1力的平行四邊形定則中的矢量幾何圖解和結論

如果兩分力F1、F2的合力為F，則三個力矢量必構成平行四邊形。如圖1（A）示，該平行四邊形含有兩個全等三角形，每個三角形都包含了三個矢量的大小和方向。取其中的一個三角形（注意矢量F1、F2是首尾相接的）如圖1（B）示，則兩矢量相加的矢量式為：

由此得兩個分力的合力的矢量圖解畫法：將已知的兩個分力矢量首尾相接，那么從一個分力矢量的始端點畫到另一個分力矢量的末端點所得到的力矢量就是這兩個分力的合力矢量。（1）

從圖1（B）的矢量幾何圖解還可知，合力F的大小由分力F1、F2的大小及其夾角θ共同決定。在兩分力大小不變的條件下，當兩分力共線同向時（θ=0°），合力最大為Fmax=F1+F2，其方向與兩分力方向相同；當兩分力共線反向時（θ=180°）合力最小為Fmin=｜F1-F2｜，其方向與較大的一個分力方向相同，合力F的大小取值范圍為：

對圖1（A）示的力的平行四邊形定則，其物理意義表示：共點力F1、F2的共同作用效果等效于力F單獨作用的效果；反過來，力F作用的效果也可以被二個共點力F1、F2的同時作用來等效替代。兩個力F1、F2與一個力F是一種等效替代的關系，同時也是力的合成與分解的關系。

2引申及應用

2.1 判斷三共點力是否平衡

在圖1(B)中，若矢量F被等大、反向的力矢量F3替換，如圖2示，那么三個矢量的有向線段依次首、尾相接便構成了一個封閉三角形，其矢量式為F1+F2+F3=0，物理意義表示：三個共點力F1、F2、F3共同作用使質(zhì)點處于平衡狀態(tài)。把F1、F2、F3中的任意一個力當作另外兩個力的合力，由上（2）式得：

其實由三角形幾何性質(zhì)，任意兩條邊之和大于第三邊（包含F(xiàn)1、F2兩個力矢量共線的情形），知上面三個式子中只要有一個式子成立，那么另外兩個式子也隨之必然成立。利用（3）式，可以對已知的三個共點力（只知三力的大小）是否平衡進行判斷。

例1一個物體受到三個共點力作用，不可能使物體處于平衡狀態(tài)的是（）

A.7N，4N，3NB.8N，8N，8N

C.7N，7N，2ND.7N，3N，2N

解對A項：令F1=7N，F(xiàn)2=4N，F(xiàn)3=3N，利用上面（3）式和圖2的示意進行檢驗知，7N確實落在區(qū)間［1N，7N］內(nèi)，表明這三個共點力彼此方向夾角合適時是能達平衡的。用同樣方法檢驗B、C、D項得正確答案是D。

2.2確定已知幾個不同方向的共點力矢量的合力矢量

在圖1（B）中，如果力矢量被等大、同向的力矢量F3替換，如圖3示，這三個矢量不構成閉合的三角形，由結論（1）知圖3示的矢量幾何圖解的物理意義為質(zhì)點受到F1、F2、F3三個共點力作用處于F合=2F3的加速狀態(tài)。

這種求兩個分力的合力的矢量的幾何圖解推廣到求多個共點力的合力即為：幾個首尾相接的力矢量的合力矢量一定等于從第一個矢量的始端點畫到末矢量的末端點所得到的矢量。（4）

例2一個質(zhì)點受到如圖4示的5個共點力F1、F2、F3、F4、F5的作用，則物體所受合力的大小為（）

A、2F4B、2F5 

C、F4+F5D、F5

解從圖4可以看出，在5個共點力中，F(xiàn)1、F2、F3、F4構成首尾相接的力矢量鏈，據(jù)結論（4）知F1、F2、F3、F4的合力大小方向等于F5，如圖5示，得質(zhì)點所受合力為2F5，故正確答案選B。

