中考不僅是高中選拔人才的主要途徑，還為解題教學提供了方向指引.初中數學教師研究本省數學中考試題，尤其是壓軸題，具有重要的教學意義.

幾何直觀素養(yǎng)作為數學核心素養(yǎng)的重要組成部分，其培養(yǎng)需經歷一個長期過程，無法一蹴而就.在幾何題解答過程中，引導學生進行一題多解訓練，對發(fā)展學生的幾何直觀素養(yǎng)和創(chuàng)新意識大有神益.本文深人剖析2024年福建省中考數學第25題的內在條件，結合相關數學模型探究解法，旨在為數學教師的解題教學提供參考，助力學生發(fā)展幾何直觀素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)及分析

如圖1，在 Δ A B C 中， ∠ B A C = c A B = A C ，以 A B 為直徑的 ? o 交 B C 于點 D ， A E ⊥ O C ，垂足為 E B E 的延長線交 于點 F

（1）求 的值；

（2）求證： Δ A E B Δ B E C （3）求證： A D 與 E F 互相平分.

本題的知識主題、考查的核心素養(yǎng)、問題情境，如表1所示.

本題以圓為背景，命題風格簡潔，巧妙避開常規(guī)套路和技巧，遵循了命題的公平性、創(chuàng)新性原則，是一道梯度合適、綜合性強的試題.試題通過合理設問為學生搭建解決問題的“腳手架”，引導學生的思維自然地從低階向高階發(fā)展，體現(xiàn)了“素養(yǎng)導向、知識為基、能力為重”的評價理念.試題聚焦圓的基本性質、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、全等三角形、三角函數、平行四邊形等核心知識，以及轉化思想、數形結合思想等重要思想方法，考查了幾何直觀、推理能力、運算能力等核心素養(yǎng).其設計尊重學生個體差異，三個問題自然銜接、相互關聯(lián)、層層遞進，能有效區(qū)分不同層次學生的學習水平.試題各考查知識深度交融，既實現(xiàn)了角與邊的內在關聯(lián)轉化，又滲透了運用代數方法解決幾何問題的思維方式.

二、試題解法探究

第（1）問注重基礎.解題需運用幾何直觀，從圖1中抽象出基本圖形（如圖2），分析 O E ， A E 與其他線段的位置關系和數量關系，建立條件與條件、條件與結論之間的聯(lián)系.大部分學生能通過圖2中幾何圖形的基本特征，求出 或 該問較為簡單，以下側重分析第（2）和（3）問.

第（2）問證明 Δ A E B ～ Δ B E C 的關鍵在于知識關聯(lián)和思維接軌.學生需要發(fā)現(xiàn)角與角、邊與邊、三角形與三角形之間隱藏的內在關系，運用相似三角形的性質和判定來證明三角形相似并解決相關問題，這充分考查了學生對邊角關系的理解和把握能力．

第（3）問注重能力提升，通過探究本質，促進學生深度理解.

（一）第（2）問的解法

1.執(zhí)果索因（分析法）

（1）三邊對應成比例，兩個三角形相似

由題可知， B E 是 Δ A E B 與 Δ B E C 的公共邊， ，只要找到 B E 與 A E 的數量關系，即可解決問題.

設 O E = x ，則 A E = 2 x ， C E = 4 x 根據勾股定 理，可得 接下來對求 B E 的方法進行分類討論.

解法1（利用母子型相似）： 又： ? ∠ B O E = ∠ C O B ， ∴ Δ B O E ～ 求得

解法2（利用勾股定理）：如圖3，過點 E 作 E H ⊥ A B ，垂足為 H ，則E H = 2 O H . 在 R tΔ E O H 中， O E = x ， ， 在 R tΔ B E H 中，： ，

《課標》指出，“圖形與坐標\"強調數形結合，用代數方法研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問題.基于此，可通過建立平面直角坐標系（如圖4或圖5）解題.

解法3（建立平面直角坐標系）：如圖4，以 A 為原點， A B 邊所在直線為 x 軸， A C 邊所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標系.設 A （ 0 ， 0 ） ， B （ 2 a ， 0 ） C （ 0 ， 2 a ） ， O （ a ， 0 ） ， D （ a ， a ） ，則 ：直線 C O 的方程為 ，直線 A E 的方程為 ，聯(lián)立兩直線方程，求出點 E 的坐標為 利用兩點間距離公式，求得AE=2√5 = 最后求出三邊的比值，證明三邊對應成比例即可.

