摘要:針對散亂數(shù)據(jù)的曲面擬合問題，提出一種徑向基函數(shù)與B樣條插值結(jié)合使用的曲面擬合方法#65377;通過分片徑向基函數(shù)插值，三維散亂點，再從分片插值曲面上獲取預(yù)先設(shè)定好的有序網(wǎng)格點的值，最后利用張量積B樣條插值有序網(wǎng)格點，從而得到擬合曲面#65377;該方法較好地解決散亂數(shù)據(jù)插值和擬合的計算不穩(wěn)定性問題，最后給出算法實例#65377;

關(guān)鍵詞:曲面擬合; 高斯函數(shù); 雙三次B樣條插值; 徑向基函數(shù)

中圖分類號:O241.6文獻標(biāo)識碼:A

1引言

隨著激光測距掃描等三維數(shù)據(jù)獲取硬件技術(shù)的日趨完善，人們可以得到精度和密度都越來越高的物體表面三維數(shù)據(jù)，利用物體表面三維數(shù)據(jù)來建立真實物體數(shù)字模型也成為近年來國際圖形學(xué)界的一種發(fā)展趨勢，曲面重構(gòu)作為這種建模方法的一個重要研究課題也得到了廣泛的探討和研究，成為國際上的研究熱點之一.曲面重構(gòu)可分為插值和逼近兩種方法#65377;曲面插值就是重構(gòu)出來的目標(biāo)曲面必須通過所有的采樣點，包括型值點，邊界及曲面內(nèi)部法矢等信息;逼近曲面只是對采樣點進行有權(quán)逼近，它不一定要求所有的采樣點都落在目標(biāo)曲面上，而只需要重構(gòu)曲面滿足用戶的反求設(shè)計要求即可#65377;本文通過分析現(xiàn)有方法存在的困難，提出了一種基于徑向基函數(shù)與B樣條結(jié)合使用的曲面擬合方法，較好地解決了散亂數(shù)據(jù)插值和擬合的計算不穩(wěn)定性問題#65377;考慮用于多變量函數(shù)插值的徑向基函數(shù)方法.給定函數(shù)∶R+→R，對于數(shù)據(jù)方程(1)對任何數(shù)據(jù){Xj，fj}∈RdR，當(dāng)Xj兩兩不同時都有解的充要條件是:對任何兩兩不同的Xj，矩陣((‖Xk-Xj‖))是非奇異的.正定函數(shù)是滿足這種性質(zhì)的函數(shù).我們知道，Gauss函數(shù)#65380;逆Multi-Quadric函數(shù)都是正定函數(shù).對于數(shù)據(jù)量少的情況，徑向基函數(shù)插值的結(jié)果較令人滿意，而且計算也比較簡單.但同時也存在一些問題，比如方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)問題.徑向基函數(shù)插值最終歸結(jié)為求解一個線性方程組，在大數(shù)據(jù)時這是一個大規(guī)模矩陣的求逆問題.當(dāng)數(shù)據(jù)較多時，得到的矩陣一般是數(shù)值不穩(wěn)定的.

基于徑向基函數(shù)與B樣條的散亂數(shù)據(jù)擬合方法張量積B樣條插值也是實際中常用的插值方法.對于較均勻的矩形網(wǎng)格數(shù)據(jù)，其插值效果較好.而對于非均勻的大量散亂數(shù)據(jù)，B樣條插值同樣存在計算不穩(wěn)定問題，而且所生成的插值曲面的光滑性無法保證本文針對徑向基函數(shù)插值和B樣條插值的優(yōu)點和缺點，提出一種新的散亂數(shù)據(jù)擬合方法:徑向基函數(shù)與B樣條結(jié)合使用的曲面擬合方法.

2散亂數(shù)據(jù)擬合方法

這種方法的整體思想是:將擬合散亂數(shù)據(jù)點的問題轉(zhuǎn)化為擬合有序點列(其投影是平面上的網(wǎng)格點)的問題，并通過徑向基函數(shù)插值方法預(yù)估這些有序點列的值，然后再用張量積B樣條插值這些有序點列，從而得到需要的擬合曲面.

