題目一塊足夠長(zhǎng)的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號(hào)是1，2，3，…n的物塊，所有物塊的質(zhì)量均為m，與木板間的摩擦系數(shù)都相同。 開始時(shí)，木板靜止不動(dòng)，第1，2，3，…n號(hào)物塊的初速度分別是v1，2v0，3v0，…nv0，方向都向右，如圖所示。 木板的質(zhì)量與物塊的總質(zhì)量相等，最終所有物塊與木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊之間均無相互碰撞，木板足夠長(zhǎng)。 試求：（1）所有物塊與木板最終的共同速度；（2）第k（k

分析與求解（1）以木板和全部物塊組成的系統(tǒng)為研究對(duì)，依題意，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，動(dòng)量守恒。設(shè)全部物塊與木板最終的共同速度為v，由動(dòng)量守恒定律得：

mv0+2mv0+…+nmv0=(nm+nm)v，

即(1+2+…+n)mv0=2nmv，

n(1+n)2mv0=2nmv，

所以v=(1+n)v04。（1）

（2）各物塊的初速度依次為v0，2v0，3v0…，nv0，木板初速度為零，當(dāng)各物塊對(duì)木板作用后，木板速度逐漸增大，各物塊速度減小，按1，2，3，…n的先后次序與木板達(dá)到共同速度。因第n號(hào)物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí)，速度減小到最小，所以各物塊減速到與木板速度相同時(shí)為它減速到的最小速度，以后再隨木板一起加速運(yùn)動(dòng)。

設(shè)第k號(hào)物塊的最小速度為vk，此時(shí)木板的速度也為vk，其動(dòng)量為P木=nmvk，前(1~k)號(hào)物塊的總動(dòng)量為P1~k=kmvk，由動(dòng)量守恒定律得剩下的(n-k)個(gè)物塊的總動(dòng)量為：

P(k+1)~n=P0－P木－P1~k

=n(1+n)2mv0-nmvk-kmvk

=n(1+n)2mv0-(n+k)mvk。（2）

設(shè)物塊與木板間摩擦系數(shù)為μ，對(duì)第k號(hào)物塊，由動(dòng)量定理得：

－μmgt=mvk－kmv0

=m(vk－kv0)，

∴t=kv0-vkμg。（3）

對(duì)第k號(hào)后面的(n - k)個(gè)物塊，由動(dòng)量定理得：

－μ(n-k)mgt=P(k+1)~n－P［(k+1)~n］0。（4）

式中P［(k+1)~n］0=［(k+1)+(k+2)+…+n］mv0= mv0。（5）

將（2）、（3）、（5）三式代入（4）式化簡(jiǎn)求得第k號(hào)物塊的最小速度為：

vk=(2n+1-k)kv04n。（6）

檢驗(yàn)：當(dāng)n=k時(shí)，由（6）式得：

vk=(2n+1-n)nv04n

=(1+n)v04

=v。

此結(jié)果與（1）式的結(jié)論相同，說明以上分析求解過程正確。

點(diǎn)評(píng)（1）本題的解答過程中，動(dòng)量守恒定律用了兩次，動(dòng)量定理也用了兩次，解答有關(guān)動(dòng)量的問題，這是兩個(gè)重要的工具。它們的最大優(yōu)點(diǎn)是只考慮始末狀態(tài)，與中間過程無關(guān)。在自然界中，大到宇宙天體之間的相互作用，小到分子、原子、電子等微觀粒子之間的相互作用都遵從動(dòng)量守恒定律。 它是自然科學(xué)中最普遍、最基本的規(guī)律之一，所以此題值得一練。

（2）本題兩次用到了等差數(shù)列的求和公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的關(guān)系。

（3）解這道習(xí)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

①各物塊速度的變化及其最小速度。 當(dāng)?shù)趉號(hào)物塊的速度大于木板的速度時(shí)，物塊與木板相互作用，物塊受木板的摩擦力作用方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反，物塊相對(duì)于木板作減速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)速度減小到與木板速度相同時(shí)達(dá)到最小值。 此時(shí)，因（k+1)~n號(hào)物塊的速度仍大于木板的速度，它們與木板相互作用使木板加速，所以物塊減速到與木板速度相同后，受木板的摩擦力作用方向與其運(yùn)動(dòng)方向相同，物塊與木板相對(duì)靜止，隨木板一起向右加速運(yùn)動(dòng)。 本題突出了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因這一重要物理知識(shí)。

②（4）式的建立。因?yàn)榈趉號(hào)前面的1~(k-1)號(hào)物塊各自在減速過程中與木板的作用時(shí)間不等，是按1，2，3，… 號(hào)的先后順序變長(zhǎng)，只有第k號(hào)后面的(n-k)個(gè)物塊與木板的作用時(shí)間才與第k號(hào)物塊的作用時(shí)間相同，都是t。所以不能用前面1~(k-1)號(hào)物塊來建立（4）式，只能用后面的(n-k)個(gè)物塊來建立（4）式。

（欄目編輯羅琬華）

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