對稱是圖形的一個(gè)重要特征，線段、角、等腰三角形、等腰梯形等都是軸對稱圖形.軸對稱圖形有許多重要的性質(zhì)，巧用這些性質(zhì)，可以妙解許多問題.現(xiàn)舉幾例說明.

例1 （2005年遵義市中考試題）已知：如圖1，AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD延長線上的一點(diǎn)，試說明BF=CF.

解：連結(jié)BC.由AB=AC，得點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上；由BD=DC，得點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上.因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以直線AD就是線段BC的垂直平分線，從而點(diǎn)F在線段BC的垂直平分線上，所以BF=CF.

評注：本題也可以用全等三角形的方法來說理，但必須兩次說明三角形全等，而用線段的垂直平分線的性質(zhì)來說明，簡化了說明過程.線段的垂直平分線有兩個(gè)結(jié)論，解題時(shí)須注意：只有一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)都在某線段的垂直平分線上，才能說這條直線是該線段的垂直平分線；一個(gè)點(diǎn)在線段垂直平分線上，這個(gè)點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離才相等.同學(xué)們要注意這些關(guān)鍵過程的表述，謹(jǐn)防出錯(cuò).線段垂直平分線的兩個(gè)結(jié)論常聯(lián)合“作戰(zhàn)”，要注意它們的區(qū)別，以免混淆.

例2如圖2，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延長線于G.試說明BF=CG.

解：連結(jié)BE、CE.因?yàn)镈E⊥BC，DB=DC，所以BE

=CE.

又因?yàn)锳E平分∠BAC，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，所以EF=EG.

在Rt△BEF與Rt△CEG中，因?yàn)锽E=CE，EF=EG，所以Rt△BEF≌Rt△CEG（HL），所以BF=CG.

評注：在使用角平分線的對稱性質(zhì)說理時(shí)，兩個(gè)垂直條件不可少，否則結(jié)論不一定成立.

例3 （2005年南京市中考試題）如圖3所示，在一個(gè)房間內(nèi)，有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的距離MA為a m，此時(shí)梯子的傾斜角為75°，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的距離NB為bm，梯子的傾斜角為45°，這間房間的寬AB是多少？

解：連結(jié)MN，MB.因?yàn)椤螦CM=75°，∠BCN=45°，所以∠MCN=60°.又CM

=CN，故△CMN為等邊三角形，MC=MN.又BN⊥BC，∠BCN=45°，所以BC=BN，所以BM是四邊形BCMN的對稱軸，BM垂直平分CN，∠ABM=∠MBN=45°.又MA⊥AB，所以AB=AM=a（m）.

答：這間房間的寬AB為a m.

評注：有些同學(xué)作ME⊥CN于E，連結(jié)BE后，就認(rèn)為BE⊥CN，這是不對的.此時(shí)你必須說明M、E、B在一條直線上.本題也可以作MD⊥BN于D，再說明四邊形ABDM為矩形.

例4（2005年南寧市中考試題）如圖4所示是一塊梯形空地，其中AD∥BC，AB=CD.請你設(shè)計(jì)一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P，使得△APB

≌△DPC，且S△APD=S△BPC，并說明你的理由.

分析:由等腰梯形的軸對稱性和△APB≌△DPC知點(diǎn)P在AD、BC的中垂線上.設(shè)P到AD的距離為xcm，利用S△APD=S△BPC列方程求解.

解：如圖4所示，點(diǎn)P在AD、BC的垂直平分線上，此時(shí)PA=PD，PB=PC.所以△APB≌△DPC.設(shè)P到AD的距離為xm，則P到BC的距離為（12-x）m，所以，S△APD=1/2×10x=5x，S△BPC=1/2×20（12-x）=10（12-x），當(dāng)S△APD=S△BPC時(shí)，有5x=10·（12-x），解得x=8.所以當(dāng)P點(diǎn)在AD、BC的中垂線上，且與AD的距離為8m（在梯形內(nèi)）時(shí)，△APB≌△DPC，且S△APD=S△BPC.

評注：這是一個(gè)運(yùn)用對稱知識解決實(shí)際問題的典型例子.在確定P點(diǎn)的位置時(shí)，我們先找到一條直線（AD、BC的中垂線），再在直線上確定這一點(diǎn).這種“逐步逼近”的方法在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文