向，另有3排向另一個(gè)方向；而一般常見的落葉松(另一種針葉樹)的數(shù)目為8及5；美國落葉松是5及3。

如果遺傳學(xué)可以讓花朵自己挑選喜歡的花瓣數(shù)目，或者松樹球果可以挑選想要的鱗片數(shù)目，那為什么費(fèi)布納西數(shù)會占上風(fēng)?看起來這些數(shù)目很有可能是來自某種更深層的數(shù)學(xué)機(jī)制(譬如植物發(fā)育所受到的動力學(xué)限制條件)，而現(xiàn)存的證據(jù)支持了這個(gè)觀點(diǎn)。

植物的存在是以種子和一枝嫩芽來作為開始，種子發(fā)芽后，很多細(xì)根會長出來，并且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光，向上生長。成熟植物的所有奇特?cái)?shù)術(shù)，原本都已經(jīng)存在了，雖然在那些早期的嫩芽里是肉眼看不到的；它是在植物剛冒出新芽、新細(xì)胞即將出現(xiàn)時(shí)，由許多動力學(xué)條件創(chuàng)造出來的。當(dāng)新細(xì)胞想盡辦法各就各位時(shí)，就已經(jīng)排列好要形成費(fèi)布納西螺線了。

如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有主要外貌發(fā)展過程的一點(diǎn)一滴——包括葉子、花瓣、萼片、小花等等。在新芽頂端的中心，有一個(gè)圓形區(qū)域的組織稱為“頂尖”；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個(gè)接一個(gè)地形成，這些隆起一般被稱為“原基”。

每一個(gè)原基自頂尖移開(更精確的說應(yīng)該是：頂尖從隆起處向外生長，而把隆起留在原地)，最后，這些隆起會長成葉子、萼片之類的東西。還有，那些外貌的一般排列，是在原基開始形成時(shí)就安置好了的，所以問題的癥結(jié)，是在解釋為什么你在原基中看到螺，線的形狀及費(fèi)布納西數(shù)，因?yàn)橹参锔魇礁鳂拥馁M(fèi)布納西特征，全都是這種基本幾何結(jié)構(gòu)的簡單結(jié)果。

第一步是要體認(rèn)，雖然螺線能夠明顯到讓人一眼看出(植物學(xué)家稱之為“斜列線”)，但那并不是植物頂端實(shí)際生長模式的直接表征；就某種程度而言，這些螺線只是錯覺。

最重要的螺線，是依照原基出現(xiàn)的次序來考慮而形成的。由于較早產(chǎn)生的原基移開得較遠(yuǎn)，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現(xiàn)的先后次序。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，原基與原基隔得相當(dāng)開，并排成一條卷繞得非常緊的螺線——稱為“生成螺線”。人的眼睛之所以能分辨出斜列線(費(fèi)布納西螺線)，是因?yàn)樾绷芯€是由相鄰的原基所形成，但生成螺線才是建立數(shù)學(xué)模式的真正功臣。

從生成螺線到黃金角

布拉菲兄弟的偉大貢獻(xiàn)，在于發(fā)現(xiàn)原基沿生成螺線呈間隔排列的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)規(guī)則。他們測量相鄰兩原基之間的角度，首先發(fā)現(xiàn)量得的各個(gè)角度非常相近；而這些角的共同值就稱為“發(fā)散角”。

他們的第二個(gè)發(fā)現(xiàn)，徹底說明了發(fā)散角的性質(zhì)：發(fā)散角往往非常接近137.5°。

布拉菲兄弟發(fā)現(xiàn)黃金角是自然界偏好的數(shù)值，但是他們并沒有找出為什么。毫無疑問的，黃金角是自然界所使用的奇特?cái)?shù)字，因此這其中一定有很好的理由。

1907年，數(shù)學(xué)家易特生首度解釋了為什么黃金角合乎物理原理。他在一條137.5°的緊密繞行的螺線，先標(biāo)示出相鄰各點(diǎn)，然后研究這些點(diǎn)的排列方式。他證明了我們會因?yàn)橄噜弮牲c(diǎn)的排列方式，而得到兩組交錯的螺線：一組是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一組是逆時(shí)針。又因?yàn)橘M(fèi)布納西數(shù)與黃金數(shù)密切相關(guān)，所以兩組螺線的數(shù)目是相鄰的費(fèi)布納西數(shù)。究竟是哪些費(fèi)布納西數(shù)，則要看螺線的旋轉(zhuǎn)有多緊密。

