中圖分類(lèi)號(hào)：0156 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

φ（n） 為歐拉函數(shù)，其概念為對(duì)任意的正整數(shù)n ，歐拉函數(shù) φ（n） 定義為序列 1，2，…，n 中與 n 互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。 φ_e（n） 為廣義歐拉函數(shù)，其概念為對(duì)任意的正整數(shù) e ，正整數(shù) n 的廣義歐拉函數(shù) φ_e（n） 定義為序列 中與 n 互素的數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng) e=1 時(shí)，廣義歐拉函數(shù) φ_e（n） 就是歐拉函數(shù) φ（n） 。關(guān)于歐拉函數(shù)和廣義歐拉函數(shù)的研究有很多，如張明麗等[研究了兩個(gè)復(fù)合歐拉函數(shù)方程 φ（φ（n-φ（φ（n））））=8 和 φ（φ（n- φ（φ（n）））=10 的可解性;張四保等[2]討論了廣義歐拉函數(shù)方程 φ₂（m）=2^ω（m）3^Ω（m） 的正整數(shù)解；姜蓮霞等[3]討論了廣義歐拉函數(shù) φ₃（n） 和歐拉函數(shù) φ（n） 混合方程式 的解；張四保[4]研究了廣義Euler函數(shù)方程φ₆（n）=2^ω（n） 的解；鄧桂林等[5]研究了當(dāng) （20 {2，3，4，6} 時(shí)，方程 φ_e（m）=2^tω（n） 的可解性。S（n） 是Smarandache函數(shù)，其定義為使得 n∣m 成立的最小正整數(shù) m ，即

S（n）=min{m∈Z⁺：n|m！}

SL（n） 是SmarandacheLCM函數(shù)，它是在函數(shù)S（n） 的基礎(chǔ)上派生出來(lái)的，其定義為使得n|[1，2，…，k] 的最小正整數(shù) k ，即

SL（n）=min{k∈Z⁺：n|[1，2，…，k]}

其中， Z⁺ 是正整數(shù)集合。這兩個(gè)函數(shù)的提出引起了學(xué)者的關(guān)注，如白海榮等對(duì)Smarandache函數(shù)進(jìn)行了一些推廣，張利霞等研究了關(guān)于SmarandacheLCM函數(shù)的 β 次混合均值。也有許多學(xué)者研究了幾種函數(shù)混合的數(shù)論函數(shù)方程的可解性，如袁合才等研究了數(shù)論函數(shù)方程S（SL（n¹¹））=φ₂（n） 和 S（SL（n¹²））=φ₂（n） 的可解性；姜蓮霞等[9研究了數(shù)論函數(shù)方程S（SL（n¹⁴））=φ₂（n） 和 S（SL（n³⁶））=φ₂（n） 的可解性;張四保[10]研究了數(shù)論函數(shù)方程 φ₂（n）= S（SL（n¹⁵） ）和 φ₂（n）=S（SL（n¹⁷） ）的解;成敏等[]研究了數(shù)論函數(shù)方程 φ₂（n）=S（SL（n²⁸）） 和 φ₂（n）=S（SL（n³¹） ）的解；周建華等[研究了數(shù)論函數(shù)方程 的可解性;張四保等[13]研究了數(shù)論函數(shù)方程 kφ（Y）= φ₂（Y）+S（Y⁸） 的解;鄭惠[14]研究了數(shù)論函數(shù)方程mφ（n）=φ₂（n）+S（n¹⁰） 的解；姜蓮霞等[15]研究了數(shù)論函數(shù)方程 kφ（n）=7φ₂（n）+S（n¹³） 的正整數(shù)解；李昌吉[16]研究了數(shù)論函數(shù)方程 2φ（n）= φ₂（n）+S（n²⁵） 的正整數(shù)解;丁恒蘭等[17研究了數(shù)論函數(shù)方程 的可解性;朱山山等[18]研究了數(shù)論函數(shù)方程 tφ（n） +φ₂（n）=S（SL（n^k））， ）的正整數(shù)解。

