楊 冰

（華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)附屬初級中學(xué)）

軌跡是平面幾何的重要概念之一，在初中的幾何證明或作圖問題中，常會提到各種軌跡的性質(zhì)或表述.為此，對初中平面幾何教學(xué)中常見的一些軌跡的作法和性質(zhì)的研究，是初中幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容.它對發(fā)展學(xué)生的邏輯思維、提高數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，以及分析和解決幾何問題的能力，都具有重要的意義.

然而，初中平面幾何里“點的軌跡”概念的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教師公認(rèn)的難點.那么它究竟難在何處？如何突破教學(xué)難點？本文以筆者執(zhí)教的滬教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“軌跡（1）”一課為例，談一談自己的看法.

一、“軌跡”概念教學(xué)的難點剖析

“軌跡”是對圖形規(guī)律的抽象概括，是培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的重要學(xué)習(xí)素材.“軌跡”的學(xué)習(xí)，是為了認(rèn)識某圖形區(qū)別于其他圖形的本質(zhì)特征，研究圖形的構(gòu)成規(guī)律.如何從熟悉的圖形中抽象出本質(zhì)特征，是教學(xué)的第一個難點.同時，概念中涵蓋了三層含義：軌跡、點的軌跡（集合）、符合條件的所有的點的軌跡（集合），從而增加了學(xué)生理解的難度.

軌跡的概念中應(yīng)用到了集合的思想，必須具備純粹性與完備性的雙重性質(zhì)，其定義形式對于習(xí)慣借助直觀形象與常見數(shù)學(xué)模型理解數(shù)學(xué)概念的初中學(xué)生來說，的確較為抽象.因此，如何幫助學(xué)生正確理解軌跡概念中蘊(yùn)含的雙重性質(zhì)是教學(xué)的第二個難點.

“軌跡”教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力有重要的作用.然而學(xué)生空間想象能力的差異，造成了對軌跡概念理解的局限性.因此，如何準(zhǔn)確描述軌跡，實現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的“轉(zhuǎn)譯”，是教學(xué)的第三個難點.

二、基于難點剖析的教學(xué)目標(biāo)定位

基于以上對教材的理解以及學(xué)情的了解，對本課的教學(xué)目標(biāo)和重、難點做以下定位.

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）從生活實際出發(fā)，以最熟悉的“圓”入手，剖析軌跡的定義；

（2）掌握線段的垂直平分線、角的平分線和圓三條基本軌跡，能通過文字語言的描述準(zhǔn)確轉(zhuǎn)譯出三條基本軌跡；

（3）通過軌跡的學(xué)習(xí)，初步感知集合的思想，會用運動變化的觀點看待數(shù)學(xué)圖形，在幾何問題探究與解決過程中逐步提高學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

2.教學(xué)重、難點

（1）教學(xué)重點：會用描點、畫圖的方法畫點的軌跡，并用文字語言進(jìn)行描述.

（2）教學(xué)難點：

①對軌跡定義的理解，對于軌跡的完備性與純粹性的恰當(dāng)滲透；

②根據(jù)學(xué)生差異，有效發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)語言“轉(zhuǎn)譯”能力.

三、針對教學(xué)難點的課堂預(yù)設(shè)

在尊重教材，關(guān)注學(xué)生差異的前提下，為了突破“軌跡”概念教學(xué)之難，筆者嘗試對教學(xué)設(shè)計與教學(xué)方法做以下處理.

1.提前起步，滲透軌跡

以線段的垂直平分線、角的平分線的性質(zhì)定理與逆定理為載體，初步講述“點的集合”的含義，滲透軌跡思想，引出“點的軌跡”的教學(xué)主題；預(yù)伏軌跡概念中所含的純粹性與完備性的思想內(nèi)涵，為學(xué)生學(xué)習(xí)軌跡概念打下基礎(chǔ).

2.動靜結(jié)合，感受軌跡

“軌跡”思想在物理學(xué)、天文學(xué)、生活中有廣泛的應(yīng)用.教學(xué)中通過展示實例，生動地將多種真實事物的原型抽象成數(shù)學(xué)圖形，捕捉每一個“點”運動的時刻，匯集成線，使學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)中的軌跡.

3.化圓為跡，剖析軌跡

以學(xué)生最熟悉的圓為抓手，將純粹性剖析為“滿足條件的點”，將完備性剖析為“所有點都滿足條件”，簡化軌跡概念中抽象的集合思想內(nèi)涵.

4.變式設(shè)計，活學(xué)軌跡

以作圖的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，通過改變條件，對“軌跡”的研究進(jìn)行變式教學(xué).充分利用幾何畫板軟件動態(tài)作圖，與學(xué)生共同探究軌跡由點到線（曲線）的形成過程.教學(xué)中，為了適切地應(yīng)對不同學(xué)生空間想象能力的差異，在處理對軌跡的繪制過程中，給出描點法與化歸法兩種策略，供學(xué)生靈活選擇.

