數(shù)學(xué)證明不僅可以使學(xué)生進(jìn)一步深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，建立新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)魅力并提高數(shù)學(xué)交流能力。也正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)的本質(zhì)或者說是數(shù)學(xué)非常有力的部分，在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中有著非常重要的價(jià)值和地位。隨著以多媒體技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為主的現(xiàn)代教育技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的深入運(yùn)用，數(shù)學(xué)證明及其教學(xué)的環(huán)境正逐步得到更新與優(yōu)化。事實(shí)上，充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，不僅可以為數(shù)學(xué)思想提供可視化的圖像，而且可以為數(shù)學(xué)證明提供數(shù)據(jù)組織和分析的有效工具，使得學(xué)生在形成正式的數(shù)學(xué)證明之前能夠做出一些解釋或思路探索，從而有利于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)證明的必要性和方法的多樣性，并因此而有利于數(shù)學(xué)證明教學(xué)過程的整體優(yōu)化。本文擬結(jié)合筆者及課題組成員自2003年以來利用現(xiàn)代教育技術(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)證明教學(xué)的有關(guān)實(shí)踐，談?wù)勗诂F(xiàn)代教育技術(shù)條件下，教師應(yīng)當(dāng)如何看待數(shù)學(xué)證明，如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)證明，如何發(fā)揮數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值等相關(guān)問題。
　　
　　一、幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)證明的意識(shí)
　　
　　在數(shù)學(xué)中，只有從邏輯的推論上嚴(yán)格地證明了某個(gè)命題的結(jié)論，人們才能把該命題稱為定理。如果一個(gè)幾何學(xué)家報(bào)告一條他所發(fā)現(xiàn)的新定理時(shí)，只限于在模型上把它表示出來，那么任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都不會(huì)承認(rèn)這條定理是被證明了的。數(shù)學(xué)證明可以為人們發(fā)展和整理對(duì)教學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)提供強(qiáng)有力的方法，在數(shù)學(xué)教育中應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)證明意識(shí)的滲透和教育。
　　在小學(xué)階段，兒童主要是通過圖形的測(cè)量、圖形的位置關(guān)系以及圖形的變換等活動(dòng)來逐步構(gòu)建空間觀念的。兒童的幾何學(xué)習(xí)不是以公理體系，而是以已有的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)；所認(rèn)知的幾何不是論證幾何，更多的屬于直觀幾何，或者說是經(jīng)驗(yàn)幾何或?qū)嶒?yàn)幾何。兒童對(duì)數(shù)學(xué)證明的含義尚不能理解，他們之所以獲得幾何知識(shí)并形成空間觀念，更多地是依靠他們的動(dòng)手操作。這種學(xué)習(xí)過程和組織策略一直延續(xù)到初中，這使得剛跨入初中大門的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的價(jià)值尚未有足夠的認(rèn)識(shí)，不少學(xué)生常常這樣認(rèn)為“這個(gè)結(jié)論在圖形上已經(jīng)很顯然了，為什么還要證明呢？”顯然，依靠教師的反復(fù)告誡和強(qiáng)調(diào)并不能使學(xué)生形成數(shù)學(xué)證明的意識(shí)。