本文在上述研究基礎(chǔ)之上，求得數(shù)論函數(shù)方程kφ₂（n（n+1））+φ（n）=2S（SL（n¹¹） ）的所有解。

1主要引理

引理 1^[18] 若 是正整數(shù) n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式，則

引理2[19] 當(dāng) n?3 時(shí)，有 φ（n） 為偶數(shù)。

引理3[20] φ₂（1）=0 ， φ₂（2）=1 ，當(dāng) ngt;2 時(shí)，有

引理4[21] 對(duì)于素?cái)?shù) p 和正整數(shù) k ，有

S（p^k）?kp

特別地，當(dāng) k

k）=kp 。

引理 5^[22] （204號(hào) 對(duì)于任何正整數(shù) n ，則 引理 6^[23] （2 Euler 函數(shù)為積性函數(shù)，即對(duì)于任意互素的正整數(shù) m 和 n ，則有 0

2 定理及其證明

定理數(shù)論函數(shù)方程

（1）的正整數(shù)解為 ，（27，2），（26，3），（24，5）。

證明 當(dāng) n=1 時(shí)，由于

代入式（1）有

可得 k=1 ，所以 是方程（1）的正整數(shù)解;當(dāng) n=2 時(shí)，由于

φ₂（6）=1，S（SL（2¹¹））=S（2¹¹）=14 代入式（1）有

kφ₂（6）+φ（2）=k+1=2S（SL（2¹¹））

=2×14=28

可得 k=27 ，所以 是方程（1）的正整數(shù)解。

此時(shí)，設(shè)正整數(shù) n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為

由引理1知

再由引理4和式（2）可得

S（SL（n¹¹））=S（q^11β）?11qβ

其中， q 是 n 的素因子，且 β 是 q 在 n 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中的指數(shù)。由引理3、引理6知式（1）可寫(xiě)為

由式（3）和式（4）可得

再由引理5知式（5）可寫(xiě)為

從而有

kn?2kφ（n）φ（n+1）+4φ（n）?88qβ

可得

1?k?88qβ，3?n?88qβ

由引理3有

其中， ，且 gcd（q，m）=1 。從而由式（6）有

從而式（8）可寫(xiě)為

3q^β-1（q-1）?3q^β-1（q-1）φ（m）?44qβ

可得

3×2^β-2?3q^β-2（q-1）?3q^β-2（q-1）φ（m）?44β

即

3×2^β-2?44β

對(duì)式（10）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，有 log（3×2^β-2）? ，可求得 βlt;10 。以下討論 q 和 β 取不同值時(shí)

的9種情況。

情況1當(dāng) β=1 時(shí)，由式（9）知 3q^1-2（q-1）? 44，可得 q?2 。

當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?176 ， 3?n? 176，由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+ 1））φ（n）=4S（2¹¹）=4×14=56 經(jīng)計(jì)算可得 ，（2，8），（6，5），（13，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=3 時(shí)，由式（7）有 1?k?264 ， 3?n? 264，由式（5）有

1））φ（n）=4S（3¹¹）=4×27=108 計(jì)算可得 ，（4，7），（4，9），（13，4），（26，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知， （k，n）=（26，3） 是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=5 時(shí)，由式（7）有 1?k?440 ， 3?n? 440，由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+ 1））φ（n）=4S（5¹¹）=4×50=200 （2號(hào)經(jīng)計(jì)算可得 ，（8，8），（24，5），（49，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知， 是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=7 時(shí)，由式（7）有 1?k?616 ， 3?n? 616，由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+ 1））φ（n）=4S（7¹¹）=4×70=280 （經(jīng)計(jì)算可得 ，（1，29），（23，6），（34，5），（69，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=11 時(shí)，由式（7）有 1?k?968 ， 3? n?968 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（11¹¹）=4×121=484 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（40，6） ，（60，4），（120，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) qgt;11 時(shí)，由式（7）有 1?k?88q ， 3? n?88q ，由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+ 1））φ（n）=4S（q¹¹）=4×11q=44q 即 （2+kφ（qm+1））φ（m）（q-1）=44q 。

