小清來找Z老師，對一道中考試題的解有不同的看法.這是2006年內(nèi)江市的一道中考試題[注]：某廣告公司準(zhǔn)備設(shè)計形狀為梯形的廣告牌，要求梯形的四條邊長分別為1米、4米、4米、5米，則該廣告牌的面積為____平方米.提供的答案是6 .

小清說：當(dāng)上、下底分別為1米、5米時，這是一個腰長為4的等腰梯形，它的面積是6 平方米.但我可以搭成另一個梯形，它的上、下底分別為1米、4米，兩腰長為4米、5米，這是一個直角梯形，與題意不矛盾，而它的面積是10平方米.因此本題應(yīng)有兩解，該書所提供的答案不完整.

Z老師說：你在研究中考題時，不迷信提供的答案，勤于思考，這種精神值得倡導(dǎo).本題是否還有其它解呢？

小清說：我只是覺得四條邊構(gòu)成一個梯形的可能性較多，試一試，發(fā)現(xiàn)還有另一種情況存在，沒有作進一步的探究.

Z老師說：在解決有關(guān)梯形的問題時，常將它化歸為三角形的問題，如圖1，若選定兩線段為底，這兩條線段的差與余下的兩條線段若能構(gòu)成三角形，那么這四條線段就能構(gòu)成梯形.因此構(gòu)成梯形的問題的實質(zhì)是構(gòu)成三角形.

第一種情況，選1、4為底，其差為4-1=3，另外兩條線段長是4、5，因為3+4＞5，能構(gòu)成三角形，這就是你發(fā)現(xiàn)的第二解的情況；第二種情況，選1、5為底，其差是5-1=4，另外兩條線段長是4、4，因為4+4＞4，能構(gòu)成三角形，這就是參考書所提供解的情況；第三種情況，選4、5為底，兩底的差為5-4

=1，另外兩條線段的長為1、4，因為1+1＜4，不能構(gòu)成三角形.

小清插話說：還有第四種情況，選4、4為底.

Z老師說：請你想一想，什么叫梯形？

小清頓悟，說：這種情況不需要考慮.（為什么？請你思考.）

Z老師說：現(xiàn)在我們可以斷言，本題有且僅有兩解.由于各種情況的討論都類同，我設(shè)計了如下的表格，直接填寫，既方便又準(zhǔn)確.

下面請你解一道題：用四條線段a=14，b=13，c=9，d=7作為四條邊，構(gòu)成一個梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值是______ .

小清想了想，列表如下：

中位線的長的最大值是10.5.

Z老師說：你做得很好.但我有一點建議，本題是求中位線長的最大值，因此對于后兩種情況，其實可不予考慮.因為能否構(gòu)成梯形都已不影響本題的結(jié)果.

構(gòu)成多邊形的問題，通常轉(zhuǎn)化為構(gòu)成三角形的問題.不妨再看一道題：一個四邊形各邊長都是整數(shù)，且它的任意三條邊都不能構(gòu)成三角形，求這個四邊形周長的最小值.

小明沉思了一會，說：邊長為整數(shù)的四邊形周長的最小值是4，即邊長為1的正方形，但三條邊1，1，1，能構(gòu)成三角形，不合題意.因此設(shè)第三條邊長為x，與前兩條邊不能構(gòu)成三角形，所以有1+1≤x，即x≥2，x應(yīng)是大于或等于2的整數(shù)，取其最小值2.同理，對于第四條邊y，應(yīng)滿足1+2≤y，即y≥3，取最小值3.這時四邊形的周長為1+1+2+3=7，這就是所求的周長的最小值.

Z老師說：你注意考慮極端情況，并逐步調(diào)整，分析得很透徹.請問滿足條件的四邊形有多少個？

小清說：應(yīng)該有無數(shù)個，這是由于四邊形的不穩(wěn)定性.

Z老師說：對.下面再請你考慮一個問題：一個四邊形的四條邊長都是整數(shù)，由小到大依次為5、6、11、x，且它的任意三條邊都不能構(gòu)成三角形，求x的取值范圍.

小清說：因為5+6=11，所以5、6、11不能構(gòu)成三角形，x為最大邊，只要6

+11≤x，即x≥17.那么x與這三邊中的任意兩邊都不能構(gòu)成三角形.

小清停了停，心想難道x的取值范圍就是大于或等于17的整數(shù)？問題會這樣簡單嗎？不可能.小清在紙上畫了畫，原來如此！小清接著說：由于x還必須滿足x＜5+6+11即x＜22，所以本題x的取值應(yīng)為17，18，19，20，21.

Z老師說：由于兩點之間以連結(jié)這兩點的線段為最短，所以多邊形的任意一邊都小于其余各邊的和，在構(gòu)成多邊形的問題中這是要特別注意的.

望著小清期待的目光，Z老師說：我再請你思考一道題：一個六邊形的周長是24，各邊長是整數(shù)，且任意三條邊都不能構(gòu)成三角形，這樣的六邊形存在嗎？若存在，有多少個不同的六邊形？（六條邊長都相同，視作相同的六邊形.）

小清在紙上排了一下，1、1、2、3、5、8，這六個數(shù)的和是20，不合題意.若將8改為12，雖然各邊的和為24，但1+1+2+3+5=12，又不合題意.滿足題意的六邊形是否不存在？

看著小清的計算，望著小清遲疑的神態(tài)，Z老師說：你從周長最小的六邊形著手，調(diào)整最大邊的長度，這是對的.為什么其它邊的長度不能調(diào)整呢？

小清將次大邊長由5改為6，最大邊長為11，六條邊長為1、1、2、3、6、11，符合題意；由5改為7，最大邊長為10，六條邊長為1、1、2、3、7、10，也符合題意；由5改為8，最大邊長為9，六條邊長為1、1、2、3、8、9，由于3+8＞9，這三條邊能構(gòu)成三角形，不合題意.

接著小清又將第四條邊長3改為4，得：1、1、2、4、6、10，也符合題意.而1、1、2、4、7、9則不合題意.將第三條邊長由2調(diào)整為3，得：1、1、3、4、7、11，六邊形周長的最小值是27，已超過24.因此，符合題意的六邊形有3個，它們的邊長分別為1、1、2、3、6、11；1、1、2、3、7、10；1、1、2、4、6、10.

[注]《2006年全國中考試卷匯編》第48頁.中國少年兒童出版社.

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