易特生的理論也是純敘述性的：只顯示出排列幾何的主要模式，并沒有解釋這些模式的物理或生物成因。

演化并不會因?yàn)槟硞€(gè)外貌是不錯的點(diǎn)子，就選擇這個(gè)外貌來作為進(jìn)行的對象；一定有某種合理的演化進(jìn)行方式。有效堆排就是一種適當(dāng)?shù)慕忉?，這方式顯然有助于產(chǎn)生強(qiáng)壯而堅(jiān)實(shí)的植物。不過，雖然希望能做到有效堆排，但這種心愿并不能保證一定會存在一種使有效堆排發(fā)生的機(jī)制。

很幸運(yùn)的，鐸狄和庫德所發(fā)現(xiàn)的正好是這種機(jī)制。他們所得到的黃金角，正是動力學(xué)的一項(xiàng)明顯結(jié)果，而不是直接把黃金角假設(shè)成有效堆排的根據(jù)。

他們的第一步，是假設(shè)有某種連續(xù)出現(xiàn)的元素，在相等的時(shí)間間隔下，在一小圓圈的邊緣某處形成；并假設(shè)這些元素接著就直接向外移動。此外他們還假設(shè)每一元素會互相排拒，就像相同的電荷或極性相同的磁極。這種排斥力能使這些元素一直向外移，而每一新元素出現(xiàn)時(shí)，會盡可能遠(yuǎn)離它的前者。換句話說，每個(gè)新的原基會在最大的間隔處進(jìn)出來。

這種系統(tǒng)相信可以滿足伏格的有效堆排的準(zhǔn)則，因此，預(yù)期的黃金角就會自動出現(xiàn)——事實(shí)上也是如此，就像鐸狄和庫德利用物理的模擬所證明的：將盛裝硅酮油的圓盤放進(jìn)垂直磁場中。

他們使微小的磁性流體，在一定的時(shí)間間隔下滴落在圓盤中心。油滴被磁場極化，然后就會相斥；當(dāng)他們使圓盤邊緣的磁場大于圓盤中間的磁場之后，油滴在徑向就會受到一股推力。顯現(xiàn)出來的模式與兩油滴之間的間隔大小有關(guān)，但是很普遍的一種模式是：連續(xù)的油滴會落在螺線上，且發(fā)散角很接近137.5°(即黃金角)，就如向日葵的交錯螺線模式。他們也進(jìn)行了許多計(jì)算機(jī)計(jì)算，得到很類似的結(jié)果。 不過，也有發(fā)散角不接近137.5°的分歧。這并不是鐸狄一庫德學(xué)說的缺陷，而是長處。

模式是必然的結(jié)果

當(dāng)然，沒有人認(rèn)為植物學(xué)像這個(gè)模型一樣，具有完美的數(shù)學(xué)性。特別是，很多植物的原基出現(xiàn)的速率有可能加速或減慢，而形態(tài)及結(jié)構(gòu)上的改變(比方說某個(gè)已知的原基是長成葉子還是花瓣)，往往會伴隨這類變異而來。植物基因所扮演的角色，有可能影響原基進(jìn)發(fā)出來的時(shí)間嗎?基因當(dāng)然不需要告訴原基如何把自 己間隔開來——這是由動力學(xué)來操縱的。

植物的生長是一種結(jié)合了物理學(xué)與遺傳學(xué)的合作結(jié)果，所以兩者都需要，你才能了解植物的生長情形。把這些謎團(tuán)拼圖的最后一塊擺上去之后，植物的驚人數(shù)學(xué)模式就揭曉了，你會發(fā)現(xiàn)這個(gè)模式是植物生長動力學(xué)的必然結(jié)果，因此受到嚴(yán)格數(shù)學(xué)定律的規(guī)范。

如果在一個(gè)存活著截然不同生命(其遺傳原理不是根據(jù)DNA)的遙遠(yuǎn)世界里，也出現(xiàn)了像植物這樣的生命體，也以我們常見的同樣方式生長，那么那些生命體也會呈現(xiàn)出費(fèi)布納西數(shù)術(shù)。費(fèi)布納西數(shù)不是意外發(fā)生的事件；這些數(shù)是普適的幾何原理的結(jié)果，是植物結(jié)構(gòu)的晶體學(xué)。事實(shí)上，植物沒有辦法避開費(fèi)布納西數(shù)，就像食鹽晶體不能不是立方體。