第11章 反比例函數(shù)
領(lǐng)銜 人:組稿團(tuán)隊:
反比例函數(shù)是繼一次函數(shù)后我們學(xué)習(xí)的又一種新的函數(shù),也是刻畫實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的一種重要模型。它與我們已經(jīng)學(xué)過的平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、方程、不等式、分式等都有著密切的聯(lián)系。
抽象概括形成核心概念
本章內(nèi)容從大家熟悉的一個生活實(shí)例開始:南京與上海相距約300km 。一輛汽車從南京出發(fā),以速度 v(km/h) 開往上海,全程所用時間為 t(h) 。在這個問題中,我們可以發(fā)現(xiàn),南京與上海的路程s是常量,等于300km ;汽車行駛的速度 v 和時間 Φt 都是變量,它們之間的數(shù)量關(guān)系是 vt= 300。在這個過程中,時間 Ξt 隨著速度v 的變化而變化,隨著速度 v 的確定而確定唯一,因此, χt 是 v 的函數(shù)。由于 v 與 t 的積是定值,所以 σv 和 t 是反比例關(guān)系。
根據(jù)等式的性質(zhì),我們可以得到函數(shù)表示式為 同時,教材還舉出了一些這類函數(shù)的模型,如 y=
等。類比一次函數(shù)的定義,得到反比例函數(shù)的定義:一般地,形如
為常數(shù), k≠0 ))的函數(shù)叫作反比例函數(shù),其中 x 是自變量, y 是 x 的函數(shù)
回顧對該概念的學(xué)習(xí),我們首先是認(rèn)識生活中成反比例關(guān)系的兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系,接著歸納出諸多類似的反比例關(guān)系的共同屬性,最后抽象形成概念并將之符號化。這也是我們學(xué)習(xí)函數(shù)的一般化的過程。
類比學(xué)習(xí)明確研究思路
通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí),我們可歸納出圖1所示的研究函數(shù)的一般路徑:從生活實(shí)際問題出發(fā) $$ 歸納出函數(shù)的概念 $$ 畫圖象 $$ 找性質(zhì) $$ 運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決問題。蘇科版數(shù)學(xué)教材在研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時,遵循從特殊到一般的研究順序,通過研究一次函數(shù) y=2x+1 和 y=-x+2 的圖象歸納得出一般性的 y=kx+b(k,b 為常數(shù),且k≠0 的圖象特征,再讓我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想觀察和思考圖象的性質(zhì)。
對于反比例函數(shù)的研究,與一次函數(shù)的研究類似,教材以特殊的反比例函數(shù) 為例進(jìn)行探究,經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線的探究過程我們通過觀察、比較、類比和分析,可以得到反比例函數(shù)
為常數(shù),k≠0 的性質(zhì),從而掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,并將其應(yīng)用于函數(shù)圖象的研究,通過“由數(shù)想形”和\"由形助數(shù)\"感悟數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)圖象和性質(zhì)中的重要作用。
整體思考構(gòu)建知識體系
初中階段,我們除了學(xué)習(xí)一次函數(shù)和反比例函數(shù),九年級還會學(xué)習(xí)二次函數(shù),它們都屬于函數(shù)這一主題的內(nèi)容,研究路徑和思想方法具有內(nèi)在的一致性。今后,同學(xué)們碰到新的函數(shù),都可以根據(jù)研究函數(shù)的一般思路和方法進(jìn)行類比研究。只有從整體把握反比例函數(shù)的內(nèi)容,才能縱向找到同一主題的相通路徑,橫向找到不同主題的內(nèi)在關(guān)聯(lián),縱橫貫通形成知識網(wǎng)絡(luò)。我們可以通過類比一次函數(shù)建立圖2所示的反比例函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)體系。
同學(xué)們在研究函數(shù)時,要抓住本質(zhì),學(xué)會類比分析,感悟從特殊到一般的思想,理清數(shù)學(xué)對象的研究方法,形成數(shù)學(xué)對象的整體結(jié)構(gòu),完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這將對后續(xù)的學(xué)習(xí)大有裨益。
(作者單位:)