如何對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)證明的啟蒙教育，使他們逐步認(rèn)識(shí)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)證明的價(jià)值并因此而認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明、理解數(shù)學(xué)證明呢？課題組有一位教師是這樣做的：他利用電腦呈現(xiàn)了圖1的一組幾何圖形，先讓學(xué)生認(rèn)真觀察所給圖形，要求學(xué)生分別判斷①～③中兩條線段的長(zhǎng)短、④中五條長(zhǎng)斜線的位置關(guān)系、⑤中兩個(gè)中心圓的大小關(guān)系，說一說⑥中是否存在標(biāo)準(zhǔn)的圓的圖形。針對(duì)學(xué)生的回答，這位教師分別運(yùn)用動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)、隱藏等技術(shù)手段，去除一些具有迷惑性的附加因素后再讓學(xué)生觀察圖形并進(jìn)行相應(yīng)的判斷或說明。經(jīng)過這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生終于意識(shí)到：眼睛里所看到直觀圖形其實(shí)并不總是完全可靠的，許多錯(cuò)覺可能會(huì)欺騙自己的眼睛。為了能識(shí)別錯(cuò)覺，避免錯(cuò)覺，在幾何學(xué)習(xí)中，我們要有數(shù)學(xué)證明的意識(shí)。只有經(jīng)歷必要的數(shù)學(xué)證明，通過必要的理性分析，我們對(duì)圖形的表面知覺才能更加準(zhǔn)確和科學(xué)。
　　
　　
　　二、幫助學(xué)生理解證明的必要性和意義
　　
　　盡管現(xiàn)代教育技術(shù)可以為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來許多的生機(jī)，比如它可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供必要的感性認(rèn)識(shí)條件，營(yíng)造一種實(shí)驗(yàn)和探索的環(huán)境，有利于學(xué)生發(fā)揮自己的想像力，而教師則可以借此鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽的數(shù)學(xué)猜想，或者對(duì)學(xué)生的猜想和直覺進(jìn)行迅速、準(zhǔn)確的反饋和檢驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)反思。但是，這些優(yōu)勢(shì)并不意味著機(jī)器證明以及由其所帶來的相對(duì)容易的問題解決會(huì)削弱數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)證明的要求。例如，計(jì)算器作為一種方便、易用的現(xiàn)代教學(xué)媒體，雖然它的計(jì)算功能、圖像功能可使學(xué)生避免復(fù)雜的計(jì)算并有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，然而計(jì)算器也并非人們所想像的那么完全可靠、完美。事實(shí)上，不少計(jì)算器還存在著對(duì)數(shù)據(jù)的處理有范圍限制等“先天不足”。機(jī)器并不能真正代替人腦的邏輯推理和證明，教師在利用現(xiàn)代教育技術(shù)的同時(shí)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生看到數(shù)學(xué)證明的必要性，深刻理解數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)意義。
　　課題組的一位教師反復(fù)思考的一個(gè)問題是：既然我們能夠清楚地認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代教育技術(shù)（如計(jì)算器）的一些功能限制，那么我們是否也應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)利用這種功能限制并營(yíng)造數(shù)學(xué)證明的可教學(xué)時(shí)刻呢？通過以下的一個(gè)教學(xué)片斷（取自初三數(shù)學(xué)課外思維訓(xùn)練活動(dòng)）或許可以一窺這位教師利用現(xiàn)代教育技術(shù)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)證明的必要性和意義的可貴探索。
　　問題：探討2ⁿ與n²+2的大小關(guān)系，并說明自己是怎么想的。
　　教學(xué)中，學(xué)生或通過筆算或借助于計(jì)算器對(duì)具體的n進(jìn)行了計(jì)算，然后進(jìn)行了比較，易知：當(dāng)n=1、2、3、4，有2ⁿ＜ n²+2；當(dāng)n=5時(shí)，有2⁵＞5²+2；當(dāng)n=6時(shí)有2⁶＞6²+2……通過連續(xù)的計(jì)算之后大多數(shù)的學(xué)生都能猜得：2ⁿ＞n²+2（n≥5）。
