數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供基本線索，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源?！庇需b于此，教師應(yīng)該重新認(rèn)識(shí)教材的功能，明確教材只是達(dá)到目的的材料，教學(xué)時(shí)應(yīng)該根據(jù)教材提供的豐富教學(xué)資源進(jìn)行再創(chuàng)造，而不是照本宣科成為教材的機(jī)械執(zhí)行者。隨著教改的不斷深入，探究性學(xué)習(xí)越來越多被中學(xué)數(shù)學(xué)教師引入課堂。探究性學(xué)習(xí)的主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新精神，敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣，初步經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，從而親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的激情；和愉悅。復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)復(fù)合函數(shù)的值域與增減性的分析更讓高一學(xué)生感到困難。我以“復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)”為課題，利用TI圖形計(jì)算器輔助教學(xué)，進(jìn)一步探索探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)模式。
　　對(duì)于剛上高中不久的學(xué)生而言，如果僅僅通過教材上的幾道例題，用常規(guī)邏輯推理的方法給他們講解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的抽象規(guī)律．很多學(xué)生往往感到難以理解，最終只能死記硬背復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，結(jié)果常常是只知其然，不知其所以然，對(duì)自己不理解的知識(shí)勢(shì)必難以靈活運(yùn)用。借助TI圖形計(jì)算器直觀展示函數(shù)圖像的功能，學(xué)生“眼見為實(shí)”，很容易發(fā)現(xiàn)和接受教材中提到的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律。在教學(xué)中，為了讓學(xué)生不僅僅停留在“發(fā)現(xiàn)”階段，我以復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的一種情況“內(nèi)增外減”為例讓學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)增減性規(guī)律給予嚴(yán)格證明，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性的邏輯分析，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。
　　
　　一、教學(xué)準(zhǔn)備
　　
　　在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的相關(guān)知識(shí)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的概念等三個(gè)方面的相關(guān)知識(shí)，為建立復(fù)合函數(shù)模型和研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)做了知識(shí)上的鋪墊和準(zhǔn)備工作。我校是TI圖形計(jì)算器實(shí)驗(yàn)校，經(jīng)過此前兩個(gè)多月的課堂實(shí)踐與培訓(xùn)，每個(gè)學(xué)生已經(jīng)初步掌握TI—VOYage 200圖形計(jì)算器的一些基本操作。
　　
　　二、教學(xué)目標(biāo)
　　
　　1．借助復(fù)合函數(shù)這個(gè)載體，體會(huì)，實(shí)踐、歸納、總結(jié)函數(shù)的一般性質(zhì)及研究的一般方法，探究并掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律。
　　2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、從特殊到一般的歸納總結(jié)能力，提高學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題的意識(shí)。
　　3.培養(yǎng)學(xué)生研究探索的精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)新問題能借助各種工具和資料獲取信息并進(jìn)行有效分析。
　　4．培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作意識(shí)，發(fā)揚(yáng)團(tuán)隊(duì)精神。
　　
　　三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
　　
　　重點(diǎn)：以復(fù)合函數(shù)為背景，研究函數(shù)的一般性質(zhì)和一般方法。
　　難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性。
　　
　　四、教學(xué)設(shè)計(jì)
　　
　　1．問題引入
　　師：我們已經(jīng)研究過指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，這節(jié)課我們要來研究復(fù)合函數(shù)。
　　問題1：什么樣的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)? (學(xué)生舉例)
　　復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的定義(幻燈片演示)：一般來講，如果函數(shù)y＝f(u)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，函數(shù)u=g(x)的定義域?yàn)镻，值域?yàn)镼，若MIQ=S≠∮，則由y=f[g(x)]所確定的函數(shù)y叫做x的復(fù)合函數(shù)。通常把g(x)稱做內(nèi)函數(shù)，把f(u)稱作外函數(shù)，u稱作中間變量。
　　[設(shè)計(jì)意圖]這一環(huán)節(jié)通過讓學(xué)生自己舉出復(fù)合函數(shù)的具體實(shí)例，使學(xué)生直觀感受復(fù)合函數(shù)的形式特征，并復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念．
　　問題2：對(duì)于一個(gè)函數(shù)我們通常要研究它的哪些方面呢? (定義域、值域、單調(diào)性、奇?zhèn)蛐?、反函?shù)等。)
　　師：這節(jié)課我們就來研究幾個(gè)具體的復(fù)合函數(shù)，探索，歸納復(fù)合函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及研究這些性質(zhì)的一般方法。
　　[設(shè)計(jì)意圖] 提出問題并明確所要研究的具體問題．
　　問題3：選擇什么樣的函數(shù)作為研究對(duì)象呢?
