一、輕風級

莊庫買了智力拼圖、玩具汽車和航模三種玩具，已知它們的數(shù)目是各不相同的質數(shù)，而且滿足“智力拼圖數(shù)×(玩具汽車數(shù)+航模數(shù))=110+航模數(shù)”，問莊庫買了多少個玩具汽車?

思路點擊：用奇偶分析法解答。

因為智力拼圖、玩具汽車和航模的數(shù)目是各不相同的質數(shù)，若都是奇數(shù)，則等式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，矛盾，所以必有一個質數(shù)是偶數(shù)，唯一的偶質數(shù)就是2。其他的兩個質數(shù)就是奇數(shù)了。

(1)如果智力拼圖數(shù)是2，則等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾。

(2)如果航模數(shù)是2，則等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾。

(3)所以只能是玩具汽車數(shù)是2。

智慧存檔：

質數(shù)中唯一的偶數(shù)是2，2在質數(shù)中比較特殊。有關質數(shù)問題的許多賽題都與它有關。同學們要結合奇偶分析法解題。

模擬操練(一)

(1)兩個質數(shù)的和是80，這兩個質數(shù)的積最大是多少?

(提示：兩個數(shù)的和一定，差越小，積越大)

(2)已知A×B+13=x，其中A、B均為小于1000的質數(shù)，x是奇數(shù)。那么x的最大值是多少?

二、微風級

判斷109和437是質數(shù)還是合數(shù)。

思路點擊：對于一個不很大的自然數(shù)n(n＞1，為非完全平方數(shù))可以用質數(shù)試除的方法判斷它是質數(shù)還是合數(shù)。先找出一個大于n的最小的完全平方數(shù)a²，再寫出a以內的所有質數(shù)，如果這些質數(shù)都不能整除n，那么n是質數(shù)；如果有一個質數(shù)能整除n，那么n是合數(shù)。

109＜112，而11以內的質數(shù)有2、3、5、7，他們都不能整除109，所以109是質數(shù)。

437＜441，21以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19，用每一個質數(shù)逐一去試除，19能夠整除437，所以437是合數(shù)。

智慧存檔：

對于一個不很大的自然數(shù)n，要判斷它是質數(shù)還是臺數(shù)，可以先找出一個大于n的最小的完全平方數(shù)a²，再寫出a以內的所有質數(shù)，如果這些質數(shù)都不能整除n，那么n是質數(shù)；如果有一個質數(shù)能整除n，那么n是合數(shù)。

模擬操練(二)

判斷119和227是質數(shù)還是合數(shù)。

三、和風級

明明、茜茜和樂樂是住在一個小區(qū)的三個數(shù)學迷，他們的年齡一個比一個大5歲，樂樂最大，茜茜最小。已知他們年齡數(shù)的乘積是1 620。你知道他們三人各有多少歲嗎?

思路點擊：

用分解質因數(shù)的方法先將1620進行分解，然后根據(jù)他們的年齡一個比一個大3歲的條件將分解出來的質因數(shù)進行組合。

因為1620=2×2×3×3×3×3×5 ……分解

=9×12×15……組合

所以樂樂是15歲，明明是12歲，茜茜是9歲。

智慧存檔：

先分解質因數(shù)，再根據(jù)題意將分解的質因數(shù)進行重新組臺，這種方法在小學數(shù)學解題中經(jīng)常用到。

四、清風級

班主任老師帶領學生去種樹，學生平均分成5組，師生每人種樹棵數(shù)相等，已知師生共種樹572棵。一共有多少個學生?每人種多少棵樹?

思路點擊：

由題意可知，師生人數(shù)和每人種樹棵數(shù)都是572的約數(shù)，學生人數(shù)是3的倍數(shù)，再加上1位老師，師生人數(shù)除以3余1。將572分解質因數(shù)得：572＝2×2×11×13=每人種樹棵樹×人數(shù)。

按照題意搭配重組得出：572＝11×(13×2×2)=11×(51+1)。所以這個班共有學生51人，每人種樹1 1棵。

智慧存檔：

分解后的重組要根據(jù)題目的條件，結合數(shù)量關系式具體安排。

模擬操練(四)

(1)小華翻開《數(shù)學大王》看了看這相鄰兩頁的頁碼數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的積是210。你知道這兩個頁碼各是多少嗎?

(2)楊老師用216元錢買了一種筆記本，正好將錢用完。如果每本筆記本便宜1元，則可多買5本，錢也正好用完。楊老師一共買了多少本筆記本?