　　“誰能向大家說明自己的猜想一定正確呢？”教師試圖讓學(xué)生學(xué)會(huì)理性地思考，說清道理。
　　這下學(xué)生可犯了難，因?yàn)殡S著n的變大，2ⁿ不是一個(gè)小數(shù)目，再說何時(shí)能如此這般地計(jì)算、推理到無限？
　　“數(shù)學(xué)是一門高度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。計(jì)算器使猜想成為可能，猜想可以為問題解決提供方向，但只有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明才能使人最終確認(rèn)猜想和結(jié)論，那么究竟如何證明呢？”教師在引導(dǎo)。
　　學(xué)生思考并同桌間相互討論，但沒有任何思路。
　　“能否不直接計(jì)算數(shù)值，在2⁵＞5²+2的基礎(chǔ)上來證明2⁶＞6²+2？試試看！”教師繼續(xù)引導(dǎo)。
　　經(jīng)過摸索，有學(xué)生給出了這樣的證明：∵2⁶=2×2⁵＞2（5²+2）（這是因?yàn)?⁵＞5²+2），∴2⁶＞5²+5²+1+3＞（5²+2×5+1）+2=（5+1）²+2=6²+2。立即又有學(xué)生嘗試：2⁷=2×2⁶＞2（6²+2）=6²+6²+1+3＞（6²+2×6+1）+2=（6+1）²+2=7²+2。
　　“一般的情況又會(huì)是怎樣呢？”不用教師多說，馬上又有學(xué)生提起了筆：若2ⁿ＞n²+2成立（n≥5），則2ⁿ⁺¹=2×2ⁿ＞2（n²+2）=（n²+n²+1）+3＞(n²+2n+1)+2=(n+1)²+2。接著，這位學(xué)生向老師和同學(xué)們提出了自己的一種解題方案——
　　“老師，我們是不是可以營(yíng)造一個(gè)‘循環(huán)系統(tǒng)’，讓它自動(dòng)地、無限制地運(yùn)作起來，使得n=5→n=6→n=7→n=8→……永無止境地遞推下去？”
　　
　　老師笑了，笑得非常開心，他順著學(xué)生的思路繼續(xù)往下講……
　　作為并沒有學(xué)過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生，在教師的引導(dǎo)下借助計(jì)算器及必要的推理和討論，已經(jīng)將數(shù)學(xué)中這種重要的證明方法的雛形活生生地展示出來了。在這個(gè)研討過程中，學(xué)生已經(jīng)理解了為什么要對(duì)含有自然數(shù)n的命題進(jìn)行證明，以及可以怎樣進(jìn)行證明，顯然他們建構(gòu)了數(shù)學(xué)歸納法的最初意義，也為教師的進(jìn)一步教學(xué)做好了鋪墊。
　　
　　三、幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)
　　
　　許多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想都是在“運(yùn)動(dòng)”的情境中表現(xiàn)出來的，比如空間與圖形教學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)問題、線段的定比問題，代數(shù)教學(xué)中的定值和極值問題等。傳統(tǒng)的教學(xué)手段難以實(shí)現(xiàn)這樣的“運(yùn)動(dòng)”情境，一般只能隨機(jī)地抓取運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)狀態(tài)，再借助于這個(gè)特定的狀態(tài)討論有關(guān)的性質(zhì)。雖然教師會(huì)說明這些性質(zhì)與狀態(tài)的選取是無關(guān)的，但由于該性質(zhì)討論的載體是一個(gè)特定的狀態(tài)，所以不少學(xué)生實(shí)際上并不完全理會(huì)教師的“提醒”，仍然把該性質(zhì)作為在這個(gè)特定狀態(tài)下的性質(zhì)，而并非一般性質(zhì)。這種教學(xué)很容易掩蓋數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，也易造成數(shù)學(xué)證明的過度形式化，當(dāng)然也不利于學(xué)生對(duì)證明中數(shù)學(xué)思想的真正掌握?，F(xiàn)代教育技術(shù)條件下，在對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的論證過程中，學(xué)生可以運(yùn)用動(dòng)態(tài)方法，通過動(dòng)與靜的不同方式、宏觀與微觀的不同視角，揭示幾何對(duì)象的運(yùn)動(dòng)與相互聯(lián)系，從而有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。
