舊世紀(jì)，法國大思想家狄德羅(Diderot，1713-1784)坦言：“任何研究工作的開端，幾乎都是極不完善的嘗試，為了尋求真理，我們是注定要經(jīng)過挫折和失敗的?！本灰?，成就輝煌的數(shù)學(xué)家如畢達(dá)哥拉斯、牛頓和萊布尼茲者，在他們初創(chuàng)的數(shù)學(xué)理論之中，都潛藏著危機(jī)和矛盾。但危機(jī)和矛盾也是讓數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的動力。歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)下了無理數(shù)這枚金蛋，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)下了現(xiàn)代微積分這枚金蛋。

1．第一次數(shù)學(xué)危機(jī)——發(fā)現(xiàn)無理數(shù)

畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前580—公元前500)，是古希臘七賢之一，另外六位是泰勒斯、柏拉圖、蘇格拉底、亞里士多德、歐幾里德、阿基米德。他們七位都是當(dāng)時世界上最有學(xué)問的人，這些人熱衷于政治和哲學(xué)，兼善數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯在意大利南部的克倫吞成立了一個集科學(xué)、宗教與哲學(xué)于一體的學(xué)術(shù)團(tuán)體，即“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。該學(xué)派致力于數(shù)學(xué)的抽象化，努力把數(shù)學(xué)變成一門高雅的藝術(shù)，他們的學(xué)說在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。畢達(dá)哥拉斯后來在政治斗爭中失敗被殺。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在科學(xué)上的信條是“萬物皆數(shù)”。他們所說的數(shù)是正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，當(dāng)時的人們篤信，除了自然數(shù)和正分?jǐn)?shù)之外，不可能存在別的數(shù)。

據(jù)傳畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理之后，當(dāng)即宰牛百頭拜天祭神，因此后人也稱勾股定理為“百牛定理”。

約公元前470年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派骨干成員，畢的得意門生、著名數(shù)學(xué)家希帕蘇斯(Hipasus)考慮邊長為1的正方形的對角線的長度，根據(jù)勾股定理：對角線長l應(yīng)滿足l²=2，因?yàn)?²=1，2²=4，所以l不是整數(shù)，而下面的推理卻證明了l不是分?jǐn)?shù)：

此事證明，畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)”的數(shù)只是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的觀點(diǎn)是荒謬的。畢達(dá)哥拉斯的絕對權(quán)威受到了致命的打擊。

一方面亞里士多德已嚴(yán)格證明正方形對角線的長不是整數(shù)與分?jǐn)?shù)，按畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)，這條對角線的長度就不是數(shù)!這當(dāng)然連傻瓜也不能接受。另一方面，當(dāng)時數(shù)學(xué)界認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于數(shù)的理論絕對正確，人們不敢承認(rèn)正方形對角線之長不是有理數(shù)。這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

傳說當(dāng)時畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的全體成員正在愛琴海泛舟，為勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明而彈冠相慶，希帕蘇斯貿(mào)然提出他的上述發(fā)現(xiàn)，該學(xué)派其他成員聽到這一犯上作亂的消息，個個嚇得目瞪口呆，當(dāng)即決議禁止把此事泄露出去，泄密者斬。后來希帕蘇斯還是把它透露給自己的朋友，結(jié)果按畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的規(guī)矩，被該派成員投入大海，葬身魚腹!相傳希帕蘇斯身高1．41米，體重141磅，恰為 的化身。

希帕蘇斯是“科學(xué)的祭品”，歷史總是證明真理會獲得勝利，在神圣的數(shù)學(xué)王國的宮墻上，永遠(yuǎn)銘刻著希帕蘇斯的名字。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)毋庸置疑地承認(rèn)除整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外，還存在另外的實(shí)數(shù)?；蛟S是由于對這種陌生實(shí)數(shù)的接受并不情愿，人們給它起了個不無歧視的名字：無理數(shù)。

2．第二次數(shù)學(xué)危機(jī)——催生現(xiàn)代微積分

感謝牛頓和萊布尼茲，他們?yōu)楹笕碎_創(chuàng)了一個微積分的天堂。毋庸諱言，在牛萊二位圣賢的原始創(chuàng)新之中，的確存在著不可接受的邏輯漏洞，由此引發(fā)了驚心動魄的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

1734年，英國著名哲學(xué)家伯克萊(Berkeley．1685—1753)發(fā)表了在數(shù)學(xué)史上曾引起軒然大波的《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》一一文，將主要矛頭指向牛頓的流數(shù)(現(xiàn)稱為導(dǎo)數(shù))方法，對萊布尼茲的微積分也同樣竭力非難。