（2）兩角對應相等，兩個三角形相似

結合題干，若要證 Δ A E B ～ Δ B E C ，只需證 ∠ B A E = ∠ C B E ， ∠ B C E = ∠ A B E .

在 Δ A B C 中， ，又由（1）可知 ∠ B A E = ∠ A C E ，： ∠ B C E + 若要 ∠ B A E = ∠ C B E ， ∠ B C E = ∠ A B E ，只要 ，即 又： A E ⊥ O C 故證明 即可.

基于證 角構造直角三角形的經驗，有以下幾種解法：

解法4：如圖6，過點 B 作 B G ⊥ C E ，交 C E 延長線于點 G ， ∴ ∠ B G O = ： A O = B O ， ∠ B O G ， ∴ Δ A E O ? Δ B G O ，得 A E = B G ， O E = O G . 由（1）知 A E = 2 O E ，： . B G = 2 O E = E G ，得 ∠ G E B = ∠ G B E = ，即 ：

解法5：如圖7，延長 A E ，與圓交于點 M ，連接 B M . ∵ A B 是直徑，· ，得 ∠ A M B = ∠ A E O ，故 E O / / B M ， ，即

A E = E M ， E 為 A M 的中點， ∴ E O 是 Δ A B M 的中位線，得 B M = 2 O E 又： A E = 2 O E ，： . E M = 2 O E ，即

解法6：如圖8，過點 o 作 O N ⊥ B E 于點 （直徑所對圓周角）， ，： ， ，得 ∠ N E O = ∠ E A F ，故Δ E O N Δ A E F ，結合 A E = 2 O E 易得 E F = 2 O N . 要證 ，只需證 ，即 ，故 N O / / A F ，： 即 A F = 2 O N ）

2.執(zhí)因索果（挖掘圖形結構）

解法7（一線三直角）：如圖8，依據圖形直觀感知，可聯(lián)想到“一線三直角”模型，具體解答過程同解法6.

解法8（倍長中線）：如圖 是 的中點，延長 至點 ，使得O G = O E ，由此可證 Δ A E O ? Δ B G O ，得到 ，具體解答過程與解法4相似.

解法9（共頂點旋轉）：將Δ E A B 繞點 A 逆時針旋轉 得Δ A C G ，連接 G F ，如圖10所示.本解法相對復雜，這里僅提供輔助線（提示：需證 G， F， E 三點共線）

（二）第（3）問的解法

1.圖形語言、符號語言和文字語言相互轉化

設 E F ， A D 相交于點 P ，如圖11所示.將文字語言“求證： A D 與 E F 互相平分\"轉化為符號語言‘ 又或者證明 A D 與E F 的中點是同一點.

證法1（純計算）：設 O E = x ，則 A E = 2 x ， A F = （可見解法6），由勾股定理得 ， 在 R tΔ B D P 中， ，可得BD=2DP，即DP=√10 在Rt△AFP中，易得FP=√2 ： A D = 2 A P E F = 2FP.

證法2（三角函數）：通過對題目的分析可知，只需證明 B D = 2 P D ， A F = 2 F P ，而 B D 與 P D 在R tΔ B D P 中， A F 和 F P 在 R tΔ A F P 中，因此只需從三角函數入手求解.由（2）可知 ∠ P B D = ∠ B A E ，又由 （可見解法6）， ∴ ∠ F A P = ∠ B A E ，即tan

證法3（建系）：如圖4，由第（2）問的解法3可知A （ 0 ， 0 ） ， B （ 2 a ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 a ） ， O （ a ， 0 ） ， D （ a ， a ） ，即 A D 的中點坐標為 ：直線 C O 的方程為 - 2 x + 2 a ，直線 A E 的方程為 ，聯(lián)立兩直線方程，求得點 E 的坐標為 ：直線 的方程為 ，直線 A D 的方程為 ，聯(lián)立兩直線方程，求得交點 P 的坐標為 ：直線 A F 的方程為 ，直線 的方程為 ，聯(lián)立兩直線方程，求得點 F 的坐標為 由此可以求出 E F 的中點坐標為 可知交點 P 分別為 E F 和 A D 的中點.

《課標》指出，要引導學生經歷針對圖形性質、關系、變化確立幾何命題的過程，體會數學命題中條件和結論的表述，感悟數學表達的準確性和嚴謹性，會借助圖形分析問題，形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念.幾何證明的難點在于需結合圖形，將條件和結論中的孤立知識點串聯(lián)起來，形成準確、嚴謹的數學表達.而整合文字語言、符號語言和圖形語言的過程正是思維聯(lián)系和發(fā)展的過程.

