摘要：在目前的高中物理教材中，對平均值的闡述比較簡單，教師在教學中往往又會淡化這一問題，這樣一來，學生在處理相關問題時出錯率就較高，本文分析學生中存在的典型錯誤和教師應采取的對策。

關鍵詞：平均值；典型錯誤；對策

中圖分類號：G633.7文獻標識碼：A

文章編號：1003-6148(2007)10(S)-0024-3

在解決物理量的平均值時，老師在教學中往往會淡化這一問題，因此學生在處理相關問題時，就缺少足夠的理論基礎，從而經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。本文對學生中存在的典型錯誤及教師在教學中需要解決的問題作了初步分析與探討。

1學生在平均值計算中存在的典型錯誤

實例1汽車以一定的功率由靜止開始運動，經(jīng)過t=5s后速度達到18m/s，在這段時間內(nèi)，關于汽車的平均速度的大小，下列選項正確的是（）

A.=9m/sB.>9m/s

C.<9m/sD.以上說法均不正確

解答=v1+v22=9m/s，所以選A。

點評：這個解法是錯誤的。因為公式=v1+v22的適用條件是：v與t成線性關系。在此例中，汽車速度v并不隨著時間t作線性變化，所以不能使用公式=v1+v22。

實例2如圖1所示，物體質(zhì)量為m=2kg，靜止于光滑水平面上，現(xiàn)對該物體施加一水平變力F，已知F隨時間t的變化關系如圖2所示。若物體在水平面上運動了t=10s，發(fā)生的位移為s=50m，求這一時間內(nèi)力F對物體所做的功。



解答因為力F隨時間t作線性變化，所以力F的平均值為

=F1+F22=0+62=3N。

所求的功為WF=s=3×50=150J。

點評：這個解法是錯誤的。在此求出的力的平均值=3N是對時間t的平均值，而在WF=s中，應理解成對位移s的平均值。

實例3如圖3所示，在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一單匝矩形線圈繞垂直于磁場方向的轉動軸O1O2勻速轉動，角速度為ω，矩形線圈的兩條邊的長度分別為L1、L2，線圈的總電阻為R，開始時線圈處在與中性面垂直的位置，試求：線圈從初始位置轉過90°的過程中，線圈中產(chǎn)生的熱量是多少？

解答由法拉第電磁感應定律可知，在線圈從初始位置轉過90°的過程中，感應電動勢的平均值為

=ΔΔt=BSπ2ω=2BL1L2ωπ，

電流的平均值為=R=2BL1L2ωπR。

所求熱量為Q=2Rt=(2BL1L2ωπR)2×R×π2ω=2B2L21L22ωπR。

點評：這個解法是錯誤的。公式Q=I2Rt中的I應為有效值，而不是平均值。

2教師在平均值教學中需要解決的問題

在上述實例中，學生出錯的原因在于概念不清、亂套公式造成的，要糾正學生的錯誤，教師在教學中應向?qū)W生講清以下幾個方面問題：

（1）平均值公式=y1+y22 的適用條件問題，也就是說何時平均值為=y1+y22。

當一個物理量y隨另一個物理量x變化時，若x的變化范圍為［x1，x2］，則在這段范圍內(nèi)，y相對于x的平均值是=∫x2x1ydxx2-x1 ，當y隨x作線性變化時，將y=kx代入上式得=k#8226;12(x22-x21)x2-x1=k(x2+x1)2=y1+y22 ，可見，當一個物理量y隨另一個物理量x作線性變化時，y相對于x的平均值為=y1+y22 ，而作非線性變化時，≠y1+y22。

在實例1中，因為汽車的功率一定，分析運動過程可知，汽車做加速度減小的變加速運動，速度v隨時間t的關系圖像如圖4所示，因為v- t不成線性關系，所以用公式=v1+v22 計算平均速度是錯誤的。

