第11章 反比例函數(shù)

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反比例函數(shù)是繼一次函數(shù)后我們學習的又一種新的函數(shù)，也是刻畫實際問題中數(shù)量關系的一種重要模型。它與我們已經(jīng)學過的平面直角坐標系、一次函數(shù)、方程、不等式、分式等都有著密切的聯(lián)系。

抽象概括形成核心概念

本章內(nèi)容從大家熟悉的一個生活實例開始：南京與上海相距約300km 。一輛汽車從南京出發(fā)，以速度 v（km/h） 開往上海，全程所用時間為 t（h） 。在這個問題中，我們可以發(fā)現(xiàn)，南京與上海的路程s是常量，等于300km ；汽車行駛的速度 v 和時間 Φ_t 都是變量，它們之間的數(shù)量關系是 vt= 300。在這個過程中，時間 Ξ_t 隨著速度v 的變化而變化，隨著速度 v 的確定而確定唯一，因此， χ_t 是 v 的函數(shù)。由于 v 與 t 的積是定值，所以 σ_v 和 t 是反比例關系。

根據(jù)等式的性質，我們可以得到函數(shù)表示式為 同時，教材還舉出了一些這類函數(shù)的模型，如 y= 等。類比一次函數(shù)的定義，得到反比例函數(shù)的定義：一般地，形如 為常數(shù)， k≠0 ））的函數(shù)叫作反比例函數(shù)，其中 x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)

回顧對該概念的學習，我們首先是認識生活中成反比例關系的兩個變量之間的函數(shù)關系，接著歸納出諸多類似的反比例關系的共同屬性，最后抽象形成概念并將之符號化。這也是我們學習函數(shù)的一般化的過程。

類比學習明確研究思路

通過一次函數(shù)的學習，我們可歸納出圖1所示的研究函數(shù)的一般路徑：從生活實際問題出發(fā) $$ 歸納出函數(shù)的概念 $$ 畫圖象 $$ 找性質 $$ 運用函數(shù)的圖象和性質去解決問題。蘇科版數(shù)學教材在研究一次函數(shù)的圖象和性質時，遵循從特殊到一般的研究順序，通過研究一次函數(shù) y=2x+1 和 y=-x+2 的圖象歸納得出一般性的 y=kx+b（k，b 為常數(shù)，且k≠0 的圖象特征，再讓我們運用數(shù)形結合的思想觀察和思考圖象的性質。

對于反比例函數(shù)的研究，與一次函數(shù)的研究類似，教材以特殊的反比例函數(shù) 為例進行探究，經(jīng)歷了列表、描點、連線的探究過程我們通過觀察、比較、類比和分析，可以得到反比例函數(shù) 為常數(shù)，k≠0 的性質，從而掌握從特殊到一般的數(shù)學思想方法，并將其應用于函數(shù)圖象的研究，通過“由數(shù)想形”和\"由形助數(shù)\"感悟數(shù)形結合思想在研究函數(shù)圖象和性質中的重要作用。

整體思考構建知識體系

初中階段，我們除了學習一次函數(shù)和反比例函數(shù)，九年級還會學習二次函數(shù)，它們都屬于函數(shù)這一主題的內(nèi)容，研究路徑和思想方法具有內(nèi)在的一致性。今后，同學們碰到新的函數(shù)，都可以根據(jù)研究函數(shù)的一般思路和方法進行類比研究。只有從整體把握反比例函數(shù)的內(nèi)容，才能縱向找到同一主題的相通路徑，橫向找到不同主題的內(nèi)在關聯(lián)，縱橫貫通形成知識網(wǎng)絡。我們可以通過類比一次函數(shù)建立圖2所示的反比例函數(shù)的知識結構體系。

同學們在研究函數(shù)時，要抓住本質，學會類比分析，感悟從特殊到一般的思想，理清數(shù)學對象的研究方法，形成數(shù)學對象的整體結構，完善自身的認知結構，這將對后續(xù)的學習大有裨益。

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