摘要:針對(duì)一類(lèi)具有分離變量的不確定非線(xiàn)性系統(tǒng)，討論其魯棒非脆弱H∞控制問(wèn)題#65377;假定所要設(shè)計(jì)的控制器存在狀態(tài)反饋增益變化，設(shè)計(jì)方法是以線(xiàn)性矩陣不等式組的形式給出的#65377;文中設(shè)計(jì)一個(gè)具有狀態(tài)增益變化和時(shí)滯狀態(tài)增益變化的非線(xiàn)性反饋控制器，并且保證閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的同時(shí)具有H∞擾動(dòng)衰減度#65377;仿真結(jié)果證明了結(jié)論的有效性#65377;

關(guān)鍵詞:非脆弱控制; 非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng); LMI

中圖分類(lèi)號(hào):TP13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1引言

Keel和Bhattacharyya在文獻(xiàn)[1]中指出控制器中參數(shù)的小擾動(dòng)有時(shí)會(huì)破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此有必要考慮所設(shè)計(jì)的控制器能承受這種參數(shù)增益變化#65377; Keel 和Bhattacharyya稱(chēng)這種能承受參數(shù)增益變化的控制器為非脆弱控制器(a non-fragile controller)#65377;關(guān)于線(xiàn)性系統(tǒng)的非脆弱控制問(wèn)題已經(jīng)很多研究[2，3，7，8]#65377;為了解決線(xiàn)性系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問(wèn) 題，人們已經(jīng)研究出了一些重要的方法來(lái)設(shè)計(jì)H∞控制器[2，3，4]#65377;但是， 到目前為止，還 沒(méi)有關(guān)于非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)方法的研究#65377;本文研究一類(lèi)具有分 離變量的 非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問(wèn)題，并給出了狀態(tài)反饋和時(shí)滯狀態(tài)反饋的H ∞控制器的設(shè)計(jì) 方法#65377;假定反饋增益中存在參數(shù)變化，獲得了一些用線(xiàn)性矩陣不等式表示的與時(shí)滯無(wú)關(guān)的充 分條件#65377;最后，數(shù)值例子闡述了控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程和方法的有效性#65377;

2問(wèn)題描述

考慮如下的具有分離變量的不確定非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng):

這里x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))T∈Rn是系統(tǒng) 的狀態(tài)向量，u(t)∈Rm是控制輸入，ω(t)∈Rq是外部擾動(dòng)信號(hào)，且ω(t )∈L2[0，+∞)，z(t)∈Rp是控制輸出向量，G(x(t))=(g1 (x1(t))，g2(x2(t))，…，gn(xn(t)))T∈Rn是已知的非 線(xiàn)性向量值函數(shù)，A，Ah，B，Bω，C，Ch和D為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣 ，(t)為連續(xù)的向量值初始函數(shù)，且t∈[-h，0]，h>0為系統(tǒng)的時(shí)滯常數(shù)， ΔA(t)，ΔAh(t)，ΔC(t)和ΔCh(t)為未知的實(shí)矩陣函數(shù)，表示時(shí) 變參數(shù)不確定性，且具有以下形式:

這里M1，M2，N1和N2為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)為L(zhǎng)ebesgue可 測(cè)的未知時(shí)變實(shí)矩陣且滿(mǎn)足

FT(t)F(t)≤I，t(3)

其中I是具有適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣#65377;

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2007年3月 第26卷第1期劉碧玉等:具有分離變量的不確定非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒非脆弱H∞控制具有分離變量的非線(xiàn)性系統(tǒng)能夠模擬一些物理過(guò)程，比如連續(xù)時(shí)間的Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) [ 5]，而且許多非線(xiàn)性系統(tǒng)能夠轉(zhuǎn)化成這種具有分離變量的非線(xiàn)性系統(tǒng)#65377;例如，利用一些 線(xiàn)性變換可以將Lurie直接控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成這種非線(xiàn)性系統(tǒng)[6，11]#65377;

注1當(dāng)非線(xiàn)性函數(shù)gi(xi)=xi時(shí)，非線(xiàn)性系統(tǒng)(1)就退化為線(xiàn)性系統(tǒng)#65377;也 就是說(shuō)，系統(tǒng)(1)是線(xiàn)性系統(tǒng)的自然推廣#65377;

