第12章 二次根式

領(lǐng)銜人：石建華（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省泰州市石建華初中數(shù)學(xué)名師工作室

二次根式是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”板塊的關(guān)鍵內(nèi)容，是對實數(shù)、平方根等知識的進一步拓展，為后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容奠定堅實的理論基礎(chǔ)，做好充足的技能準(zhǔn)備。

我們以舊知為起點，借助知識間的內(nèi)在聯(lián)系，分別從核心概念、基本性質(zhì)、運算法則、實際應(yīng)用這四個方面全方位解讀“二次根式\"的學(xué)習(xí)內(nèi)容，助力同學(xué)們順利接受新知，逐步搭建學(xué)習(xí)框架。（如圖1）

舊知回顧

二次根式、整式、分式都屬于代數(shù)式，它們都是由數(shù)和表示數(shù)的字母組成的經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運算所得到的式子，是代數(shù)式的不同表現(xiàn)形式。

在深人學(xué)習(xí)二次根式之前，我們先回顧與之緊密相關(guān)的算術(shù)平方根的定義。“如果 x²=a（a?0） ，那么 x 叫作 a 的平方根，正數(shù) a 的正的平方根記作 ，負(fù)的平方根記作 。我們把正數(shù) a 的正的平方根 ，叫作 a 的算術(shù)平方根”，特別的，“0的平方根也叫作0的算術(shù)平方根，即 。非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根 本身就是一個二次根式，二次根式包含算術(shù)平方根的形式，算術(shù)平方根是二次根式在“求非負(fù)數(shù)的平方根\"這一具體情境下的應(yīng)用。

新知解析

核心概念

二次根式。一般地，式子 0）叫作二次根式， a 叫作被開方數(shù)。

“算術(shù)平方根\"和“二次根式\"存在一定的差異。算術(shù)平方根立足算術(shù)基礎(chǔ)，針對確切的數(shù)值。如 7²=49 ，所以49的算術(shù)平方根是7；二次根式則是代數(shù)領(lǐng)域的重要表達(dá)，在式子 0）中，被開方數(shù) a 從單一數(shù)值拓展到含變量的代數(shù)式，如 等

最簡二次根式。一般地，化簡二次根式就是使二次根式：（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母；（3）分母中不含根號。這樣化簡后得到的二次根式叫作最簡二次根式。

這三個條件不是孤立存在的，而是共同構(gòu)成最簡二次根式的完整定義?；喍胃降倪^程，是對數(shù)學(xué)表達(dá)式進行標(biāo)準(zhǔn)化處理的過程，不僅使表達(dá)式更加簡潔美觀，更重要的是為后續(xù)的運算、比較等提供統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和便利。

同類二次根式。經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式。

“同類項\"和“同類二次根式\"之間有相似的形式聯(lián)系。同類項要求所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同，如 3x²y 與 -5x²y ;同類二次根式則要求化簡后被開方數(shù)完全相同，如 與 。它們都強調(diào)\"主體部分\"必須完全一致，即同類項關(guān)注變量部分，而同類二次根式關(guān)注被開方數(shù)部分，

基本性質(zhì)

二次根式 是非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根，它的存在依賴于“ Γ_a?0?Γ 這一前提條件，因此 具備“雙重非負(fù)性”：一方面，被開方數(shù) a 本身必須是非負(fù)數(shù)，即 a?0 ;另一方面，在滿足被開方數(shù) a 非負(fù)的情況下，二次根式 的值也是非負(fù)的，即

根據(jù)算術(shù)平方根定義， 是 a 的算術(shù)平方根，可得出 0）。通過計算 與 與 ，能得到 這一結(jié)論。對 a 的正負(fù)性進行探究，便可得出當(dāng)且僅當(dāng) a?0 時， 。這一探究運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想。

運算法則

1.二次根式的乘除

學(xué)習(xí)有理數(shù)加法運算律、乘法運算律、除法法則等內(nèi)容時，先進行特殊的、具體的數(shù)的運算，然后觀察、猜想、歸納得出一般適用的結(jié)論，再借助已學(xué)知識進行嚴(yán)格的證明。二次根式的乘法運算法則、除法運算法則的探究遵循了這種方法。

計算： 與 與 ，觀察、歸納、猜想，得出 O一般地，當(dāng) a≥0，b≥0 時， 。由此可見， 與 都是 ab 的算術(shù)平方根，從而 。

計算： 和 和 觀察、歸納、猜想，得出 。仿照前面的方法，不難證明此結(jié)論

2.二次根式的加減

學(xué)習(xí)整式加減時，“同類項\"才能合并，類比之下，什么樣的二次根式才能合并呢？只有同類二次根式！即“經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式”?！敖?jīng)過化簡”，既是同類二次根式判斷的過程需要，也是同類二次根式合并時的需要。如，計算 化簡后可知，四個二次根式是同類二次根式，像合并同類項一樣，系數(shù)相加減作為結(jié)果的系數(shù)，二次根號及被開方數(shù)不變，則原式 （ 1 - 6 + 5 + 1/"5"根號下 5 "=根號下 5/"5 "。

實際應(yīng)用

1.在幾何問題中的應(yīng)用

在直角三角形中，當(dāng)直角邊為 和 時，求這個直角三角形的面積。這類問題直接將有理數(shù)的運算拓展為含二次根式的實數(shù)運算。

2.在代數(shù)運算中的應(yīng)用

利用二次根式所具有的“雙重非負(fù)性\"解決問題：

（1） ① 若 有意義，求 x 的 取值范圍； ，求 x-y 的值。

（2）若 ，求x-y 的值。

3.在實際問題中的應(yīng)用

兩個圓的圓心相同，半徑分別為R 和 r ，面積分別為 18cm² ， 8cm² 。求圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）。

兩個半徑分別表示為 求解時需要對同類二次根式進行合并。

總之，學(xué)習(xí)二次根式，同學(xué)們需要以構(gòu)建基本概念為起點，以根式運算為核心，以代數(shù)運算的基本思想方法為紐帶，體會數(shù)學(xué)中數(shù)與式的辯證統(tǒng)一關(guān)系，同時提高自主學(xué)習(xí)的能力，為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔡官學(xué)校）