2.3確定已知二力產(chǎn)生的加速度大小的取值范圍

如果（2）式兩邊同時除物體的質(zhì)量m，依不等式運算規(guī)則和牛頓第二定律可得物體的加速度a大小取值范圍為：

例3質(zhì)量為10kg的物體，放在光滑的水平面上，同時受到8N和12N兩個共點力的作用，這兩個力的作用線均在光滑的水平面內(nèi)，則物體的加速度大小可能是（）

A、0.3m/s2B、1m/s2

C、2m/s2D、4m/s2

解由題意，依上（5）式得：0.4m/s2≤a≤2.0m/s2，故正確答案選BC。

2.4確定合速度大小的取值范圍

在圖1（A）中，如果我們把F1、F2兩個力矢量分別當作物體的兩個分運動的速度矢量v1、v2，則力矢量F就可以當作這個物體的合運動速度矢量v，由（2）式得物體合運動速度v大小取值范圍為：｜v1-v2｜≤v≤v1+v2（6）

例4汽船以額定功率工作，能獲得的船速始終保持4m/s（相對于靜水），若河水的流速是2.5m/s不變，則河岸的人能看到汽船的實際船速大小可能是（）

A.1m/sB.2.5m/s

C.4m/sD.7m/s

解汽船在河水中的運動看作是船對靜水運動和河水運動的合運動。已知v1=4m/s，v2=2.5m/s，依上（6）式得：1.5m/s≤v≤6.5m/s。故正確答案選BC。

2.5確定系統(tǒng)總動量大小的取值范圍

對由兩個物體組成的系統(tǒng)，若用p1、p2分別表示兩個物體的動量，這兩個物體組成的系統(tǒng)的總動量為p，依（2）式得系統(tǒng)總動量p的大小取值范圍為：｜p1-p2｜≤p≤p1+p2（7）

例5在光滑的水平面上有A、B兩個小球，它們的質(zhì)量分別為2kg和4kg，速度大小分別為4m/s和3m/s，則由A、B兩小球組成的系統(tǒng)的總動量的值可能是（）

A.3kgm/sB.4kgm/s

C.15kgm/sD.20kgm/s

解已知p1=8kgm/s，p2=12kgm/s依上（7）式得：4kgm/s≤p≤20kgm/s。故正確答案選BCD。2.6確定速度增量、動量增量（或合外力沖量）大小的取值范圍

在圖1（B）中，從F和F1的起點共點來看，F(xiàn)和F1兩矢量相減的矢量式為：F2=F-F1（8）

假設一個質(zhì)點做變速運動，初速度矢量為v1、末速度矢量v2，則速度變化量

Δv=v2-v1（9）

對照（8）（9）兩個矢量式可以看出，當質(zhì)點的某個物理矢量經(jīng)歷一個時空變化的過程時，其初始矢量、末矢量和增量矢量三者之間矢量的幾何圖解畫法是：將初矢量的起點和末矢量的起點共點，由初矢量的末端點畫到末矢量的末端點所得到的矢量就是該量的變化量矢量（10）

如圖6示，可看出，在初、末速度的大小一定時，當θ=0°時，速度變化量矢量Δv最?。划敠?180°時，速度變化量矢量Δv最大。速度變化量矢量Δv和合外力沖量I合的大小取值范圍為：

｜pt-p0｜≤Δp（或I合）≤pt+p0（12）

例6質(zhì)量為10kg的小球，其速度大小為4m/s，與某個物體相碰后速度大小變?yōu)?m/s。問：該小球碰撞過程①小球速度變化量的大小不可能的是（）②小球動量的變化量的大小可能的是（）③小球受到合外力的沖量的大小可能是（）A.9m/sB.7m/sC.5m/s

D.1m/sE.8kgm/sF.10kgm/s

G.20kgm/sH.68kgm/sI.2Ns

J.3NsK.11NsL.15Ns

簡解依題意，由上（11）（12）式可得：

1m/s≤Δv≤7m/s；

10kgm/s≤Δp≤70kgm/s；

10Ns≤I合≤70Ns；

正確答案選

①A；②FGH；③KL。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。