　　例如，三角形有一個(gè)重要的性質(zhì)：它的重心、垂心和外心共線，且垂心到重心的距離與重心到外心的距離之比為1：2。對(duì)于這個(gè)性質(zhì)的教學(xué)，可以先利用幾何畫板任意畫一個(gè)△ABC及其外心O、重心G和垂心H，再隨意地拖動(dòng)△ABC的邊或頂點(diǎn)，使學(xué)生看到，隨著△ABC的形狀變化，外心O、重心G和垂心H也在做相應(yīng)的變化，但無論怎么變，這三個(gè)點(diǎn)始終位于一直線。再測(cè)量出HG和GO的長(zhǎng)度，計(jì)算出HG和GO長(zhǎng)度的比值，并將這些數(shù)字顯示出來。再隨機(jī)拖動(dòng)△ABC的邊或頂點(diǎn)，使學(xué)生看到隨著△ABC的形狀變化，所顯示的HG和GO的長(zhǎng)度在做相應(yīng)的變化，但無論怎么變化，HG和GO長(zhǎng)度的比值始終是2，是個(gè)定值。顯然，通過這樣的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生比較直觀地看到這個(gè)性質(zhì)對(duì)任意三角形都是成立的，而不是針對(duì)某個(gè)特殊三角形的結(jié)論。由此不僅加深了對(duì)這個(gè)結(jié)論的理解，也激發(fā)了學(xué)生證明該命題的興趣，最終可通過證明△AGH與△DGO相似而分別得到HG＝2GO以及∠AGH＝∠DGO，并因此而得到H、G、O共線（其中D點(diǎn)為中線AG與BC邊的交點(diǎn)，具體證明略）。
　　再例，在學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)時(shí)，我們可以打破傳統(tǒng)的先講性質(zhì)再講應(yīng)用的慣例，給學(xué)生一個(gè)探索、發(fā)現(xiàn)并深入理解數(shù)學(xué)證明中內(nèi)涵的機(jī)會(huì)。具體可以這樣進(jìn)行：先讓學(xué)生打開幾何畫板，畫出兩條平行線（圖2），過D作垂直于AB的一條垂線段DF。教師可以提出兩個(gè)問題：（1）拖動(dòng)點(diǎn)D，線段DF有何變化？你能得出什么結(jié)論？（2）固定點(diǎn)A、B，連接AD、BD，讓點(diǎn)D在直線DD1上運(yùn)動(dòng)，觀察△ABD的面積有何變化？你能解釋為什么會(huì)有這樣的現(xiàn)象嗎？幾何畫板的動(dòng)態(tài)性可以形象地展示例子，有利于學(xué)生總結(jié)出“兩條平行線之間距離永遠(yuǎn)不變”的性質(zhì)。同時(shí)，這個(gè)過程也是一個(gè)很好的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解釋性證明的過程：證明當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABD的面積不變。這種在現(xiàn)代教育技術(shù)條件下引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極探索的教學(xué)方法，不僅有利于證明方法的獲得，更有利于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)證明中的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)。
　　
　　
　　四、及時(shí)展示學(xué)生數(shù)學(xué)證明的不同方法
　　
　　學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)總是在一個(gè)群體中進(jìn)行的，學(xué)生在數(shù)學(xué)證明教學(xué)中體現(xiàn)出的不同的思維風(fēng)格、不同的證明方法可以起到互相影響、互相促進(jìn)、互相補(bǔ)充的作用。面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，學(xué)生齊心協(xié)力地思考，一起尋求證明思路，將有利于數(shù)學(xué)證明過程得以順利進(jìn)行。傳統(tǒng)的教學(xué)媒體難以做到使學(xué)生的不同解答得到及時(shí)有效的展示和評(píng)判，因而不利于數(shù)學(xué)課堂的互動(dòng)交流，教師看不到更多學(xué)生的聰明才智，學(xué)生間也不能真正地實(shí)現(xiàn)思維的碰撞、智慧的分享。如今不僅能夠利用網(wǎng)絡(luò)在師生、生生之間搭建及時(shí)交流各自證明思路或者想法的平臺(tái)，而且能夠利用實(shí)物展示平臺(tái)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中直接顯示并放大不同學(xué)生寫在作業(yè)紙上的解答，避免了在黑板上重新畫圖和板書造成的時(shí)間浪費(fèi)。
