摘要：期權(quán)作為一種金融衍生工具，其價值受多種因素影響，提前行權(quán)條款便是關(guān)鍵因素之一， 該條款允許持有人在到期日前的任意時間行使權(quán)利。本文通過分析看跌期權(quán)，深入探討了提前行權(quán)條 款對期權(quán)價值的影響。二叉樹方法可捕捉不同市場條件下，尤其是不同利率和市場波動水平下，提前 行權(quán)條款對期權(quán)價值的具體影響。文章采用 二叉樹方法構(gòu)建期權(quán)的數(shù)值估計模型，以更準(zhǔn)確地評估期 權(quán)價值。研究發(fā)現(xiàn)，嵌入提前行權(quán)條款的期權(quán)因具備靈 活行使時間而具有潛在優(yōu)勢，同時指出在高波 動性或低利率環(huán)境下，提前行權(quán)可能導(dǎo)致期權(quán)溢價發(fā)生顯著變化。此外，本研究為后續(xù)的理論探索與 實證研究提供了有益參考，有助于進一步深化對期權(quán)定價模型及其應(yīng)用的理解。

關(guān)鍵詞：浮動時間的期權(quán)；固定時間的期權(quán)；提前實施條款；二叉樹方法

引言

期權(quán)是一種常見的金融衍生品，有些期權(quán)不允 許持有人選擇實施的時刻，只能在到期日當(dāng)天決定是 否實施，本文稱之為固定時間的期權(quán)；有些期權(quán)則 附帶了提前實施條款，允許投資人在期權(quán)存續(xù)期 [0， T] 內(nèi)任何一天實施期權(quán)，本文稱之為浮動時間的期 權(quán)。相比之下，浮動時間的期權(quán)賦予持有人更大的靈 活性，允許他們在整個期權(quán)期限內(nèi)（包括到期日）隨 時行使權(quán)利。這意味著，當(dāng)期權(quán)市場波動時，投資 者可以選擇在有利條件下立即行使期權(quán)，或者選擇 繼續(xù)持有期權(quán)以期獲得更高的未來回報。這種靈活 性往往導(dǎo)致浮動時間的期權(quán)的價值高于固定時間期 權(quán)，因為它提供了更多的戰(zhàn)略選擇和潛在的盈利機 會。陳有杰、溫小梅、黃晴（2025）采用快速傅里葉 算法研究了多維股票價格下的固定時間期權(quán)定價問 題，給出了一種差分格式的快速算法 [1]。鄧乙陽、孫 玉東（2025）則采用微分代替偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造了一種緊 致的差分格式，該差分格式具有較高的精度，分析固 定時間期權(quán)的價值和變動規(guī)律 [2]。陶李、朱本喜和錢 譯緣等人（2024）研究了浮動時間期權(quán)定價問題，由 于附帶提前實施條款的期權(quán)的價值不屬于拋物方程 初邊值問題，是一個自由邊界問題，完全沒辦法獲取 解析定價結(jié)果，構(gòu)造了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法 [3]。陳 迎姿、王晚生、謝家泉（2025）則構(gòu)造了一種隱式差 分方法 [4]。林漢燕、袁媛（2020）指出浮動時間期權(quán) 和固定時間期權(quán)最大的區(qū)別在于是否具備提前實施條 款 [5]。本文則借助二叉樹方法研究了這一特征對期權(quán) 價值的影響。該文提出的二叉樹方法對浮動時間期權(quán) 和固定時間期權(quán)均有效。

一、應(yīng)用二叉樹方法的期權(quán)價值估算

（一）二叉樹參數(shù)的確定

假定期權(quán)是 0 時刻簽訂 ，到期日為T". 為了方 便論述， 將時間區(qū)間[0， ] T 分成n期，每期的長度記 為Dt，顯然D =t Tn，定義時間節(jié)點ti t i = ′D ， i n = 0，1， ， L 。在二叉樹架構(gòu)下期權(quán)掛鉤的風(fēng)險資產(chǎn)價 格在每期[， ] t t i i+1 上僅存在上升、下降兩種可能，并且 上升和下降的比率分別為u和d，對應(yīng)的概率分別為p 和1- p。為了方便論述本文用S t（ ）i 表示風(fēng)險資產(chǎn)在t i 時刻的價格，那么從t i 時刻到t i+1 風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益 為St r t （ ）exp{ } i D ，這樣在數(shù)學(xué)期望的算法下，本文 有了u和d以及p的第一個關(guān)系式

pu p d r t +- = D （1 ） exp{ }"（1）

進一步在方差相等的約束下，再結(jié)合人工條件 ud = 1，本文即可得到上升比例u和下降比例d以及上 升概率p關(guān)于無風(fēng)險收益率r和風(fēng)險資產(chǎn)波動率σ的表 達式。