因?yàn)?qgt;11 且（q-1）44，所以素?cái)?shù) q=23 。

當(dāng) q=23 時(shí)，由式（7）有

1?k?2024，3?n?2024

由式（5）有

1））φ（n）=4S（23¹¹）=4×253=1012 經(jīng)計(jì)算可得 ，（126，4），（252，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況2當(dāng) β=2 時(shí)，由式（9）知 3（q-1）?88 ，可得 q?29 。

當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?352 ， 3?n? 352，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2²²）=4×24=96 計(jì)算可得 ，（11，5），（23，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=3 時(shí)，由式（7）有 1?k?528 ， 3?n? 528，由式（5）有

1））φ（n）=4S（3²²）=4×48=192 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（23，5） ，（47，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=5 時(shí)，由式（7）有 1?k?880 ， 3?n? 880，由式（5）有

1））φ（n）=4S（5²²）=4×95=380 （202經(jīng)計(jì)算可得 ，（47，4），（94，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=7 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 232 ， 3? n?1 232 ，由式（5）有

（20 1））φ（n）=4S（7²²）=4×140=560 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（1，41） ，（23，8），（69，5），（139，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q= 11 時(shí)，由式（7）有

1?k?1936，3?n?1936 由式（5）有

計(jì)算可得 ，（1，49），（5，23），（19，14），（38，7），（38，9），（115，4），（230，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q= 13 時(shí)，由式（7）有

1?k?2288，3?n?2288 由式（5）有

1））φ（n）=4S（13²²）=4×273=1092 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（10，18） ，（45，7），（45，9），（136，4），（272，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q= 17 時(shí)，由式（7）有

1?k?2992，3?n?2992

由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+1） 1））φ（n）=4S（17²²）=4×357=1428 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（59，7） ，（59，9），（178，4），（356，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q= 19 時(shí)，由式（7）有

1?k?3344，3?n?3344

由式（5）有

1））φ（n）=4S（19²²）=4×399=1596 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（33，14） ，（66，7），（66，9），（199，4），（398，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) qgt;22 時(shí)，由式（7）有

1?k?176q，3?n?176q

由式（5）有

1））φ（n）=4S（q²²）=4×22q=88q 即 （2+kφ（q²m+1））φ（m）（q-1）=88 。因?yàn)?2

當(dāng) q=23 時(shí)，由式（7）有

1?k?4048，3?n?4048

由式（5）有

kφ（n）φ（n+1）+2φ（n）=（2+kφ（n+ 1））φ（n）=4S（23²²）=4×506=2 024 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（42，12） ，（84，8），（252，5），（505，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況3當(dāng) β=3 時(shí)，由式（9）知 3q（q-1）?132 ，可得 q=2，3，5，7 。

當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?528 ， 3?n? 528，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2³³）=4×36=144 （204號(hào)經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（1，16） ，（1，21），（2，15），（17，5），（35，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=3 時(shí)，由式（7）有 1?k?792 ， 3?n? 792，由式（5）有

（204號(hào) 1））φ（n）=4S（3³³）=4×72=288 經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（7，10） ，（35，5），（71，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=5 時(shí)，由式（7）有

1?k?1320，3?n?1320

由式（5）有

經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（1，31） ，（11，14），（13，11），（22，7），（22，9），（67，4），（134，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q=7 時(shí)，由式（7）有 1?k?1848， 3 3? n?1848 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（7³³）=4×203=812 經(jīng)計(jì)算可得 ，（202，3）。將（k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況4當(dāng) β=4 時(shí)，由式（9）知 3q²（q-1）?176 ，可得 q=2，3 。

當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?704 ， 3?n? 704，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁴⁴）=4×48=192 （204號(hào)經(jīng)計(jì)算可得 ，（47，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

當(dāng) q= 3 時(shí)，由式（7）有 1?k?1056 ， 3? n?1056 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（3⁴⁴）=4×90=360 （2

經(jīng)計(jì)算可得 ，（1，33），（44，5），

（89，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢

驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況5當(dāng) β=5 時(shí)，由式（9）知 3q³（q-1）?220 ，

可得 q=2，3 。當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?880 ， 3?n?