　　例如，對(duì)于問題“已知：在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為底邊BC上任一點(diǎn)，作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：DE＋DF是定值。”課題組中的一位教師是這樣做的：他首先讓學(xué)生利用幾何畫板根據(jù)給出的條件作圖，并顯示DE、DF和DE＋DF的值（圖3）。接著讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，尋找證明的思路。學(xué)生在BC邊上拖動(dòng)D點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)DE、DF的值都會(huì)變，而DE＋DF的值始終不變；當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，DE=0，DF=DE＋DF。此時(shí)DF剛好為腰AC上的高線。于是猜想：DE＋DF這個(gè)定值即為一條腰上的高線長(zhǎng)。于是這位教師就接著啟發(fā)學(xué)生作△ABC中AC邊上的高線BH，則原命題中“求證DE＋DF是定值”就轉(zhuǎn)化為“求證DE＋DF=BH”。他讓學(xué)生分組討論如何證明這個(gè)結(jié)論，之后請(qǐng)各小組利用多媒體計(jì)算機(jī)的演示功能向大家展示自己的證明方法。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，由于輔助線的添法不同，各組證明的方法也不盡相同，主要的證明思路有：（1）有的學(xué)生連結(jié)AD（圖4），根據(jù)S△ABC=S△ABD＋S△ACD，得到AC×BH=AB×DE＋AC×DF，再由AB=AC，得到DE＋DF=BH。（2）有的學(xué)生則通過D點(diǎn)作DG⊥BH交BH于點(diǎn)G（圖5），則四邊形DFHG是長(zhǎng)方形，DF=GH，通過證明△BDE≌△DBG，得到DE=BG，從而推出DE＋DF=BH。（3）有的學(xué)生則在FD的延長(zhǎng)線上作BG⊥FD交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（圖6），則四邊形BGFH是長(zhǎng)方形，GF=BH，通過證明△BDE≌△BDG，得到DE=DG，從而推出DE＋DF=BH。
　　
　　
　　教學(xué)實(shí)踐表明，由于有現(xiàn)代教育技術(shù)的支持，學(xué)生的不同證明可以獲得非常全面的展示。在此過程中，師生通過共同討論、評(píng)析，不僅修正了整體上思路正確但表述不當(dāng)?shù)淖C明，而且對(duì)一些只有一半思路的數(shù)學(xué)證明進(jìn)行了完善，使一些沒有自信心的學(xué)生看到自己的想法尚有許多閃光的地方，而更多的學(xué)生則看到了別人方法的優(yōu)點(diǎn)以及自己需要努力的方向。在這種民主的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生學(xué)習(xí)將更為有效。
　　
　　五、啟發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的問題做進(jìn)一步的探究
　　
　　在數(shù)學(xué)新課程改革過程中，探究教學(xué)是一個(gè)亮點(diǎn)。比如，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》就強(qiáng)調(diào)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！庇捎谌鄙佻F(xiàn)代教育技術(shù)的支持，以往數(shù)學(xué)證明的探究教學(xué)往往流于形式。事實(shí)上，教師只是更多地注意“定理證明”這個(gè)唯一的教學(xué)環(huán)節(jié)，并不太考慮學(xué)生的直接感性經(jīng)驗(yàn)和直覺思維，使得不少學(xué)生難以真正理解幾何的概念與幾何的邏輯，很難自主地產(chǎn)生問題、形成假說并進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和反思證明。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)和科學(xué)計(jì)算器為數(shù)學(xué)證明中的探究教學(xué)提供了有力的工具，有效地改變著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究方式。比如，學(xué)生可以利用幾何畫板等認(rèn)知工具積極展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從動(dòng)態(tài)中去觀察、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的數(shù)量變化關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上形成一定的假說，并通過必要的資料整合得出一些數(shù)學(xué)結(jié)論，再進(jìn)行驗(yàn)證、反思、證明與評(píng)價(jià)。由此可見，借助現(xiàn)代教育技術(shù)之力，數(shù)學(xué)證明中的探究教學(xué)可以由外在的形式不斷地向內(nèi)在的實(shí)質(zhì)切入。
