摘 要:前推回推法是放射形配網(wǎng)潮流計(jì)算最基本的算法#65377;通過對(duì)前推回推法求解過程的數(shù)學(xué)演化，導(dǎo)出一種新的牛頓類型的算法及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;利用比較原理，間接證明該算法是一種具有超線性收斂性的近似牛頓法#65377;與經(jīng)典牛頓法相比，該算法無須計(jì)算雅可比矩陣#65380;無須三角因子分解等過程，直接由前代/回代或回代/前代過程就能完成;與前推回推法相比，該算法無須特定的節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)過程#65377;文中以一個(gè)實(shí)際的中等規(guī)模配電系統(tǒng)為例，分析#65380;比較前推回推法#65380;導(dǎo)出的近似牛頓法#65380;經(jīng)典牛頓法等的收斂性和計(jì)算速度，證實(shí)上述研究結(jié)論#65377;

關(guān)鍵詞:放射形配電系統(tǒng);潮流計(jì)算;前推回推法;牛頓法;雅可比矩陣

中圖分類號(hào):TM744文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 引 言

關(guān)于配電網(wǎng)潮流計(jì)算問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者近年來做了大量的工作，提出了不少算法并發(fā)表了不少研究論文1-8]#65377;迄今為止，對(duì)放射形配電網(wǎng)而言，最基本和應(yīng)用較廣的潮流計(jì)算方法應(yīng)該是前推回推法(Back/forward sweep method)^[1，2]#65377;

前推回推法具有物理概念簡(jiǎn)單明了#65380;求解過程簡(jiǎn)便快捷#65380;收斂性較好等優(yōu)點(diǎn)#65377;但是，前推回推法必須對(duì)節(jié)點(diǎn)和支路按一定的規(guī)則進(jìn)行分層和編號(hào)，亦即是在具體的計(jì)算前，必須對(duì)配電網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拓?fù)浞治觯@對(duì)于大規(guī)模配電網(wǎng)和工程實(shí)際應(yīng)用來說是一件比較麻煩的事情#65377;此外，前推回推法與電力系統(tǒng)中多年使用的牛頓求解方法在求解過程#65380;編程思路等方面完全不一樣#65377;因此，盡管前推回推法在具體應(yīng)用中體現(xiàn)出較好的收斂性能和具有計(jì)算簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)，但人們對(duì)前推回推法的數(shù)學(xué)機(jī)理以及其與牛頓法之間的關(guān)系應(yīng)該說不是很清楚#65377;

本文通過對(duì)前推回推法求解過程的數(shù)學(xué)演化，導(dǎo)出了一種新穎的牛頓法求解形式及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;因此，該方法在實(shí)際應(yīng)用中兼具前推回推法和牛頓類方法兩者的優(yōu)點(diǎn)，其整體求解效率比經(jīng)典的前推回推法更高，求解形式和編程思路與牛頓類方法一致#65377;利用比較原理，本文對(duì)所導(dǎo)出的算法的收斂性進(jìn)行了定性分析#65377;

2 放射形配網(wǎng)潮流計(jì)算的近似牛頓法

在采用直角坐標(biāo)系的前提條件下，節(jié)點(diǎn)功率注入可由下列方程描述:

pijk和qijk分別是支路k上由i節(jié)點(diǎn)流向j節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率#65377;若不考慮各支路對(duì)地電納(配電網(wǎng)潮流計(jì)算中即是如此)，則有

因此，方程(1)成為

由于支路存在功率損耗，一般情況下有

上式意味著pijk和pjik#65380;qijk和qjik是兩個(gè)不同的變量#65377;為此，假設(shè)

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2007年6月第26卷第2期汪芳宗等:放射形配網(wǎng)潮流計(jì)算的一種新的牛頓法ei≈ej;fi≈fj (i，j)∈k(5)

則從方程(2)可以推出

若對(duì)每條支路定義一個(gè)功率方向，則在上述假設(shè)條件下，方程(4)可以寫成矩陣形式，即

B為帶方向性的節(jié)點(diǎn)—支路關(guān)聯(lián)矩陣#65377;

將節(jié)點(diǎn)電壓看作常量#65380;支路功率看作變量，對(duì)方程(8)應(yīng)用牛頓法可得出

BΔL=ΔW(9)

式中ΔW為節(jié)點(diǎn)注入功率殘差向量，ΔL為待求的各支路功率改變量向量#65377;

由于在放射形配電網(wǎng)中，節(jié)點(diǎn)數(shù)與支路數(shù)相等(n=m)，因此B為一滿秩稀疏矩陣，方程(8)有唯一解#65377;方程(8)的求解，與前推回推法中的前推過程相類似#65377;