五、強風級

一個不為0的自然數(shù)A與1080的乘積是一個完全平方數(shù)。求A的最小值和這個完全平方數(shù)。

思路點擊：

一個完全平方數(shù)分解質因數(shù)后各質因數(shù)的個數(shù)一定是偶數(shù)個(寫成各質因數(shù)的若干次方的形式，指數(shù)是偶數(shù))。因為1080 x A=2³×3³×5×A，又因為1080=2³×3³×5的質因數(shù)中各質因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，所以A肯定包含質因數(shù)2、3、5，要湊成完全平方數(shù)A最小為2×3 ×5=30，這樣所有質因數(shù)的指數(shù)都成了偶數(shù)。這個完全平方數(shù)就是1080÷A=1080×30=32400。

智慧存檔：

完全平方數(shù)的尾數(shù)一定是0、1、4、5、6、9。奇數(shù)的平方是奇數(shù)，尾數(shù)只能是1、5、9。偶數(shù)的平方是偶數(shù)，其尾數(shù)只能是0、4、6。

模擬操練(五)

1512乘一個不為零的自然數(shù)a得到一個平方數(shù)，求a的最小值。

六、疾風級

一個自然數(shù)可以分解為3個質因數(shù)的積，如果這3個質因數(shù)的平方和為39630，求這個自然數(shù)。

思路點擊：

因為奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)，而39630是偶數(shù)，所以三個質因數(shù)的平方的奇偶性只能是兩奇一偶，于是3個質因數(shù)也只能是兩奇一偶?？梢钥隙ㄓ幸粋€質因數(shù)是2。那么另兩個質因數(shù)的平方和為39630-2²=89626，而奇數(shù)平方的末位數(shù)只能是1、5、9。所以這兩個質因數(shù)的平方的末位數(shù)字為1和5，于是可以確定有一個質因數(shù)是5。還剩下一個質因數(shù)的平方為39626-5²=39601，用估算的方法可得199²=39601，因此有個質因數(shù)是199。所以所求自然數(shù)為2×5×199＝1990。

模擬操練(六)

算式1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×2×3×3×5× 6的得數(shù)是否可能為完全平方數(shù)?

七、大風級

在100至300之間，只有三個因數(shù)的數(shù)有哪些?

思路點擊：

因為只有3個因數(shù)的數(shù)一定是質數(shù)的平方數(shù)。而在100至300之間共有7個平方數(shù)：11²、12²、13²……17²。只有11、13、17是質數(shù)。所以只有三個因數(shù)的數(shù)是：121(11²) 169(13²) 289(17²)。

智慧存檔：

完全平方數(shù)有奇數(shù)個因數(shù)，只有奇數(shù)個因數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。只有3個因數(shù)的數(shù)一定是質數(shù)的平方數(shù)。

模擬操練(七)

在150至550之間，只有三個因數(shù)的數(shù)有哪些?

八、烈風級

要使乘積195×86×72×380×□的末5位都是零，□中應填入的自然數(shù)最小應該是多少?

思路點擊：

乘積中只要含有質因數(shù)2和5各一個，乘積末尾就出現(xiàn)1個零。根據(jù)題意可知乘積中應該含有質因數(shù)2和5各5個，可以將195、86、72、380都分解質因數(shù)，找一找各有幾個2和5，不足5個的就是口中應該補足的。

195×86×72×380＝5×3×1 3×2×43×2×2×2×3×3×2×2×5×19=5²×2⁶×3³×13×19×43，可知還缺5³。所以□中最小填5³=125。

智慧存檔：

在所有的質因數(shù)中，只有2與5的乘積的末尾有零，且只有一個零，因此一個質因數(shù)相乘的式子中含有幾個2與5的積，其末尾就有幾個零。

模擬操練(八)

要使乘積25×26×27×28×29×30×□的末5位都是零，□中應填入的自然數(shù)最小應該是多少?

九、狂風級

360的因數(shù)有多少個?360的因數(shù)的和是多少?

思路點擊：

如果找一個比較小的數(shù)的因數(shù)，可以用列舉法，但是寫出一個較大的數(shù)的因數(shù)就比較麻煩了?？梢越柚纸赓|因數(shù)的方法。

因為360=2³×3²×5，2³有1、2、2²、2³四種因數(shù)情況；3²有1、3、3²三種因數(shù)情況；5有1、5兩種因數(shù)情況，所以360有4×3×2=24(個)因數(shù)，即(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(個)(指數(shù)加1連乘)。

360的所有因數(shù)的和是(1+2+2²+2³)×(1+3+3²)×(1+5)=1170。

智慧存檔：

一個大于1的整數(shù)的因數(shù)個數(shù)等于它的質因數(shù)分解式中每個質因數(shù)的個數(shù)(指數(shù))加1的連乘積。

模擬操練(九)

(1)600的因數(shù)有多少個?并求出這些因數(shù)的和是多少。

(2)筐里有300個桃子，如果不是一次全部拿出，也不是一個一個地拿，要求每次拿的個數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問共有多少種不同的拿法?

十、暴風級

有8個不同因數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少?

思路點擊：因為8=1×8=2×4=2×2×2＝(7+1)：(1+1)×(3+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1)

若令a、b、c為較小的三個不同的質數(shù)，那么所求的自然數(shù)只能有三種情況：a⁷、a×b³、a×b×c。最小的三個質數(shù)是2、3、5。所以a⁷=2⁷=128，a×b³：3×2³：24，a×b×c=2×3×5=30。所以最小的一個是24。

模擬操練(十)

有一個自然數(shù)含有8個不同的因數(shù)，但質因數(shù)只含有5和5，那么這個自然數(shù)最大是幾?