歐陽維誠

軍事上“擒賊先擒王”的思想，對(duì)于解數(shù)學(xué)題非常有用。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常要從考慮的對(duì)象中找到一個(gè)為首的元素，找出第一個(gè)為首的元素以后，再找第二個(gè)為頭的，繼續(xù)下去，第三個(gè)、第四個(gè)……用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，就是把一個(gè)集合的所有元素，按某種原則依次排隊(duì)，排隊(duì)之后，常常有助于發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。在數(shù)學(xué)中稱這一思想為排序原理。

在許多數(shù)學(xué)問題中涉及一些可用數(shù)量來刻畫的元素，如數(shù)的大小、線段的長短、角的大小等等。對(duì)于集合而言，不考慮元素之間的順序。如果它們之間沒有順序，雜亂無章，往往會(huì)使許多有利于解題的條件被隱蔽起來，給解題帶來困難。因此，有經(jīng)驗(yàn)的解題者在解題之前，總是先考慮一下有沒有必要給所涉及的集合的所有元素排一個(gè)順序，無論是自然的順序還是人為的順序，常常都有助于解題。

請(qǐng)看下面一個(gè)簡單的例子：

有１０人同時(shí)到一個(gè)服務(wù)窗口辦事，假定這１０人需要服務(wù)的時(shí)間都是互不相同的，應(yīng)該如何安排這１０人服務(wù)的次序，才能使他們１０人總的花費(fèi)時(shí)間（包括每人被服務(wù)的時(shí)間和等待服務(wù)的時(shí)間）最少？

我們不妨把這１０人依次編號(hào)為

１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０。

他們需要服務(wù)的時(shí)間依次是

ａ₁，ａ₂，ａ₃，ａ₄，ａ₅，ａ₆，ａ₇，ａ₈，ａ₉，ａ₁₀。

因?yàn)樗麄冃枰?wù)的時(shí)間互不相同，把需要服務(wù)時(shí)間最多的那個(gè)當(dāng)作“王”，不妨假定ａ₁₀先“擒”出來。ａ₁₀取出之后，剩下的９個(gè)人又有一個(gè)需要服務(wù)時(shí)間最長的“王”，設(shè)它是ａ₉，把ａ₉“擒”出來。繼續(xù)下去，每次“擒”住一個(gè)服務(wù)時(shí)間最長的“王”，設(shè)依次為₈ａ₇，…，ａ₁。

這樣，我們用逐步“擒王”的辦法，把１０個(gè)人依次需要的服務(wù)時(shí)間排成一個(gè)從大到小的次序：ａ₁₀＞ａ₉＞ａ₈＞ａ₇＞ａ₆＞ａ₅＞ａ₄＞ａ₃＞ａ₂＞ａ₁。直覺告訴我們，應(yīng)該讓服務(wù)時(shí)間最短的人先去接受服務(wù)。這樣開始一齊等的人多，但服務(wù)的時(shí)間短，總的等待時(shí)間就少一些。到了后面，服務(wù)的時(shí)間越來越長，但同時(shí)等待的人也越來越少，總時(shí)間會(huì)短一些。

事實(shí)上也的確如此，用數(shù)學(xué)方法可以嚴(yán)格證明。

再看下面的例子：

某社區(qū)有若干幢建筑物，任何兩幢的高度都不一樣，任何兩幢的距離都不超過它們的高度之差，如果最高的一幢建筑物的高度不超過１００米，那么我們一定可以用一道不超過２００米的圍墻（不包括建筑物本身的長度）把這些建筑物圍起來。

這個(gè)問題乍看起來似乎難以想像，這些建筑物的數(shù)量不明，布局未定，遠(yuǎn)近高低不同，圍墻如何修法？我們可以請(qǐng)排序原理來幫忙。

假設(shè)共有ｎ幢建筑物，把它們從高到矮排一個(gè)順序，設(shè)它們的高度依次是

１００≥ａ₁＞ａ₂＞ａ₃＞…＞ａ_n。

如圖１所示，圍墻從ａ₁筑到ａ₂，再從ａ₂到ａ₃，ａ₃到ａ₄，…，最后從ａ_n再回到ａ₁。由于任何兩座建筑物之間的距離都不超過它們的高度之差，所以圍墻從ａ₁到ａ_n的長度不會(huì)超過（ａ₁－ａ₂）＋（ａ₂－ａ₃）＋（ａ₃－ａ₄）＋…＋（ａ_n-1－ａ_n）。