由于有下列公式

對(duì)該式兩邊同時(shí)求導(dǎo)并采用與方程(5)同樣的假設(shè)條件，可以得到

前推回推法中的回推過程，是利用支路功率從父節(jié)點(diǎn)向子節(jié)點(diǎn)逐次推出各節(jié)點(diǎn)電壓降落并節(jié)點(diǎn)電壓值#65377;據(jù)此思路，對(duì)方程(2)兩邊同時(shí)求導(dǎo)并利用方程(10)，可以得到下列方程:

矩陣C在形式結(jié)構(gòu)上與矩陣B的轉(zhuǎn)置相同#65377;若支路的功率方向定義為從節(jié)點(diǎn)流向j節(jié)點(diǎn)，則有

若k支路為根支路，即i#65380;j兩節(jié)點(diǎn)有一個(gè)為根節(jié)點(diǎn)即松弛節(jié)點(diǎn)，例如j為根節(jié)點(diǎn)(用s表示)，則有

方程(12)的求解，與前推回推法中的回推過程相類似#65377;

將方程(9)與方程(12)合并即得

方程(13)與方程(14)即是本文所導(dǎo)出的“近似牛頓法”求解形式;方程(14)即是其雅可比矩陣的分解公式或算法#65377;

3 近似牛頓法的應(yīng)用方法

“近似牛頓法”雅可比矩陣的分解公式具有以下特性:

1)若對(duì)節(jié)點(diǎn)#65380;支路按自然方式編號(hào)，支路功率方向亦按自然方式定義，則矩陣B為一稀疏矩陣，但其有多行只含一個(gè)非零(塊)元素#65377;

2)若對(duì)節(jié)點(diǎn)按先父節(jié)點(diǎn)后子節(jié)點(diǎn)#65380;對(duì)支路按先父層后子層的方法編號(hào)，則矩陣B為一上三角陣#65380;矩陣C為一下三角陣;反之，則矩陣B為一下三角陣#65380;矩陣C為一上三角陣#65377;

后一種情況是經(jīng)典的前推回推法所必須的編號(hào)方法#65377;在此前提下，應(yīng)用“近似牛頓法”對(duì)放射形配電網(wǎng)進(jìn)行潮流計(jì)算，其求解過程與經(jīng)典牛頓法中最后一步的前代/回代(Forward/backward substitution)或回代/前代(Backward/forward substitution)過程是完全一樣的#65377;顯然，此種應(yīng)用方法仍需對(duì)配電網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拓?fù)浞治鲞M(jìn)而對(duì)節(jié)點(diǎn)和支路進(jìn)行編號(hào)#65377;

基于以下事實(shí)，本文推薦直接采用自然編號(hào)方式(經(jīng)典牛頓法對(duì)節(jié)點(diǎn)和支路是采用自然編號(hào)方式的):

1)采用自然編號(hào)方式無需網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治?，可?jié)省編號(hào)所需時(shí)間;

2)B矩陣中與葉節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的行均只含一個(gè)非零(塊矩陣)元素，C矩陣中與根支路相對(duì)應(yīng)的行只含一個(gè)非零元素#65380;其它行均只含2個(gè)非零元素#65377;這是由放射形配電網(wǎng)固有特點(diǎn)所決定的#65377;因此，可采用類似的前代/回代或回代/前代方法對(duì)方程(13)進(jìn)行求解#65377;

應(yīng)該著重說明的是:應(yīng)用“近似牛頓法”，方程(13)中的雅可比矩陣(J)無需事先直接計(jì)算和形成;方程(14)中的B#65380;Y#65380;C無需進(jìn)行任何數(shù)值計(jì)算(因子分解)而是直接形成#65377;因此，“近似牛頓法”在實(shí)際應(yīng)用中具有極快的計(jì)算速度，它在求解形式和編程思路上與牛頓法潮流計(jì)算相似，但省掉了費(fèi)時(shí)的雅可比矩陣計(jì)算#65380;雅可比矩陣三角因子分解等過程，保留了前推回推法的優(yōu)點(diǎn)#65377;

4 近似牛頓法的收斂性證明

對(duì)方程(1)直接應(yīng)用牛頓法可以導(dǎo)出下列公式:

利用方程(3)及假設(shè)條件(5)，可以導(dǎo)出

將方程(16)#65380;(18)與方程(11)對(duì)比，可以很方便地推出或驗(yàn)證

至此，驗(yàn)證了第2節(jié)所導(dǎo)出的方法，是在假設(shè)條件(5)的前提下的一種嚴(yán)格的牛頓類方法#65377;

若進(jìn)一步采用以下假設(shè)條件

則有

上兩式中Y′為電網(wǎng)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣#65377;很顯然，在方程(20)的假設(shè)條件下，“近似牛頓法”成為定雅可比方法#65377;

眾所周知:經(jīng)典牛頓法是2階收斂的;定雅可比方法是線性收斂的#65377;因此，根據(jù)比較原理可以得知:本文所導(dǎo)出的“近似牛頓法”是超線性收斂的，即1