　　
　　例如，對(duì)于問題“已知：如圖7，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，A、B分別是切點(diǎn)，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，連接PA、PB。求證：AP⊥BP?！闭n題組的一位教師是這樣利用幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步探究的。第一步，引導(dǎo)證明：先利用幾何畫板的“度量”工具測(cè)出∠APB的度數(shù)為90°，再引導(dǎo)學(xué)生證明該結(jié)論。第二步，反思提問：若改變兩圓的位置是否會(huì)有類似的結(jié)論？第三步，學(xué)生探究：學(xué)生分小組利用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、探究。比如，有小組的學(xué)生通過拉動(dòng)圖7中一個(gè)圓的位置，使兩圓位置發(fā)生各種變化，并對(duì)有關(guān)角進(jìn)行測(cè)量。通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)、討論，他們提出了“當(dāng)兩圓相交或相離（圖8、圖9）時(shí)，有AP1 ⊥BP2，即有與上題類似的結(jié)論AP’⊥BP’”的猜想。第四步，回顧總結(jié)：教師對(duì)“實(shí)驗(yàn)——猜想——論證”總體思路進(jìn)行了補(bǔ)充說明，并對(duì)學(xué)生中較好的證法及時(shí)進(jìn)行了表揚(yáng)。
　　
　　
　　由于課堂內(nèi)的時(shí)間畢竟是有限的，因而對(duì)數(shù)學(xué)證明的探究不一定局限于課內(nèi)進(jìn)行，還可以引導(dǎo)學(xué)生由課內(nèi)向課外延伸，鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)課本中的例題、習(xí)題進(jìn)行深入探究。例如，當(dāng)在課內(nèi)完成了問題“已知：如圖10，矩形ABCD，四個(gè)頂點(diǎn)的角平分線分別交于G、F、E、H。求證：四邊形EFGH為正方形”的證明，還可以引導(dǎo)學(xué)生在課外做如下的探究：（1）如果原四邊形發(fā)生變化，比如矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?、菱形、正方形、等腰梯形時(shí)，EFGH又會(huì)是怎樣的圖形？（2）如果題中的角平分線變?yōu)榕c對(duì)邊中點(diǎn)的連線，那么又會(huì)有怎樣的結(jié)論？（3）如果將題中的矩形變?yōu)橐粋€(gè)折四邊形，那么結(jié)論又會(huì)是怎樣的呢？有學(xué)生在課后利用TI圖形計(jì)算器對(duì)教師提出的問題進(jìn)行了認(rèn)真的探究。實(shí)踐表明，學(xué)生利用TI圖形計(jì)算器對(duì)待探究的數(shù)學(xué)問題理解得更深入，他們不僅獲得了一系列的結(jié)論，優(yōu)化了發(fā)散思維品質(zhì)，而且由于成功的探究使自己獲得了滿足感，能享受到自我創(chuàng)造的快樂，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)探究的興趣和信心。
　　
　　筆者最后想要指出的一個(gè)事實(shí)是，通過筆者及課題組成員對(duì)近30所初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐的有關(guān)情況調(diào)查表明，目前不少的初中數(shù)學(xué)教師對(duì)在數(shù)學(xué)證明教學(xué)中是否運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)以及如何運(yùn)用等問題還存有許多誤解，許多不恰當(dāng)運(yùn)用更是令人心憂。正因?yàn)槿绱耍e極探索現(xiàn)代教育技術(shù)條件下數(shù)學(xué)證明教學(xué)中有價(jià)值的問題應(yīng)是時(shí)代賦予數(shù)學(xué)教育工作者的一項(xiàng)重要使命。
　　
　　參考文獻(xiàn)
　　中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.3.
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