四、基于難點突破的教學(xué)策略

1.情境引入，“軌跡”初現(xiàn)

（1）情境1：觀看行星運行動態(tài)圖，感受軌跡的動態(tài)定義.

師：同學(xué)們請看，行星在做什么運動？

生：沿著曲線（各自的運行軌道）運動.

師：這樣一條條的“曲線”是真實存在的軌道嗎？

生：不存在.

師：那么，我們該怎么理解，怎么刻畫這些“軌道”呢？

師生共同歸納：我們可以把“軌道”看作是符合某些條件的點的集合.將行星（抽象成點）運動過程中經(jīng)過的每一個位置看作一個點，那么所有點的集合，就形成了運行軌道（抽象成曲線）.

（2）情境2：展示珠海航展中噴氣式飛機(jī)飛行表演時在天空中劃過的曲線，感受軌跡之美；展示手機(jī)導(dǎo)航軟件，滲透軌跡在生活中的應(yīng)用.

（3）課題引入.

師：這些運動所形成的路線明顯不是隨意的，是在某些條件下形成的，在數(shù)學(xué)中，我們稱之為“軌跡”.我們把“軌跡”定義為“符合條件的所有的點的集合”.

【設(shè)計意圖】“軌跡”概念中有三層含義：軌跡、點的軌跡（集合）、符合條件的所有的點的軌跡（集合）.這部分教學(xué)需重點闡明三者的聯(lián)系與區(qū)別.

從字面意義上理解：

（1）軌跡：“軌”當(dāng)“軌道”“路線”“規(guī)矩”、講秩序；“跡”指留下的印跡.

（2）點的軌跡（集合）：是直線、平面曲線或空間曲線.

（3）符合條件的所有的點的軌跡（集合）：是指按照條件限定在空間運動形成的圖形.

為了幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)中的軌跡概念，教學(xué)時，從生活中的軌跡入手，運用運動的觀點，通過現(xiàn)實情境（太空中行星運行軌道、噴氣式飛機(jī)劃過的曲線、手機(jī)導(dǎo)航軟件等）、準(zhǔn)數(shù)學(xué)情境（將星球與飛機(jī)等抽象成點，將軌道與路線等抽象成線）和數(shù)學(xué)化情境（點動成線，匯點成線）三個層次來幫助學(xué)生理解軌跡概念．

在概念的引入階段，問題情境的主要作用是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系，使得學(xué)生對“點的軌跡”有個感性認(rèn)識.這里通過問題串的設(shè)計，由現(xiàn)實情境，數(shù)學(xué)情境，進(jìn)而上升到抽象水平，抽象出數(shù)學(xué)概念．

2.剖析“軌跡”，完善認(rèn)知

情境1：以圖形剖析概念中“圖形（軌跡）上的每一個點都符合給定條件”（純粹性）.

師：（如圖1）到點A的距離等于AP的點的軌跡是這個可愛的熊貓頭像嗎？

圖1

生：不是的，熊貓頭像中耳朵上的點不符合條件．

情境2：從擺動的鐘擺走過的路線抽象出弧線，剖析概念中“符合條件的每一個點都在圖形（軌跡）上”（完備性）.

師：（如圖2）到點A的距離等于AP的點的軌跡是嗎？

圖2

圖3

生：不是的，到點A的距離等于AP的點所形成的圖形不僅僅是.到點A的距離等于AP的點所形成的圖形是“以點A為圓心，以AP為半徑的圓（如圖3）”．

【設(shè)計意圖】基于學(xué)生已有的知識——圓，從生活實際出發(fā)，設(shè)計非概念變式，辨析軌跡概念中的三層含義，有助于學(xué)生理解軌跡概念中的“堵漏防雜”（純粹性與完備性），讓學(xué)生在理解過程中，從形象思維上升到抽象思維．

對于軌跡概念的強(qiáng)化與剖析，從集合的觀點，引導(dǎo)學(xué)生思考與分析.

（1）圖形（軌跡）上的“所有點”與條件有什么關(guān)系？

（2）符合條件的“所有點”與圖形（軌跡）有什么關(guān)系？

進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識到：判斷“圖形（軌跡）”是否為符合條件的所有的點的軌跡（集合），即看它是否同時滿足以下條件.

（1）純粹性：圖形（軌跡）上的每一個點都符合給定條件；

（2）完備性：符合條件的每一個點都在圖形（軌跡）上．

3.“基本軌跡”，強(qiáng)化概念

強(qiáng)化圓、線段的垂直平分線、角的平分線的軌跡概念描述．

基本軌跡1：到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓．

基本軌跡2：和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．

基本軌跡3：在一個角的內(nèi)部（包含頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線．

【設(shè)計意圖】強(qiáng)化圓、線段的垂直平分線、角的平分線軌跡概念的文字描述與集合內(nèi)涵.

（1）通過問題：軌跡上的每一個點都符合什么條件？形成軌跡，需要把握哪些關(guān)鍵詞？對軌跡概念中“某些條件”進(jìn)行具體化和抽象化.

