勾股定理及其逆定理是幾何中的重要定理,其應(yīng)用極其廣泛,歷年來都是各地中考命題的熱點.了解一下往年中考怎么考,你學(xué)習(xí)時就會胸有成竹!
一、 直接應(yīng)用
三、構(gòu)造應(yīng)用
例3(2006年湖南省常德市中考試題)如圖3,P是等邊三角形ABC
內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC,以BP為邊作∠PBQ=60°,且BQ=BP,連接CQ.
(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,連接PQ,試判斷△PQC的形狀,并說明理由.
解析:(1)猜想:AP=CQ.
證明:在△ABP與△CBQ中,因為AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ -∠PBC=∠CBQ,所以△ABP≌△CBQ,所以AP=CQ.
(2)由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,可設(shè)PA=3a,PB=4a,PC=5a,連接PQ,在△PBQ中,由于PB=BQ=4a,且∠PBQ= 60°,所以△PBQ為正三角形,所以PQ=4a.于是在△PQC中,因為PQ2+QC2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2,所以△PQC是直角三角形.
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