20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊(Poincare，1854—1912，法國(guó))敏銳地指出：“邏輯并非不毛之地，它那里生長(zhǎng)著矛盾?！奔词钩删洼x煌的大數(shù)學(xué)家康托爾，在他首創(chuàng)的理論之中也蘊(yùn)含了危機(jī)和矛盾。歷史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生了“公理集合論”這一數(shù)學(xué)分支，而哥德?tīng)柕牟豢膳卸ɡ碚撏品嗽?jīng)統(tǒng)治數(shù)學(xué)的“希爾伯特綱領(lǐng)”。

3．第三次數(shù)學(xué)危機(jī)——產(chǎn)生公理集合論

悖論不是謬論，悖論中充滿(mǎn)著令人驚奇的內(nèi)容——悖論可以推導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，人們卻不能指出悖論非法的理由。

集合是數(shù)學(xué)最基本的概念之一，也是整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，當(dāng)今數(shù)學(xué)的每個(gè)分支都在使用集合論的言語(yǔ)進(jìn)行表述與推理。

集合概念的建立，起首要作用的人物當(dāng)屬德國(guó)大數(shù)學(xué)家康托爾，他是大家公論的集合論的創(chuàng)始人。

康托爾(cantor，1845-1918)，生于俄國(guó)彼得堡的一個(gè)猶太富商之家。他17歲入蘇黎世大學(xué)，后轉(zhuǎn)入格丁根大學(xué)和法蘭克福大學(xué)，1866年獲得博士學(xué)位，1879年任哈雷大學(xué)教授。1891年，康托爾組建德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)，被選為第一任主席。1904年，倫敦皇家學(xué)會(huì)授予他當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)——西爾威斯特(Sylvester)獎(jiǎng)?wù)隆?/p>

康托爾的老師克羅內(nèi)克是一個(gè)“有窮論者”，他反對(duì)康托爾的“超窮數(shù)”觀點(diǎn)，他不僅對(duì)康托爾的學(xué)術(shù)工作粗暴攻擊，還竭力阻止康托爾去柏林大學(xué)工作。由于克羅內(nèi)克的權(quán)威地位，其他數(shù)學(xué)家也跟著他攻擊康托爾，致使康托爾患上嚴(yán)重的精神病，并于1918年死于抑郁癥?？低袪柕南聢?chǎng)不比古希臘的希帕蘇斯好多少，兩位數(shù)學(xué)史上的功臣都為了事業(yè)而犧牲。

康托爾這個(gè)人是數(shù)學(xué)界的奇才，對(duì)數(shù)學(xué)的新奇思路和獨(dú)特創(chuàng)造，使他成了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界頗有爭(zhēng)議的人物。他用“一一對(duì)應(yīng)”的原理突破了“整體大于部分”這個(gè)天經(jīng)地義的舊觀念，例如全體正整數(shù)與全體正偶數(shù)一一對(duì)應(yīng)，稱(chēng)正整數(shù)集與正偶數(shù)集等勢(shì)，相當(dāng)于傳統(tǒng)的“個(gè)數(shù)相等”。

1871年康托爾給出集合的第一個(gè)樸素定義：“把一定的并且彼此可以明確識(shí)別的事物——這種事物可以是直觀的對(duì)象，也可以是思維的對(duì)象——放在一起，成為一個(gè)集合，這些事物的每一個(gè)稱(chēng)為該集合的一個(gè)元素。”

在之后的工作中，康托爾已經(jīng)察覺(jué)到他的這種樸素集合論在邏輯上要出事兒，他向數(shù)學(xué)家戴德金談過(guò)禁提“一切集合組成的集合”?？上救藳](méi)有來(lái)得及建立一套公理系統(tǒng)，給出明確無(wú)誤的集合論概念。

1902年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素受到“理發(fā)師悖論”的啟發(fā)，提出一個(gè)所謂的“羅素悖論”。

理發(fā)師悖論說(shuō)：“一個(gè)理發(fā)師宣稱(chēng)，他不給自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉?！比藗儐?wèn)：“理發(fā)師先生，您自己的臉誰(shuí)刮?”如果理發(fā)師回答自己刮，那么違背了約定的前半部分；如果回答不是自己刮，那么按他約定的后半部分，他必須給自己刮臉。理發(fā)師不可能自圓其說(shuō)。

羅素假設(shè)，集合A由一切不屬于這個(gè)集合的元素所組成，然后問(wèn)A是否屬于該集合?對(duì)這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，怎樣回答都會(huì)陷入矛盾的境地。如果承認(rèn)A屬于集合A，根據(jù)該集合的定義，A是不能屬于A的；反之如果否認(rèn)A屬于集合A，同樣根據(jù)該集合的定義，A就必須屬于A。

矛盾回避不了啦!康托爾的樸素集合論里發(fā)生了嚴(yán)重的邏輯混亂，于是出現(xiàn)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。德國(guó)數(shù)學(xué)家、邏輯代數(shù)的創(chuàng)始人弗雷格抱怨說(shuō)：“當(dāng)大廈即將竣工之時(shí)，基礎(chǔ)卻崩潰了!”