(1)設(shè)曲面的原始數(shù)據(jù)點集合為S;

(2)設(shè)S0為點集S在XOY平面上的投影點集，并圈定S0的邊界(為了便于編程實現(xiàn)，我們一般圈定矩形區(qū)域);

(3)對S0進行網(wǎng)格劃分為M×N個區(qū)域，這些網(wǎng)格上的點即為我們要用B樣條插值的點在XOY平面上的投影;

(4)將原始數(shù)據(jù)點集S分塊，設(shè)塊數(shù)為p，每塊數(shù)據(jù)點的個數(shù)為nk(k=1，2，…，p)個(可根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布特征和S0的網(wǎng)格來進行分塊);

(5)每小塊數(shù)據(jù)點集sk(k=0，1，…，p)分別用不同的徑向基函數(shù)fk(k=1，2，…，p)進行插值，生成分塊插值曲面;

(6)根據(jù)分塊插值曲面函數(shù)fk(k=1，2，…，p)來分別求出步驟(3)中網(wǎng)格點所對應(yīng)的函數(shù)值，所有函數(shù)值的集合構(gòu)成了B樣條插值點集Pij(i=0，1，…，M，j=0，1，…，N);

(7)利用點集Pij作B樣條插值曲面，生成B樣條插值網(wǎng)格曲面;

(8)根據(jù)誤差分析進行網(wǎng)格調(diào)整，提高逼近精度.設(shè)第h塊數(shù)據(jù)點集sh={qi(i=1，2，…，nh)}，所對應(yīng)的函數(shù)值為f的值，從而求得所有區(qū)域的徑向插值曲面方程，利用求得的分塊徑向插值曲面方程，我們可以求出步驟(3)中網(wǎng)格點所對應(yīng)的函數(shù)值，從而取得B樣條插值點集Pij(i=0，1，…，M，j=0，1，…，N).于是，待求的B樣條插值曲面方程為利用參考文獻中的方法，即可求得所要的B樣條插值曲面.

3算法實例分析

由前面幾節(jié)的論述可以看出，筆者提出的基于徑向基函數(shù)和B樣條的散亂數(shù)據(jù)擬合算法是一個逐步實現(xiàn)的過程.本文采用基于高斯基函數(shù)和雙三次B樣條進行具體計算.高斯函數(shù)插值法的數(shù)學(xué)模型為雙三次B樣條插值曲面方程為:下面介紹兩個具體的計算實例，不失一般性，我們?nèi)山M不容易畫網(wǎng)格的散亂數(shù)據(jù)點.圖1給出了兩組原始數(shù)據(jù)點在XOY平面上的投影點集分塊以及劃分網(wǎng)格.圖2給出了兩個由高斯分塊插值曲面上的網(wǎng)格點生成的雙三次B樣條插值曲面(網(wǎng)格較稀疏).圖3給出了兩個由高斯分塊插值曲面上的網(wǎng)格點生成的雙三次B樣條插值曲面(網(wǎng)格較密).從擬合曲面的生成過程可知，用本文方法生成的曲面形狀和逼近精度與各高斯分塊的α值以及預(yù)處理網(wǎng)格點的疏密程度有關(guān).表1給出第一組散亂數(shù)據(jù)的各參數(shù)變化對曲面最終逼近精度的影響情況，其中qs表示原始數(shù)據(jù)點，Qs為原始數(shù)據(jù)點對應(yīng)的生成曲面上的點，即qs與Qs在XOY平面上具有相同的投影，mɑx‖qs-Qs‖表示qs與Qs的最大誤差，1/n∑‖qs-Qs‖表示qs與Qs的平均誤差.顯然，適當(dāng)選取各分塊的值對曲面擬合結(jié)果有一定的影響，通過網(wǎng)格點預(yù)處理加密可以有效地提高逼近精度.表1各參數(shù)變化對曲面最終逼近精度的影響情況各參數(shù)取值圖1兩組原始數(shù)據(jù)點在XOY平面上的投影點集分塊以及劃分網(wǎng)格

圖2由斯插值曲面上的網(wǎng)格點生成的B樣條插曲面 圖3由斯插值曲面上的網(wǎng)格點生成的B樣條插曲面

4結(jié)論

由前面的論述可以看出，本文提出的算法具有以下優(yōu)點:

(1)較好地解決了徑向基函數(shù)插值方法插值大量散亂數(shù)據(jù)的計算不穩(wěn)定性問題;

(2)較好地解決了張量積B樣條插值曲面不適合于插值非矩形網(wǎng)格數(shù)據(jù)問題;

(3)可根據(jù)需要對網(wǎng)格進行調(diào)整，提高逼近精度.實例表明，在解決散亂數(shù)據(jù)點的曲面擬合問題時，本文提出的算法是可行的，效果是顯著的

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。