5 算例檢驗(yàn)結(jié)果及分析

為敘述方便，若對(duì)雅可比矩陣按方程(16)和(17)進(jìn)行嚴(yán)格計(jì)算和形成#65380;同時(shí)進(jìn)行三角因子分解，則將其稱為“經(jīng)典牛頓法”;若采用與“經(jīng)典牛頓法”相同的自然編號(hào)法，同時(shí)不計(jì)算雅可比矩陣而是直接形成B#65380;Y#65380;C，然后進(jìn)行前代/回代計(jì)算，則將其簡(jiǎn)稱為“本文方法”(即“近似牛頓法”)#65377;

5.1 算例系統(tǒng)簡(jiǎn)介

算例系統(tǒng)采用了某縣級(jí)供電公司一個(gè)35kv變電站內(nèi)#65380;10kv母線上負(fù)荷最大的一條10kv主出線所供電的配電系統(tǒng)#65377;該系統(tǒng)含71條10kv線路(嚴(yán)格的說法應(yīng)為71段線路)#65380;43個(gè)配變，是一個(gè)典型的放射形配電系統(tǒng)#65377;以10kv母線為源點(diǎn)#65380;配變低壓側(cè)母線為邊界點(diǎn)，該系統(tǒng)共計(jì)114條支路和114個(gè)節(jié)點(diǎn)#65377;

線路全為架空線路，導(dǎo)線型號(hào)大部分為L(zhǎng)GJ-50，少量為L(zhǎng)GJ-35，據(jù)此并結(jié)合線路長(zhǎng)度可以計(jì)算出所有線路的原始阻抗#65377;配變支路參數(shù)可直接根據(jù)配變銘牌參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算得出#65377;各配變負(fù)荷按其月度平均功率進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)均設(shè)為恒功率負(fù)荷#65377;

之所以選用上述配電網(wǎng)絡(luò)作為算例系統(tǒng)，主要是因?yàn)?該系統(tǒng)為一中等規(guī)模的放射形配電網(wǎng)絡(luò)，具有實(shí)際性和普遍性;潮流計(jì)算所用數(shù)據(jù)直接從該配網(wǎng)管理系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)中導(dǎo)出，所有節(jié)點(diǎn)和支路均是隨機(jī)#65380;自然編號(hào)的#65377;

5.2 測(cè)試結(jié)果及分析

表1是分別利用“本文方法”#65380;前推回推法#65380;經(jīng)典牛頓法等三種方法對(duì)上述系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際編程計(jì)算所測(cè)得的結(jié)果#65377;因負(fù)荷水平為kW/kVar量級(jí)，所以收斂精度均統(tǒng)一定為‖ΔWi‖≤10-5p.u.#65377;

表1 三種算法的測(cè)試結(jié)果比較

所用方法計(jì)算時(shí)間/s迭代次數(shù)本文方法0.645前推回推法0.735經(jīng)典牛頓法5.884

從表1可以看出，本文所導(dǎo)出的方法在收斂性方面與經(jīng)典牛頓法差別不大#65380;與前推回推法相同或相近，在計(jì)算速度上比前推回推法更快，這主要是因?yàn)榍巴苹赝品ǖ臄?shù)值計(jì)算過程與本文所導(dǎo)出的方法基本相同，但前推回推法須對(duì)節(jié)點(diǎn)和支路進(jìn)行“重新編號(hào)”(非數(shù)值計(jì)算過程)#65377;

經(jīng)典牛頓法由于在每步求解中均須計(jì)算雅可比矩陣并進(jìn)行三角分解，因而極費(fèi)時(shí)間，這是必然的結(jié)論#65377;本文之所以將“近似牛頓法”與經(jīng)典牛頓法進(jìn)行對(duì)比，主要是對(duì)比和測(cè)試本文所提方法的收斂性#65377;

6 結(jié) 論

本文通過對(duì)前推回推法求解過程的數(shù)學(xué)演化，導(dǎo)出了一種新的牛頓類型的算法及其雅可比矩陣直接分解公式#65377;利用比較原理，間接證明了該算法是一種具有超線性收斂性的近似牛頓法#65377;與經(jīng)典牛頓法相比，該算法無須計(jì)算雅可比矩陣#65380;無須三角因子分解等過程;與前推回推法相比，該算法無須特定的節(jié)點(diǎn)和支路編號(hào)過程#65377;

本文的推導(dǎo)方法及其過程，間接但直觀地闡明了前推回推法的數(shù)學(xué)機(jī)理#65377;

本文所提方法及相關(guān)計(jì)算公式可推廣應(yīng)用于放射形配網(wǎng)的三相潮流計(jì)算#65380;狀態(tài)估計(jì)等#65377;

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。