1908年，法國(guó)數(shù)學(xué)家策墨羅(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)合作提出一套所謂ZF公理，創(chuàng)建公理集合論，從集合論中剔除了羅素悖論，解除了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)催生了“公理集合論”這一重要數(shù)學(xué)分支，使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)更加鞏固了。

在公理集合論中，到目前為止還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何悖論或矛盾，策墨羅宣稱(chēng)沒(méi)有任何人會(huì)從中再制造出矛盾來(lái)。龐加萊則反唇相譏道：“為了防備狼，羊群已用籬笆圈起來(lái)了，卻不知圈里還有沒(méi)有狼。”

1925年，希爾伯特自豪地說(shuō)：“我們?cè)H歷過(guò)兩次危機(jī)，頭一次是微積分悖論，第二次是集合論悖論，我們不會(huì)再經(jīng)歷第三次，而且永遠(yuǎn)不會(huì)?！彼@然過(guò)于樂(lè)觀了。1930年數(shù)學(xué)家貝爾說(shuō)：“所謂建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的合理共識(shí)，在任何意義上都是不存在的。”

貝爾的話是對(duì)的。三次數(shù)學(xué)危機(jī)之后，數(shù)學(xué)界果然又發(fā)生了更令人難堪的矛盾。

4．?dāng)?shù)學(xué)的家丑——真假不可判定

公元前6世紀(jì)，希臘人伊比孟德說(shuō)：“我說(shuō)這句話時(shí)正在說(shuō)謊?！币廖虇?wèn)聽(tīng)眾，他下面說(shuō)的那句話是真話還是假話？該怎么回答伊翁呢？

當(dāng)代數(shù)學(xué)史上有個(gè)大人物叫做哥德?tīng)枺?906年他出生于奧地利布呂恩城，1924年他考入維也納大學(xué)攻讀理論物理專(zhuān)業(yè)，1930年獲哲學(xué)博士學(xué)位。其代表作是1931年發(fā)表的《論‘?dāng)?shù)學(xué)原理’及有關(guān)系統(tǒng)中的不可判定命題》，該文被譽(yù)為“20世紀(jì)最有意義的數(shù)學(xué)真理”。

哥德?tīng)柕牟豢膳卸}對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行嚴(yán)肅的挑戰(zhàn)。一個(gè)命題就是一種判定，不論是否已經(jīng)知道它的真假，總歸或真或假，二者必居其一。例如“秦始皇是20世紀(jì)的中國(guó)皇帝”是一個(gè)命題，“2+2=4”則是另一個(gè)命題。顯然假命題是不可證明的。

1931年哥德?tīng)柼岢鋈缦碌拿}：

A：A不可證。

下面證明了哥德?tīng)柮}A與其否定命題A┐(讀成“非A”)皆不可證明。

(1)A真

事實(shí)上，若A假，即“A不可證”為假，于是A可證，從而A假且A可證，此與假命題不可證明矛盾，由反證法知A真。

(2)A不可證

若A可證，則“A不可證”為假，即A假，與(1)中得到的A真相違，所以A不可證。

(3)┐A不可證

由(1)知A真，于是┐A是假的，而假命題不可證，所以┐A不可證。

由(2)與(3)知A與┐A同時(shí)不可證，即對(duì)于命題A，不可證明也不可反駁，其真假不可判定!

數(shù)學(xué)家克服了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，鞏固了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，建立了豐功偉績(jī)。數(shù)學(xué)界一派樂(lè)觀情緒，甚至認(rèn)為凡能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明確提出的問(wèn)題，都必須而且能夠嚴(yán)格地加以證明或證偽，誰(shuí)也沒(méi)想到會(huì)存在不能證其真也不能證其偽的命題。大數(shù)學(xué)家希爾伯特1930年發(fā)表《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》一文，提出聞名于世的“希爾伯特綱領(lǐng)”，其要點(diǎn)有二：一是證明形式化(建立公理系統(tǒng)，使用形式語(yǔ)言)之后，一切數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的定理都是可證的；二是證明形式化之后，數(shù)學(xué)系統(tǒng)是完備的，即一切數(shù)學(xué)真理都將是這個(gè)形式系統(tǒng)的定理。

哥德?tīng)柕牟豢膳卸}如晴天霹靂無(wú)情地宣判了希爾伯特綱領(lǐng)的崩潰。

古今中外，多少人贊不絕口地歌頌著數(shù)學(xué)的完美、嚴(yán)謹(jǐn)與和諧。哥德?tīng)杽t更令人肅然起敬，他并不因?yàn)樽约菏菙?shù)學(xué)家而陶醉于數(shù)學(xué)光明的一面，他嚴(yán)正地揭露了數(shù)學(xué)不完備性的黑暗面，不忌諱數(shù)學(xué)的家丑。正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的確定性正在喪失!”

一部充滿(mǎn)光輝成就的數(shù)學(xué)史，同時(shí)也是一部數(shù)學(xué)災(zāi)難史，悖論和危機(jī)此起彼伏，矛盾和難題層出不窮……數(shù)學(xué)是美麗的，數(shù)學(xué)是丑陋的，它的丑與美都值得我們研究，都值得我們鑒賞。

(中國(guó)科技大學(xué)科技傳播系的王國(guó)燕老師為本文的撰寫(xiě)提供了許多有益的建議，特表感謝。)

作者簡(jiǎn)介：王樹(shù)禾。中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授，微分方程與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)家，數(shù)學(xué)科普作家。已出版了《數(shù)學(xué)聊齋》《數(shù)學(xué)演義》《數(shù)學(xué)思想史》等著作，主持編寫(xiě)了高中數(shù)學(xué)新教材中“數(shù)學(xué)史”部分。