張蓬霞

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治046011）

本文研究了一類具有HollingⅢ型功能反應(yīng)函數(shù)且食餌均常數(shù)收獲率的捕食模型：［1-5］

其中x，y表示兩種群的密度，a，b，c，d，e均為正常數(shù)，模型中食餌具有常數(shù)收獲率h.

1 模型建立

作變換dt=（A+x2）dτ，變換后仍記作x，t則有：

由模型（2）可知食餌等傾線為：

另捕食者等傾線為：

結(jié)論1若模型（2）的各參數(shù)滿足，那么模型（2）有唯一正平衡點(diǎn)（u，v）.

2 模型平衡點(diǎn)與極限環(huán)問(wèn)題

2.1 正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

將模型進(jìn)一步整理得：

設(shè)（u，v）是模型（3）的正平衡點(diǎn)，該點(diǎn)處線性近似方程的系數(shù)矩陣為：

系數(shù)矩陣的跡為：

系數(shù)矩陣的行列式的值為：

結(jié)論2若模型（3）各個(gè)參數(shù)滿足結(jié)論1的條件，則正平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定.

2.2 極限環(huán)不存在條件

結(jié)論3當(dāng)滿足2c-2d+1＜0時(shí)平衡點(diǎn)周圍不存在極限環(huán).

證：取Dulac函數(shù)B（x，y）=xmyn，容易算得：

2.3 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

由P＊（α，0）=-α（-b+eα）=0得α=0或是模型（4）的奇點(diǎn).

對(duì)Q1（0，0）有則Q1不穩(wěn)定.

那么q2=-b2＜0，則點(diǎn)為鞍點(diǎn).