　?、贅?gòu)成復(fù)合函數(shù)的函數(shù)應(yīng)該是我們熟悉的簡單函數(shù)。
　?、谥恍柽x擇兩層的復(fù)合函數(shù)即可。
　　根據(jù)這兩個(gè)原則，我們從剛才同學(xué)們舉的例子中選取四個(gè)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行具體而深入的研究。
　　明確了研究對(duì)象，學(xué)生可以利用圖形計(jì)算器開始自己的研究了。研究過程中教師注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究復(fù)合函數(shù)與研究簡單函數(shù)有什么相同和不同之處，研究復(fù)合函數(shù)主要采用什么方法、需要注意什么問題等。
　　[設(shè)計(jì)意圖]由于復(fù)合函數(shù)的形式多種多樣，為了更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，在選擇函數(shù)時(shí)，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，以便學(xué)生能夠獨(dú)立探究。
　　2．學(xué)生研究
　　此環(huán)節(jié)以學(xué)生為主體，由學(xué)生自主設(shè)計(jì)復(fù)合函數(shù)，通過具體實(shí)驗(yàn)研究函數(shù)的性質(zhì)，開填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告(表1)。既然本環(huán)節(jié)是讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律，就要為他們提供較為稄足的時(shí)間做大量、充分的實(shí)驗(yàn)、才能發(fā)現(xiàn)研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般方法與規(guī)律。教學(xué)中，我讓每兩個(gè)學(xué)生組成一個(gè)研究小組，每一個(gè)小組至少設(shè)計(jì)并研究三個(gè)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)。教師在此過程中走到學(xué)生中間答疑，或給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。時(shí)間控制在20分鐘以內(nèi)。
　　
　　3．交流成果
　　這一環(huán)節(jié)由學(xué)生展示自己的研究成果。教師用投影儀將學(xué)生利用TI圖形計(jì)算器做出的函數(shù)圖像展示到大屏幕上，并板書學(xué)生的研究成果，以便學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般規(guī)律(圖1、圖2)。
　　
　　[設(shè)計(jì)思路]這個(gè)環(huán)節(jié)由學(xué)生自主探究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生的研究方法可以是各異的：很多學(xué)生會(huì)利用圖形計(jì)算器畫出函數(shù)圖像進(jìn)行直觀的分析和研究，有些邏輯思維能力較強(qiáng)的學(xué)生可能舍直接通過解析式進(jìn)行研究，之后利用圖形計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證。
　　教師小結(jié)：
　　(1)定義域、值域等性質(zhì)
　?、偻ǔＳ脫Q元的方法研究復(fù)合函數(shù)值域問題。
　　②研究函數(shù)常用數(shù)形結(jié)合的方法。
　　(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律
　　①總結(jié)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律：同增異減。
　?、谧⒁馔鈱雍瘮?shù)在定義域上的單調(diào)性不一致時(shí)，如何利用外層函數(shù)的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
　?、垡⒁夂瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。
　　[設(shè)計(jì)意圖]歸納復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，體現(xiàn)歸納、猜想、證明的思路，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的猜想、歸納能力。
　　師：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是通過圖像觀察再結(jié)合解析式分析得到的，能否進(jìn)行嚴(yán)格的證明?以上規(guī)律，你能給予證明嗎?以表2第3行為例(由學(xué)生說明之后，幻燈片演示)。
　　
　　求證：若函數(shù)u=g(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，且在A上的值域?yàn)锽，函數(shù)y=f(u)在區(qū)間B上是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù))y=f[g(x)]在區(qū)間A上為減函數(shù)。
　　證明：設(shè)x，為區(qū)間A任意兩個(gè)變量，且x＜x
　　∵u=g(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)
　　∴g(x)＜g(x)，且g(x)、g(x)∈B
　　又∵函數(shù)y=f(u)在區(qū)間B上是減函數(shù)
　　∴f[g(x)＞f[g(x)]
　　即：y=f[g(x)]函數(shù)在區(qū)間A上為減函數(shù)。
　　[設(shè)計(jì)意圖]利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性分析論證，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。
　　4．歸納總結(jié)
　　通過前面三個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)踐，學(xué)生總結(jié)出研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般方法：換元法和復(fù)合函數(shù)增減性的一般規(guī)律：“同增異減”，并給予證明。板書如下：
　　
　　5.課堂練習(xí)
　　課堂練習(xí)要注重落實(shí)，利用前面總結(jié)山的研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的一般方法和規(guī)律解決具體問題。
　　(1)復(fù)合函數(shù)奇偶性與內(nèi)、外層函數(shù)奇偶性的關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行證明。
　　(2)已知函數(shù)y=log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，那么a的取值范圍是_______．______。
　　
　　五、教學(xué)細(xì)節(jié)
　　
　　1．在學(xué)生設(shè)計(jì)函數(shù)模型的過程中，教師對(duì)學(xué)生選擇的復(fù)合函數(shù)模型給予適當(dāng)?shù)囊庖姾徒ㄗh，使得學(xué)生設(shè)計(jì)的函數(shù)模型更具有代表性、多樣性、可操作性。同時(shí)，在研究復(fù)合函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一些邏輯思維能力較強(qiáng)的學(xué)生采用了直接進(jìn)行邏輯分析函數(shù)性質(zhì)的方法，之后再利用TI進(jìn)行檢驗(yàn)，這種方法也應(yīng)鼓勵(lì)。
　　2．在交流研究成果這一環(huán)節(jié)中，一個(gè)學(xué)生展示了他研究函數(shù)y=log(x+1)²的性質(zhì)時(shí)得到的結(jié)論：定義域：(-∞，-1)∪(-1，+∞)，值域：