朱長(zhǎng)超

自從笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以來(lái)，數(shù)學(xué)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如群論、非歐幾何、泛函分析等相繼產(chǎn)生。但不同的分支有不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，隨著數(shù)學(xué)分支越來(lái)越多，常常是這個(gè)分支中的數(shù)學(xué)家無(wú)法聽(tīng)懂那個(gè)分支中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)王國(guó)歷來(lái)的內(nèi)在和諧被破壞了。面臨著數(shù)學(xué)王國(guó)四分五裂的局面，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家迫切地希望系統(tǒng)地整理全部數(shù)學(xué)概念，把各個(gè)分支有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。為此，在本世紀(jì)二十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪組織了一個(gè)數(shù)學(xué)討論班。參加者經(jīng)常爭(zhēng)論得面紅耳赤，聲嘶力竭，使得有些不知內(nèi)情的人把這個(gè)討論班稱(chēng)為“瘋子的集會(huì)”。十多年后，法國(guó)出版了署名“布爾巴基”著的《數(shù)學(xué)原理》第一卷，以后又陸續(xù)出了第二第三卷，直到現(xiàn)在問(wèn)世了近四十卷。這套數(shù)學(xué)史上最巨大的數(shù)學(xué)著作，用嚴(yán)密的邏輯方法，整理了迄今為止的全部數(shù)學(xué)概念，把山頭林立的各個(gè)數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一成一個(gè)和諧的數(shù)學(xué)王國(guó)。著者“布爾巴基”不是別人，就是那一群喜歡爭(zhēng)論的“瘋子”。

他們是在法國(guó)數(shù)學(xué)十分落后的情況下挑起這個(gè)重?fù)?dān)的。法國(guó)曾有過(guò)很好的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，有過(guò)笛卡爾、拉格朗日、伽羅華、彭加勒這樣的出色的數(shù)學(xué)家。但是20世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)急劇落后，許多優(yōu)秀的人才死于第一次世界大戰(zhàn)中，老一輩的數(shù)學(xué)家禁錮在函數(shù)論中，把函數(shù)論當(dāng)作唯一的圣地，不知當(dāng)時(shí)的俄國(guó)學(xué)派、波蘭學(xué)派等數(shù)學(xué)界同行的成就。怎樣才能使今天的數(shù)學(xué)王國(guó)重新統(tǒng)一呢？他們想首先要了解各門(mén)分支的新成就。討論班一經(jīng)成立，就把上年發(fā)表的重要論文分配給有興趣的人，讓他反復(fù)鉆研。然后介紹給討論班。例如，當(dāng)數(shù)學(xué)家范德華爾登出色的數(shù)學(xué)著作發(fā)表后，討論班馬上加以研究、討論。這樣的討論不斷開(kāi)闊了參加者的眼界，活躍了他們的思想，逐漸形成了一個(gè)充滿活力的布爾巴基學(xué)派，為統(tǒng)一數(shù)學(xué)王國(guó)的事業(yè)打下了基礎(chǔ)。

討論班的第二步工作是以更系統(tǒng)的方法探討數(shù)學(xué)各個(gè)分支中涌現(xiàn)出來(lái)的大量概念，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把它們統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)學(xué)史上，歐幾里德曾用若干公理演繹出千百條幾何定律，建立了嚴(yán)密的幾何體系；希爾伯特曾從少數(shù)幾個(gè)公理出發(fā)，建立了嚴(yán)密的數(shù)理邏輯的公理化系統(tǒng)。布爾巴基討論班的科學(xué)家們由此得到啟發(fā)，在各個(gè)數(shù)學(xué)分支的背后一定存在著一些共同的東西，這個(gè)共同的東西就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。他們?cè)O(shè)想用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想可以統(tǒng)一數(shù)學(xué)王國(guó)，因?yàn)椤安还芷渫饷踩绾?，?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在進(jìn)化，不同部分必定會(huì)趨于嚴(yán)密的統(tǒng)一?！钡且业侥軌蚓C合各種分支的結(jié)構(gòu)，必須找到和深入研究各種分支的結(jié)構(gòu)，只有這樣，才能找出各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的邏輯關(guān)系。這是一件十分艱巨的任務(wù)，需要集思廣益、群策群力。為了尋找數(shù)學(xué)內(nèi)在的各種結(jié)構(gòu)，布爾巴基小組經(jīng)常進(jìn)行激烈的爭(zhēng)論。批評(píng)是不留情面的，只有在問(wèn)題搞清楚后大家才又面帶笑容地平靜下來(lái)。討論后有了比較一致的意見(jiàn)就讓某個(gè)人去起草。一二年后草稿出來(lái)了，再在討論班上宣讀，每一頁(yè)、每一個(gè)證明都要嚴(yán)格考察。第一稿否定了，第二個(gè)人寫(xiě)第二稿，第二稿又否定了，第三個(gè)人接著干。艱苦的探索使他們終于證實(shí)：各個(gè)數(shù)學(xué)分支果然都有著自己特有的結(jié)構(gòu)，而這些結(jié)構(gòu)都是一些基本結(jié)構(gòu)的結(jié)合，都可以從結(jié)構(gòu)上加以分析。比如，實(shí)數(shù)的集合都服從代數(shù)結(jié)構(gòu)。根據(jù)這種代數(shù)結(jié)構(gòu)，任何實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算仍為實(shí)數(shù)，任何實(shí)數(shù)都滿足結(jié)合律、分配律。實(shí)數(shù)集合也具有順序結(jié)構(gòu)，任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，在數(shù)軸上有不同的位置。此外，任何實(shí)數(shù)還具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即兩個(gè)實(shí)數(shù)之間總有著一定的距離。所以可以說(shuō)代數(shù)是代數(shù)結(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三種結(jié)構(gòu)的組合。并且，他們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，各個(gè)數(shù)學(xué)分支，不管它是多么錯(cuò)綜復(fù)雜，都不外乎這三種結(jié)構(gòu)的組合變化。一切數(shù)學(xué)分支都可以用這三種結(jié)構(gòu)加以說(shuō)明。統(tǒng)一數(shù)學(xué)王國(guó)的規(guī)律被他們找到了。

經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的努力，他們寫(xiě)了近40卷的《數(shù)學(xué)原理》。這套書(shū)對(duì)數(shù)學(xué)成就進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)各分支進(jìn)行一次全面的綜合，建立了一座前所未有的巍峨的大廈，統(tǒng)一了數(shù)學(xué)王國(guó)。