全文的討論基于以下假定:

假定1

本文的目的是解決下面問(wèn)題:

魯棒非脆弱控制H∞問(wèn)題 已知常數(shù)γ>0，設(shè)計(jì)具有增益變化的非線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制器

其中K∈Rm×n為狀態(tài)反饋增益，ΔK是增益變化，且滿(mǎn)足如下的范數(shù)有界條件

H和E是具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，且滿(mǎn)足

使得閉環(huán)系統(tǒng)在ω(t)≡0時(shí)是大范圍漸近穩(wěn)定，同時(shí)系統(tǒng)在零初始條件下對(duì)任意 非零ω(t)∈L2[0，∞)和任意滿(mǎn)足( 6)式的F1(t)具有H∞性能，即滿(mǎn)足‖z(t)‖2<γ‖ω(t)‖2#65377; 具有以上性質(zhì)的控制器(4)稱(chēng)為系統(tǒng)∑的魯棒非脆弱H∞控制器#65377;

注2以上特性的非脆弱控制問(wèn)題類(lèi)似于文獻(xiàn)[2，7，8]中所討論的非脆弱控制問(wèn)題，只是 本文所討論的控制器(4)是非線(xiàn)性的狀態(tài)反饋，而且還有控制器增益變化#65377;

為了處理參數(shù)的不確定性，我們引入下列引理#65377;

引理1[9]設(shè)U，V，W，P和F是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，P>0，F(xiàn)TF≤I， 則有下列結(jié)論成立:

3主要結(jié)果

3.1H∞性能分析

首先考慮系統(tǒng)∑在未控情形下(即u(t)=0時(shí))的H∞性能#65377;即考慮如下系統(tǒng):

∑1∶

類(lèi)似于上一節(jié)的討論，如果系統(tǒng)∑1在ω(t)≡0時(shí)是大范圍漸近穩(wěn)定的，同時(shí)在零初 始值條件下，對(duì)任意非零的ω(t)∈L2[0，∞)滿(mǎn)足‖z(t)‖2<γ‖ω( t)‖2，就稱(chēng)系統(tǒng)∑1具有魯棒H∞性能#65377;

下面的定理給出了系統(tǒng)∑1具有魯棒H∞性能的充分條件#65377;

定理1在假定1的條件下，對(duì)給定的常量γ>0，如果存在標(biāo)量ε1>0，ε2>0，矩 陣Λ=diɑg{α1，α2，…，αn}>0和Q>0使得下式成立，其中

那么系統(tǒng)∑1具有魯棒H∞性能#65377;

證明對(duì)給定標(biāo)量γ>0，考慮如下的性能指標(biāo):

選取如下形式的Lyapunov-Krasovskii泛函V(xt)

其中，xt=x(t+θ)，θ∈[-h，0]#65377;由假定1和定理1的條件，我們可以判 定 函數(shù)V(xt)是正定的#65377;下面先證明系統(tǒng)∑1在ω(t)=0時(shí)是漸近穩(wěn)定的#65377;V( xt)沿系統(tǒng)(7)的解在ω(t)=0時(shí)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為:

再根據(jù)(2)式和引理1中的結(jié)論(Ⅰ)，對(duì)任意標(biāo)量ε1>0，有

從而，

另一方面，由(8)式很容易得到

由Schur補(bǔ)可知，不等式(14)等價(jià)于

所以，

又由Schur補(bǔ)可知，此不等式成立就意味著Φ<0，由此可知(xt) <0#65377;這就證明了系統(tǒng)∑1在ω(t)=0時(shí)是漸近穩(wěn)定的#65377;

再證系統(tǒng)在零初始值條件下，對(duì)任意非零的ω(t)∈L2[0，∞)滿(mǎn)足‖z(t)‖ 2<γ‖ω(t)‖2#65377;考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零初始值條件，我們將Jzω改寫(xiě) 為:

