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        數(shù)形共證不等式

        2025-07-11 00:00:00萬廣磊
        初中生世界·八年級 2025年8期
        關(guān)鍵詞:臂長正數(shù)平均數(shù)

        我們都知道,天平是一種等臂杠桿。根據(jù)“動力 × 動力臂 阻力 × 阻力臂”,以及“動力臂=阻力臂\"可知,當(dāng)天平平衡時,m物=m砝+m游o

        我們來看一道有趣的數(shù)學(xué)題:有一架天平不精確,天平的兩臂長略有不同。我們把一個物體放在該天平的一個托盤里,在另一個托盤里放砝碼,使天平平衡,稱得物體質(zhì)量為 a ;再作第二次測量,把物體換到天平的另一個托盤里,此時稱得物體的質(zhì)量為b。兩次測量均未移動游碼。試用含 a,b 的代數(shù)式表示該物體的真實質(zhì)量,并說明理由。

        你的直覺是不是這樣:該物體的真實質(zhì)量是a+b 下面我們來做驗證。

        設(shè)天平的兩臂長分別為 L1,L2 ,物體實際質(zhì)量為 m 。經(jīng)過兩次測量,我們可以得到 L1m=L2a,L2m=L1b 。將兩式左右兩邊分別相乘,得 L1L2mm=L1L2ab 化簡,得 m2=ab 。所以 。由此可知,該物體的實際質(zhì)量是 ,而不是a+b

        通過查閱資料,我們還能得到一個結(jié)論:當(dāng) a,b 為正數(shù)時, O其中,當(dāng)a=b時,a+b Vab;當(dāng)a≠b時,a+b 。對于這個不等式,我們可以從數(shù)與形兩個角度說明。

        從代數(shù)的角度思考

        對于正數(shù) ωa,b ,因為 所以 。所以 ,所以 Vab。當(dāng)a=b時,a+b= ;當(dāng) a≠b 時,

        從圖形的角度思考

        當(dāng) a≠b 時,如圖1所示,用陰影標(biāo)出面積為 的圖形,則 ;如圖2所示,用陰影標(biāo)出面積為 ab 的圖形。因為圖1陰影面積大于圖2陰影面積,所以 。開平方,得 。當(dāng) a=b 時,如圖3所示 。開平方,得 。綜上討論,當(dāng) a,b 為正數(shù)時, 。

        圖1
        圖2

        同學(xué)們,請你挑戰(zhàn)下面的問題

        若兩個正數(shù) a,b 的算術(shù)平均數(shù)為 幾何平均數(shù)為 ,平方平均數(shù)為 你會巧妙地用畫圖方法證明 N?m?P 嗎?

        (作者單位:江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué))

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