伯克萊的發(fā)難(且不論其動機(jī)為何)擊中了牛頓時代微積分不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?，客觀上促進(jìn)18世紀(jì)、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化進(jìn)行了卓越的工作。

從高中數(shù)學(xué)課本中，我們知道y=xⁿ的導(dǎo)數(shù)(當(dāng)時牛頓稱為流數(shù))是nx^n-1，就是這種命題引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

伯克萊寫道：

“流數(shù)方法是一把通用的鑰匙，當(dāng)代數(shù)學(xué)家們是借助它來解開幾何學(xué)的、最終也是大自然的奧秘。這一方法使數(shù)學(xué)家們能夠在發(fā)現(xiàn)定理和解決問題方而大大超越古人。正因?yàn)槿绱耍浒l(fā)揮、應(yīng)用便成為^今那些號稱深刻的幾何學(xué)家們主要的(如果不是唯一的)事業(yè)。然而這些方法究竟是否清楚，是否沒有矛盾并且加緊以加以證明?或者相反，只是一種含糊的、令人反感的和不可靠的方法?我將以最公正的方式來提出這樣的質(zhì)疑，以便讓你們，讓每一位正直的讀者做出自己的判斷。

牛頓先生推導(dǎo)任意次冪的流數(shù)的方法如下：設(shè)量x均勻地流動，欲求xⁿ的流數(shù)，與x通過流動變?yōu)閤+o的同時，冪xⁿ變成(x＋o)ⁿ，

現(xiàn)令增量o消失，他們的最終比為1：nx^n-1。

然而這種推理看來是不合理和不能令人信服的。因?yàn)槿绻屧隽肯?，亦即讓增量變?yōu)榱?，或者說沒有任何增量，那么原來的關(guān)于增量存在的假設(shè)也就不能成立，而這一假設(shè)引出的結(jié)果即借助于增量而得到的表達(dá)式卻必須保留，這種推理是站不住腳的。因?yàn)槲覀內(nèi)绻僭O(shè)增量消失了，理所應(yīng)當(dāng)也就必須假設(shè)它們的比、它們的表達(dá)式以及由于假設(shè)其存在而導(dǎo)出的一切東兩都必須隨之消失。

伯克萊一不做二不休，對萊布尼茲也進(jìn)行了不留情面的批評：“萊布尼茲及其追隨者，在進(jìn)行微積分運(yùn)算時，竟從不臉紅地首先承認(rèn)然后舍棄無窮小量，稍具思考能力的人，在理解時仔細(xì)一點(diǎn)，在推理時公正一點(diǎn)，就不會接受他這些謬論?！?/p>

支持牛頓(Newton，1643-1727，英國)與萊布尼茲(Leibniz，1646-1716，德國)的多位數(shù)學(xué)家奮起反擊，寫了不少反駁伯克萊的文章，但仍然不能把當(dāng)時微積分中的癥結(jié)搞清楚。一時間，伯克萊的“反微積”言論占了優(yōu)勢。事實(shí)上伯的許多批評確實(shí)指出了當(dāng)時微積分在邏輯上與基礎(chǔ)理論上存在的漏洞。牛頓在推導(dǎo)礦的導(dǎo)數(shù)是nx^n-1時，偷換了假設(shè)，先說增量。做分母，此即假設(shè)了o≠0，接著就說令。消失，此即把o≠0的假設(shè)偷換成了o=0，這種論述是自相矛盾的，在數(shù)學(xué)論證中決不允許這種現(xiàn)象存在。為牛頓與萊布尼茲的辯護(hù)失敗，此即歷史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使我們有經(jīng)驗(yàn)地說，悖論和數(shù)學(xué)危機(jī)并非什么可怕的事，它恰是數(shù)學(xué)進(jìn)展的重要機(jī)遇，是即將有重大突破的先兆。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)讓18、19世紀(jì)的眾多數(shù)學(xué)家為微積分的完善做了大量的工作，促使微積分日臻完善，催生了現(xiàn)代微積分這枚金蛋，排除了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

(中國科技大學(xué)科技傳播系的王國燕老師對本文的撰寫提供了許多有益的建議，特表感謝。)

作者簡介：王樹禾。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授。微分方程與應(yīng)用教學(xué)專家。數(shù)學(xué)科普賢作家。出版了《教學(xué)聊齋》、《數(shù)學(xué)演義》、《數(shù)學(xué)思想史》等著作，主持編寫了高中教學(xué)新教材中“數(shù)學(xué)史”部分的內(nèi)容。

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