880，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁵⁵）=4×60=240 （2號(hào)經(jīng)計(jì)算可得 Ξ（k，n）Ξ=Ξ（1，22） ，（1，26），（3，13），（29，5），（59，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程

（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。當(dāng) q= 3 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 320 ， 3?

n?1 320 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（3⁵⁵）=4×114=456 （20

經(jīng)計(jì)算可得 ，（2，26），（6，13），

（56，5），（113，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程

（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況6當(dāng) β=6 時(shí)，由式（9）知 3q⁴（q-1）?264 ，

可得 q=2 。當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 056 ， 3?

n?1056 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁶⁶）=4×68=272 （20

經(jīng)計(jì)算可得 ，（4，15），（11，8），

（33，5），（67，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程

（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況7當(dāng) β=7 時(shí)，由式（9）知 3q⁵（q-1）?308 ，

可得 q=2 。當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 232， 3?

n?1 232 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁷⁷）=4×80=320

經(jīng)計(jì)算可得 ，（13，8），（39，5），

（79，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢

驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況8當(dāng) β=8 時(shí)，由式（9）知 3q⁶（q-1）?352

可得 q=2 。當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 408， 3?

n?1408 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁸⁸）=4×92=368 經(jīng)計(jì)算可得 ，（15，8），（45，5），（91，3）。將 （k，n） 的值分別代入方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

情況9當(dāng) β=9 時(shí)，由式（9）知 3q⁷（q-1）?396 可得 q=2 。

當(dāng) q=2 時(shí)，由式（7）有 1?k?1 584， 3 3? n?1584 ，由式（5）有

1））φ（n）=4S（2⁹⁹）=4×104=416 （204號(hào)經(jīng)計(jì)算可得 （k，n）=（1，34） ，（4，17），（17，8），（51，5），（103，3）。將 （k，n） 的值分別代人方程（1）進(jìn)行檢驗(yàn)可知，均不是方程（1）的正整數(shù)解。

綜上所述，數(shù)論函數(shù)方程 kφ₂（n（n+1））+ （204φ（n）=2S（SL（n¹¹））. ）的正整數(shù)解為 Ψ（k，n）Ψ=Ψ（1 1），（27，2），（26，3），（24，5）。定理證明完畢。

3結(jié)論

本文主要利用數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)和初等的方法求得數(shù)論函數(shù)方程 2S（SL（n¹¹） ）的所有正整數(shù)解，對(duì)于形如方程 ），其中 l∈ Z⁺ ，均可使用上述類(lèi)似方法求解。

參考文獻(xiàn)：

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[8］袁合才，王曉峰.關(guān)于SmarandacheLCM函數(shù)的數(shù)論函

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[15]姜蓮霞，楊振志.數(shù)論函數(shù)方程 kφ（n）=7φ₂（n）+ S（n¹³） 的正整數(shù)解[J].喀什大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，44（3）：18-21.

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[22]馬慧宇.關(guān)于兩類(lèi)丟番圖方程問(wèn)題的探討[D].貴陽(yáng)：貴州師范大學(xué)，2019：18-20.

[23]高麗，趙祈芬.一類(lèi)包含偽Smarandache函數(shù)與歐拉函數(shù)的方程[J].河南科學(xué)，2017，35（2）：180-183.

（責(zé)任編輯：曾 晶）

The Solvability of Arithmetic Function Eqution （2號(hào)

GAO Li *1.，2

（1.College of Information Engineering，Xi’anFanyi University，Xi’an71O1O5，China; 2.Collegeof Mathematicsand Computer Science，Yan’an University，Yan’an716OoO，China）

Abstract： By using the properties of Euler function φ（n） ，generalized Euler function φ₂（n） ，Smarandache function S（n） ，Smarandache LCM function SL（n） and elementary methods，the solvability of the composite function equation of Smarandache function S（n） and Smarandache LCM function SL（n） is studied. The positive integer solution of the equation is ，（27，2）， （26，3），（24，5）.It is helpful to solve the same type of number theoretic function equations.

Keywords： Euler function φ（n） ；generalized Euler function φ₂（n） ；Smarandache function S（n） ； Smarandache LCM function SL（n） ；solvability of equation