這里的V(xt)即為(11)式所選取的函數(shù)#65377;因?yàn)樵诹愠跏贾禇l件下V(xt)| t=0=0，V(xt)|t=∞>0，所以對(duì)任意非零的ω(t)∈L2 [0，∞)，有

Jzω≤∫∞0[zT(t)z(t)-γ2ωT(t)ω(t)+(xt)]dt(15)

由(8)式很容易得到

ε2I-MT2M2>0

從而由引理1的結(jié)論(Ⅱ)，可以得到

同時(shí)應(yīng)用(12)式和(16)式，可得到Jzω的上界為其中，

Φ是由(13)式給定的#65377;

由Schur補(bǔ)，線(xiàn)性矩陣不等式(8)式成立就保證了Ξ<0成立，因此對(duì)任意非零的ω( t)∈L2[0，∞)，有Jzω<0，即‖z(t)‖2<γ‖ω(t)‖ 2#65377;定理得證#65377;

3.2非脆弱H∞控制器設(shè)計(jì)

這里，我們將給出非脆弱H∞控制問(wèn)題解存在的充分條件#65377;將(4)，(5)，(6)式代入 系統(tǒng)∑中，我們得到閉環(huán)系統(tǒng)∑c如下:

∑c∶

定理2在假定1的條件下，對(duì)給定的常量γ>0，如果存在標(biāo)量ε1>0，ε2>0， 矩陣X=diɑg{β1，β2，其中，Ψ11=AX+XAT+BY+YTBT+Z，Ψ12 =AhX+BY#65377;則系統(tǒng)∑是非脆弱H∞可控 的，且非脆弱H∞控制器為u(t)=(YX-1+ΔK)[G(x(t))+G (x(t-h))]#65377;

證明由閉環(huán)系統(tǒng)(17)和定理1，可以證明定理2#65377;

注3定理2給出了具有分離變量的不確定非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒非脆弱H∞控制器的一種 設(shè)計(jì)方 法，而且此控制器的設(shè)計(jì)是通過(guò)求解一個(gè)LIM得到的#65377;值得一提的是，雖然(18)式中 的線(xiàn) 性矩陣不等式中有幾個(gè)參數(shù)和待定矩陣，但仍然能有效地求解，而且不需要進(jìn)行參數(shù)調(diào)整#65377; 由于魯棒非脆弱H∞控制器考慮了狀態(tài)時(shí)滯，所以比以前的方法具有較小的保守性#65377;

4數(shù)值例子

在這一節(jié)，我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明上一節(jié)的非脆弱控制器的設(shè)計(jì)方法#65377;

例1 在系統(tǒng)(1)中，設(shè)非線(xiàn)性方程為fi(xi)=x3i，i=1，2，其 中，系數(shù)分別為:

滿(mǎn)足(2)式和(3)式的不確定矩陣為

目的是設(shè)計(jì)一個(gè)非線(xiàn)性的有記憶狀態(tài)反饋控制器，并使閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且在零初始 條件下，對(duì)給定常數(shù)γ=0.5滿(mǎn)足‖z(t)‖2<γ‖ω(t)‖2#65377;假定滿(mǎn)足( 5)和(6)式的控制器中的參數(shù)設(shè)為

H=[0.01，0.02]，E=0.30.2

0.40.5.

為了解決非脆弱控制問(wèn)題，我們利用MATLAB中的LMI工具箱求解線(xiàn)性矩陣不等式(18)， 得到如下結(jié)果:

因此，由定理2，我們可以得到非線(xiàn)性非脆弱控制器的反饋增益為

K=YX-1=[-0.289968，-0.13622]#65377;

顯然，增益變化受到已知矩陣H和E的限制#65377;

5結(jié)論

本文研究了一類(lèi)具有分離變量的不確定非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒非脆弱控制#65377;控制器的設(shè)計(jì)考 慮了增益變化，同時(shí)基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法，以線(xiàn)性矩陣不等式的形式給出了 一些充分條件#65377;一個(gè)數(shù)值例子說(shuō)明了控制器的設(shè)計(jì)，且仿真結(jié)果表明，盡管存在控制器的增 益變化和不確定性，系統(tǒng)也能鎮(zhèn)定#65377;

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。