實例1的正確解法為：

如圖4所示，位移s＝“面積”>v1+v22#8226;t。因為=st ，所以>v1+v22=9m/s，正確選項為B。

（2）平均值的相對性問題，也就是說平均值是相對于時間t的平均值還是相對于位移s的平均值。

在實例2中，學生的錯誤在于：求出的平均值=F1+F22=0+62=3N是相對時間量t的平均值，而功的表達式WF=s中的平均值應該理解成相對位移s的平均值。

那么，在實例2中，F(xiàn)隨s的變化關系是什么呢，下面作分析：

F=kt，①

a=Fm=ktm，②

v=∫t0adt=kt22m，③

s=∫t0vdt=∫t0kt22mdt=kt36m。④

由①④式消去t得s=F36mk2，

可見F-s圖像不成線性關系，所以在實例2中不能用=F1+F22求出力F相對位移s的平均值，因此不能通過公式WF=s求功。

實例2的正確解法是：先用動量定理求出末速度v，再用動能定理求出功W。

解答：力F的沖量為I=#8226;t，其中的應理解為力F相對時間t的平均值，因為F- t圖像呈線性關系，所以=F1+F22=0+62=3N。

由#8226;t=mv 得v=#8226;tm=3×102=15m/s。

再用動能定理求出力F所做的功W=12mv2=12×2×152=225J。

其實，在實例2中，若將已知條件改變一下，將F-t圖像改為F-s圖像，則仍可用平均值解題，請看下面的實例：

實例4如圖1所示，物體質(zhì)量為m=2kg，靜止于光滑水平面上，現(xiàn)對該物體施加一水平變力F，已知F隨位移s的變化關系如圖5所示，若物體在水平面上運動的位移為s=50m，求這一過程中力F對物體所做的功。

解答因為力F隨位移s作線性變化，所以力F相對位移s的平均值為=F1+F22=0+62=3N。所求的功為WF=s=3×50=150m/s。這個解法是正確的。

在此，學生一定對如何判斷平均值是相對時間t的還是相對位移s的問題感到困惑。下面談這個問題：

（3）如何判斷一個物理量y的平均值是相對時間t還是相對位移s的平均值。

前面已經(jīng)說過，當一個物理量y隨另一個物理量x變化時，若x的變化范圍為［x1，x2］，則在這段范圍內(nèi)，y相對于x的平均值是=∫x2x1ydxx2-x1，把此式變形得∫x2x1ydx=#8226;(x2-x1)，如果x1=0，則式子又變?yōu)椤要瑇0ydx=#8226;x，可見，只要在計算題中求解的平均值滿足關系式∫x2x1ydx=#8226;(x2-x1)或∫x0ydx=#8226;x，則平均值應理解成物理量y相對物理量x的平均值。

在實例4中，計算功時，因為F隨s變化，所以WF=∫s0Fds=s，此式中的平均值 是相對s的平均值。在實例2的正確解法中，計算沖量時，因為F隨t變化，所以IF=∫t0Fdt=t，此式中的平均值是相對t的平均值。 

在實例1中，速度隨時間t發(fā)生變化，所求的平均速度實際上就是=∫t0vdtt，可見是相對時間t的平均值。下面再舉一個實例，說明也可以是相對距離l的平均值。

實例5如圖6所示，在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一長為L的轉動棒垂直于磁場方向放置，現(xiàn)讓棒繞O點勻速轉動，角速度為ω，求棒產(chǎn)生的感應電動勢E。

解答如圖6所示，用公式E=BLv來處理問題，因為棒上各點的速度v是隨著棒與圓心之間距離l的變化而變化的，所以考慮用平均速度代入運算，即E=∫L0vdl=BL，這里的是相對距離l的平均值，因為v＝lω，可見v隨l作線性變化，所以=v1+v22=Lω2，從而得

E=BL=BL2ω2。

⑷平均值與有效值的區(qū)別

在實例3中，學生混淆了平均值與有效值這兩個物理概念，教師可讓學生理解如下內(nèi)容：

由物理公式=qt得q=#8226;t，可見在用公式q=It計算電量時，電流I應該用平均值代入進行計算。

而計算熱量的公式是焦耳定律Q=I2Rt，當電流變化時，I以什么值代入進行計算呢，物理上引入了有效值I有的概念，定義是∫t0I2Rdt＝I2有Rt，可見，在用公式Q=I2Rt計算熱量時，I應該用有效值代入進行計算。

那么實例3中的電流i的有效值是多少呢？分析轉動過程后發(fā)現(xiàn)，電流i按正弦規(guī)律變化，可設i=Imsinω t，將i 代入到表達式∫T0i2Rdt=I2有RT中，即得∫T0（Imsinω t）2Rdt=I2有RT，運用數(shù)學知識計算后得I有=Im2。

理解了這些內(nèi)容后，易得實例3的正確解法：電動勢的最大值為Em=BSω=BL1L2ω，

電流的最大值為Im=EmR=BL1L2ωR，

電流的有效值為I=Im2=BL1L2ω2R，

故電量為Q=I2Rt=(BL1L2ω2R)2R×π2ω

=πB2L21L22ω4R。

參考文獻：

［1］人民教育出版社物理室. 全日制普通高級中學教科書（必修）物理（第一冊）. 北京：人民教育出版社，2003.6

［2］人民教育出版社物理室. 全日制普通高級中學教科書（必修加選修）物理（第二冊）. 北京：人民教育出版社，2003.6

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。