（二）構(gòu)建對應(yīng)的股票價格多期二叉樹演化圖

注意當(dāng)前時刻為t0 ，本文令t t = =0 0，從而經(jīng)過 Dt之后風(fēng)險資產(chǎn)價 格S t（ ）0 要么上漲到uS t（ ）0 、要么下 跌至dS t（ ）0 ，從而風(fēng)險資產(chǎn)在t 1 時刻的分布，可以歸 納為一個兩點分布，它處于點dS t（ ）0 的概率為1- p，處于點uS t（ ）0 的概率為p，在t 2 時刻和t3 時刻的分布可 以在圖 1 中發(fā)現(xiàn)。

以此類推，在t n 時刻，風(fēng)險資產(chǎn)價格有n + 1種可 能，ud St j n j nj - （ ）， 0，1， ， 0 = L ，并且他們的概率都是 明確已知的，其 結(jié)果見圖 2。

本文先按照圖 2 計算期權(quán)在到期日當(dāng)天的收益， 然后按照圖 1 倒推回零時刻獲取期權(quán)的價值。

二、提 前實施條款對期權(quán)影響的實證分析

本節(jié)使用 R 軟件對上一節(jié)構(gòu)思的算法進行實證 分析，這里本文設(shè)定股票 0 時刻的價值為 300，股票 的 波動率為 0.2，期權(quán)的執(zhí)行價為 280，期權(quán)的到期 時間T =1，市場上的無風(fēng)險利率r為 0.1。

由圖 1 可以看出，對于看跌類型期權(quán)而言，不 管是固定時間期權(quán)還是浮動時間期權(quán)的價值都隨著股 價的增大而變小?？吹跈?quán)使得投資人以固定的價格 K 提前鎖定股票賣出的最低價，顯然如果股票的市價 越低，這種提前鎖定的“功能”就越低，期權(quán)的價值 也就越小，這與圖 3 中看到的事實相符。另外在圖 3 中，比對六個子圖還可以發(fā)現(xiàn)無風(fēng)險利率越大，浮動 時間看跌期權(quán)的價值就愈發(fā)高于固定時間期權(quán)，這是 因為，浮動時間期權(quán)具備提前實施功能，它可以在一 年內(nèi)任何時間點上實施期權(quán)，而固定時間期權(quán)只能在 1 年到期的當(dāng)日決定是否實施，從而浮動時間期權(quán)的 價值要比固定時間期權(quán)大。

圖 4 反映了不同波動率情形下兩種期權(quán)價值的 變化情況，當(dāng)然本文仍然選擇看跌類型期權(quán)?？梢钥?出波動率越 大期權(quán)的價值越大，波動率越大意味著股 票的風(fēng)險越大，此時期權(quán)的保值功能也就越強，其價 值也就越大。又因為浮動時間期權(quán)比固定時間期權(quán)擁 有更多的功能，所以在圖形上也可以看出浮動時間期 權(quán)的價值高于固定時間期權(quán)。

三、總結(jié)

本文通過深入分析看跌型固定時間和浮動時間 期權(quán)，探討了提前行權(quán)條款對期權(quán)價值的影響。為了 更 準(zhǔn)確地評估 兩種期權(quán)的價值，文章采用了二叉樹方 法構(gòu)建了期權(quán)的數(shù)值估計模型，將期權(quán)的存續(xù)區(qū)間劃 分為 n 個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上約定股票價格要么 上升要么下降，本文依據(jù)無風(fēng)險利率 r 和股票的波動 率計算了股價在每個小區(qū)間上升和下降的比例，以及 對應(yīng)的概率，同時采用 for 循環(huán)等控制語句實現(xiàn)股價 和期權(quán)的演化，進而得到了兩種期 權(quán)的價值。這些研 究成果為投資者在實際操作中做出更明智的決策提供 了有益的指導(dǎo)，同時也為金融學(xué)領(lǐng)域的后續(xù)研究提供 一定參考。

參考文獻：

[1] 陳有杰，溫小梅，黃晴，等 . 多維隨機波動率 模型下歐式離散障礙期權(quán)定價 [J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報， 20 25，42（02）：277-296.

[2] 鄧乙陽，孫玉東 . 次擴散 Black-Scholes 模型下歐 式期權(quán)的一種緊致差分格式 [J]. 湖北 民族大學(xué)學(xué)報 （自然科學(xué)版），2025，43（01）：119-125.

[3] 陶李，朱本喜，錢譯緣，等 .Bayes 推斷和神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)求解美式回望期權(quán)的隱含波動率 [J]. 吉林大 學(xué)學(xué)報 （理學(xué)版），2024，62（06）：1363-1369.

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[5] 林漢燕，袁媛 . 分數(shù) Black-Scholes 模型下美式期 權(quán)定價的積分方程式 [J]. 數(shù)學(xué)的實踐 與認識，2020， 50（12）：293-298.

（作者簡介：李鴻宇，貴州醫(yī)科大學(xué)神奇民族醫(yī)藥 學(xué)院經(jīng)濟商務(wù)學(xué)院助教）