（2）由三種基本軌跡需要滿足的條件，確定三種模型：點點定距、點點等距、點線等距，為后面“描繪”軌跡做好鋪墊．

4.變式設(shè)計，“描繪”軌跡

主線1：將教材中例題結(jié)合基本軌跡進(jìn)行變式重組，以作圖的結(jié)果為依據(jù)，改變條件，使學(xué)生學(xué)會用基本軌跡解釋簡單的軌跡問題．

主線2：使學(xué)生學(xué)會軌跡的圖形表示，把軌跡上的點應(yīng)符合的幾何條件轉(zhuǎn)化為圖形語言來表達(dá)．

主線3：設(shè)計問題串，強(qiáng)化軌跡概念中“集合”內(nèi)涵的雙重性質(zhì)．

題組1：（1）如圖4，在同一平面內(nèi)，到點A的距離等于1 cm的點的軌跡；

（2）如圖5，在同一平面內(nèi)，過點A且半徑為1 cm的圓的圓心O的軌跡；

圖4

圖5

題組2：（1）如圖6，在同一平面內(nèi)，和定點A，B距離相等的點C的軌跡；

（2）如圖7，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過定點A，B的圓的圓心O的軌跡；

（3）如圖8，在同一平面內(nèi)，以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點C的軌跡.

圖6

圖7

圖8

題組3：（1）如圖9，在同一平面內(nèi)，與直線AB的距離為1 cm的點的軌跡；

（2）如圖10，在同一平面內(nèi)，與平行直線AB，CD的距離相等的點的軌跡；

（3）如圖11，在同一平面內(nèi)，在∠AOB內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點的軌跡.

圖9

圖10

圖11

【設(shè)計意圖】三個題組的變式設(shè)計，從軌跡的結(jié)果上，對應(yīng)三條基本軌跡.通過這一輪問題，既強(qiáng)化了學(xué)生對基本軌跡的認(rèn)識，又傳授了軌跡畫圖的描點法策略和化歸策略.在軌跡問題中，有時描點法與化歸法結(jié)合使用可以幫助學(xué)生更加快速、準(zhǔn)確的畫出軌跡.題組3的另一個難點在于由“點到直線的距離”向“點到點（垂足）的距離”轉(zhuǎn)化．

5.回望反思，鞏固所學(xué)

通過“學(xué)會了什么？感受到了什么？解決了什么困惑”三個問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理本節(jié)課的收獲．

五、教學(xué)反思

開展“軌跡”的概念教學(xué)，圍繞著一些基本的軌跡圖形開展適當(dāng)變式是十分必要的.通過教學(xué)反思，筆者認(rèn)為在變式設(shè)計時，建議把握以下幾條主線.

（1）進(jìn)行題組變式時，在變化中認(rèn)清本質(zhì)，分析過程中滲透化歸法，重視剖析軌跡滿足的條件，化歸為基本軌跡，具體包含如下幾方面.

①點點定距（圓）；

②點點等距（線段的垂直平分線）；

③點線等距（平行線或角的平分線）.

在變化中，梳理概念的結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學(xué)思想、方法；在變化中，提高學(xué)生思維的深刻性和靈活性，更重要的是在變化中形成思維的獨創(chuàng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維．

（2）重視軌跡概念的不同表現(xiàn)形式，包含文字語言、圖形語言、符號語言，三種語言之間的靈活運用，對于學(xué)生深入理解概念、應(yīng)用概念非常重要．

為處理學(xué)生空間想象能力的差異和幾何語言“轉(zhuǎn)譯”能力的差異，給出描繪軌跡可操作的方法，方便記憶與操作.分析過程中滲透對動點條件的探究，采用試點探究、連線描繪、軌跡猜想，得出軌跡雛形；通過學(xué)生展示與教師追問，確認(rèn)“堵漏防雜”，描繪完整軌跡.同時，結(jié)合幾何畫板軟件的演示，彌補(bǔ)學(xué)生空間想象能力差異造成的問題．

（3）通過不斷追問，如“圖形（軌跡）上的每一個點是否都符合給定條件？符合條件的每一個點是否都在圖形（軌跡）上？”等有關(guān)軌跡概念中的核心問題，強(qiáng)化軌跡概念中“集合”兩層內(nèi)涵的認(rèn)識．

在本節(jié)課中最大的收獲是在遇到教學(xué)中的難點時，深鉆教材，活用教材，選擇適當(dāng)?shù)慕谭?，結(jié)合多媒體手段，克難制勝.為突破難點，筆者對于教學(xué)設(shè)計的結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了多次嘗試，看如何將多種軌跡更好的呈現(xiàn)，并且能夠幫助學(xué)生在遇到任何的軌跡問題時，都能通過可操作的方法進(jìn)行尋找.在研究的過程中，也加強(qiáng)了我們對如何改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究路徑的認(rèn)識，這也像是“軌跡”，記錄下了教師專業(yè)成長之路.