（ａ₁－ａ₂）＋（ａ₂－ａ₃）＋（ａ₃－ａ₄）＋…＋（ａ_n-1－ａ_n）＝ａ₁－ａ_n＜ａ₁≤１００。整個(gè)圍墻是從ａ₁到ａ_n的兩倍，所以圍墻的長度不會(huì)超過２００米，把所有建筑物都圍住了。

最后，我們?cè)倮门判蛟?，做一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)游戲。在９張小卡片上寫下９個(gè)不同的整數(shù)ａ₁，ａ₂，…，ａ₉。甲、乙兩人輪流取一張小卡片放在一個(gè)３×３的方格棋盤中的某一格，每一小格放一張卡片，不準(zhǔn)多放，也不準(zhǔn)不放。放完后，對(duì)甲計(jì)算最上一行和最下一行中的６張卡片上的６數(shù)之和，對(duì)乙則計(jì)算最左及最右兩列的６數(shù)之和，和數(shù)大者為勝，問誰有獲勝的策略？

由圖２可知，在計(jì)算勝負(fù)時(shí)，打“○”的中間一格里的數(shù)根本不用，因而不起作用。打“×”的四個(gè)小方格里的數(shù)，是甲、乙的公共數(shù)，所以不影響勝負(fù)。真正對(duì)甲、乙的勝負(fù)起作用的只有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四格中的數(shù)。最簡單的取勝思想自然是挑最大的數(shù)給自己，挑最小的數(shù)給對(duì)方。所以，首先要把９個(gè)數(shù)的大小排成一個(gè)順序。

不妨假定９個(gè)數(shù)的大小順序是

ａ₁，ａ₂，ａ₃，ａ₄，ａ₅，ａ₆，ａ₇，ａ₈，ａ₉。

我們只要考慮兩個(gè)最大的ａ₈、ａ₉和兩個(gè)最小的ａ₁、ａ₂就可以了，這要分三種情況討論：

（１）若ａ₉－ａ₈＞ａ₂－ａ₁，這時(shí)先放者甲只要將最大的ａ₉放在Ａ格內(nèi)，那么Ｂ格放的即使是最小的ａ₁，也會(huì)有Ａ＋Ｂ＝ａ₉＋ａ₁＞ａ₂＋ａ₈，甲必勝。

（２）若ａ₉－ａ₈＞ａ₂－ａ₁，這時(shí)先放者甲可將最小的ａ₁送給乙，放在Ｃ格處，下一步乙即使把最大的ａ₉放在Ｄ內(nèi)，也會(huì)有Ｃ＋Ｄ＝ａ₁＋ａ₉＜ａ₂＋ａ₈，甲必勝。

（３）若ａ₉－ａ₈＞ａ₂－ａ₁，甲未必能勝，乙最多能和。因?yàn)槿艏椎谝徊饺∽畲蟮模?sub>9置于Ａ，第二步乙即可取最小的ａ₁放在Ｂ處。第三步、第四步，甲、乙都只能在Ｃ、Ｄ兩格內(nèi)分別放下ａ₂和ａ₈，總有Ａ＋Ｂ＝ａ₉＋ａ₁＝ａ₂＋ａ₈＝Ｃ＋Ｄ，甲、乙不分勝負(fù)。同樣的，若第一步甲將最小的ａ₁送進(jìn)對(duì)方的Ｃ處，第二步乙即可將最大的ａ₉放在自己的Ｄ格內(nèi)，這時(shí)仍會(huì)有Ｃ＋Ｄ＝ａ₁＋ａ₉＝ａ₂＋ａ₈＝Ａ＋Ｂ，也不分勝負(fù)。所以，在這種情況下，如果雙方不發(fā)生錯(cuò)誤的話，總是和局。不發(fā)生錯(cuò)誤的關(guān)鍵，就是要牢牢抓住最大的或最小的“王”。