分解因式是初中數(shù)學(xué)中重要的恒等變形之一,也是學(xué)習(xí)分式和一元二次方程的基礎(chǔ).為幫助同學(xué)們學(xué)好這一部分內(nèi)容,本文介紹分解因式的幾種思路,供參考.
一、基本步驟
(一)“提”
“提”即提公因式法.提公因式法是分解因式的一個最基本的方法,無論多項(xiàng)式的形式如何,只要各項(xiàng)有公因式,應(yīng)首先將其提出來.
例1分解因式:-4x2+6xy-10xz.
解:原式=-(4x2-6xy+10xz)
=-2x(2x-3y+5z).
例2分解因式:a(x-y)-b(y-x)+c(x-y).
解:原式=a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)
=(x-y)(a+b+c).
(二)“看”
“看”即看多項(xiàng)式有幾項(xiàng).
(1)若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式,則考慮用平方差公式.
例3分解因式:a3-a.
解:原式=a(a2-1)
=a(a+1)(a-1).
例4分解因式:81(a-b)2-16(a+b)2.
解:原式=[9(a-b)]2-[4(a+b)]2
=[9(a-b)+4(a+b)][9(a-b)-4(a+b)]
=(13a-5b)(5a-13b).
(2)若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式,則考慮用完全平方公式或十字相乘法.
例5分解因式:4a3-4a2+a.
解:原式=a(4a2-4a+1)
=a(2a-1)2.
例6分解因式:2x2-5x+3.
解:原式=(x-1)(2x-3).
(3)若多項(xiàng)式有四項(xiàng)以上(包括四項(xiàng)),則考慮用分組分解法.
這種方法不是一種獨(dú)立的分解因式的方法,而是為提公因式法或公式法的運(yùn)用創(chuàng)造條件,即先把多項(xiàng)式各項(xiàng)適當(dāng)分組,以達(dá)到能提公因式或運(yùn)用公式分解因式的目的.
例7將ab-a+b-1因式分解,其結(jié)果是.
解:原式=(ab-a)+(b-1)
=a(b-1)+(b-1)
=(b-1)(a+1).
例8分解因式:x2+2xy+y2-4.
解:原式=(x2+2xy+y2)-4
=(x+y)2-22
=(x+y+2)(x+y-2).
(三)“查”
“查”即檢查結(jié)果中每個因式是否分解到不能再分解了.
例9指出下列分解因式中的錯誤,并予以改正.
分解因式:81x4-18x2+1.
解:原式=(9x2)2-2#8226;9x2+1
=(9x2-1)2.
析解:本題的錯誤之處是(9x2-1)分解不徹底,改正如下:
原式=(9x2)2-2#8226;9x2+1
=(9x2-1)2
=(3x+1)2(3x-1)2.
二、其它特殊方法
對較復(fù)雜的多項(xiàng)式要進(jìn)行分解因式,同學(xué)們不妨嘗試下列幾種特殊的方法.
1.展合法
例10分解因式:m3(m-2n)+n3(2m-n).
解:原式=m4-2m3n+2mn3-n4
=m4-n4-2mn(m2-n2)
=(m2+n2)(m2-n2)-2mn(m2-n2)
=(m2-n2)(m2+n2-2mn)
=(m+n)(m-n)(m-n)2
=(m+n)(m-n)3.
2.拆項(xiàng)法
例11分解因式:x4+x3+4x2+3x+3.
解:原式=x4+x3+x2+3x2+3x+3
=(x4+x3+x2)+(3x2+3x+3)
=x2(x2+x+1)+3(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x2+3).
3.添項(xiàng)法
例12 分解因式:x4+x2y2+y4.
解:原式=x4+2x2y2+y4-x2y2
=(x2+y2)2-(xy)2
=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy).