我們都知道，天平是一種等臂杠桿。根據(jù)“動(dòng)力 × 動(dòng)力臂 阻力 × 阻力臂”，以及“動(dòng)力臂=阻力臂\"可知，當(dāng)天平平衡時(shí)，m物=m砝+m游o

我們來看一道有趣的數(shù)學(xué)題：有一架天平不精確，天平的兩臂長(zhǎng)略有不同。我們把一個(gè)物體放在該天平的一個(gè)托盤里，在另一個(gè)托盤里放砝碼，使天平平衡，稱得物體質(zhì)量為 a ;再作第二次測(cè)量，把物體換到天平的另一個(gè)托盤里，此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b。兩次測(cè)量均未移動(dòng)游碼。試用含 a，b 的代數(shù)式表示該物體的真實(shí)質(zhì)量，并說明理由。

你的直覺是不是這樣：該物體的真實(shí)質(zhì)量是a+b 下面我們來做驗(yàn)證。

設(shè)天平的兩臂長(zhǎng)分別為 L₁，L₂ ，物體實(shí)際質(zhì)量為 m 。經(jīng)過兩次測(cè)量，我們可以得到 L₁m=L₂a，L₂m=L₁b 。將兩式左右兩邊分別相乘，得 L₁L₂mm=L₁L₂ab 化簡(jiǎn)，得 m²=ab 。所以 。由此可知，該物體的實(shí)際質(zhì)量是 ，而不是a+b

通過查閱資料，我們還能得到一個(gè)結(jié)論：當(dāng) a，b 為正數(shù)時(shí)， O其中，當(dāng)a=b時(shí)，a+b Vab;當(dāng)a≠b時(shí)，a+b 。對(duì)于這個(gè)不等式，我們可以從數(shù)與形兩個(gè)角度說明。

從代數(shù)的角度思考

對(duì)于正數(shù) ω_a，b ，因?yàn)? 所以 。所以 ，所以 Vab。當(dāng)a=b時(shí)，a+b= ；當(dāng) a≠b 時(shí)， 。

從圖形的角度思考

當(dāng) a≠b 時(shí)，如圖1所示，用陰影標(biāo)出面積為 的圖形，則 ；如圖2所示，用陰影標(biāo)出面積為 ab 的圖形。因?yàn)閳D1陰影面積大于圖2陰影面積，所以 。開平方，得 。當(dāng) a=b 時(shí)，如圖3所示 。開平方，得 。綜上討論，當(dāng) a，b 為正數(shù)時(shí)， 。

同學(xué)們，請(qǐng)你挑戰(zhàn)下面的問題

若兩個(gè)正數(shù) a，b 的算術(shù)平均數(shù)為 幾何平均數(shù)為 ，平方平均數(shù)為 你會(huì)巧妙地用畫圖方法證明 N?m?P 嗎？

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）