2.挖掘題目內涵，構造平行四邊形

由“求證： A D 與 E F 互相平分”可聯(lián)想到平行四邊形對角線互相平分的性質.因此，連接 D F 和 D E （如圖12），只需證明四邊形AFDE是平行四邊形.由“同弧所對圓周角相等”可知， ，又由第（2）問的解法6可知 ，即 ∠ B F D = ∠ A E F ，得 A E / / F D

證法4：只需證 A F / / D E . 由（2）可知 Δ A E B c o △BE Δ B E D ，： ? ∠ A F B = ∠ D E F ，即 A F / / D E 業(yè)

證法5：如圖13，以 D 為圓心， B D 為半徑作圓，易知其為Δ A B C 的外接圓，延長 ，與? D 交于點 Q ，連接 c Q ，則 ∠ B Q C = ，： ∠ B Q C = ∠ A F E ，得 C Q / / A F . 又：t ：BQ=

2CQ.又： ， . C Q = Q E ，得 E 為 B Q 的中點，： E D 為 Δ B Q C 的中位線，即 C Q / / D E ， D E / / A F 得證.

證法6：只需證 A E = D F . 如圖12，設 O E = x ，則A E = 2 x 為求 D F 的長度，考慮構造 D F 所在的直角三角形.結合圖形，可直觀感知 Δ D E F 是直角等腰三角形，因此目標鎖定于證明‘ .由 可知， O C ⊥ D F 于點 s . 根據垂徑定理， s 為 D F 的中點，即 o c 垂直平分 D F D E = E F ，由此可證

證法7：只需證 A E = D F . 設 O E = x ，則 A E = 2 x 元為求 F D 的長度，考慮通過三角形相似得到邊的數量關系.如圖12，易證 Δ D F A ～ Δ B E A 由第（1）問的解法1可知 ，故D F = 2 x

在思考與解決問題的過程中，學生需經歷觀察、推理、計算、證明等基本數學活動過程，以厘清幾何圖形的內在邏輯關系，并運用數學思想方法解決問題.這一過程對學生幾何直觀素養(yǎng)、推理能力、抽象能力和運算能力等核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要意義.

三、教學思考

（一）感知圖形結構，探尋多元解法

幾何題解題應從審圖人手，邊推敲題自邊標注圖形中的量，進行條件的組合聯(lián)想，從復雜圖形中抽象出基本圖形，并思考由此聯(lián)想到的內容.幾何直觀的基石是基本圖形，探究其蘊含的線段、角度關系以及圖形間的關聯(lián)，可挖掘出題目的隱含信息.這一過程需在日常訓練中強化，如多觀察近幾年各地中考幾何壓軸題的圖形，多進行聯(lián)想，并多思考如何借助尺規(guī)作圖逐步還原圖形.本題中，第（1）問的解法以及第（2）問的解法7至解法9均借助直觀想象與題目條件的關聯(lián)，從題圖中抽象出基本圖形.第（2）問通過分析法所得的構造輔助線方法（如一線三直角、倍長中線等），令人有種“撥云見日”之感.第（2）、（3）問均可根據垂直條件聯(lián)想到建系法，以數解形.正如笛卡兒所言“一切數學問題都可以轉化為代數問題”，第（3）問將圖形語言、符號語言和文字語言進行相互轉化，并結合圖形，能產生多種解題視角.

在日常教學中，教師應深入挖掘幾何題背后的原理、方法和思想，引導學生探尋多角度的解題思路.在實現(xiàn)一題多解的同時，還需總結一般化方法，以達到“會一題，通一類\"的效果，進而提高備考效率.

（二）多方面發(fā)力，發(fā)展核心素養(yǎng)

《課標》在解析幾何直觀素養(yǎng)的內涵時指出，建立形與數的聯(lián)系，構建數學問題的直觀模型.在本題中，多樣的輔助線添加都源于幾何直觀和空間觀念.基于本題所體現(xiàn)的幾何直觀與空間觀念的重要性，在平常教學中，教師應多關注以下幾點：

1.引入實際問題：以解決實際生活中的問題為途徑引入幾何概念，讓學生在解決問題的過程中培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)和推理能力.將現(xiàn)實生活中學生熟悉的資源作為命題素材，既能讓學生產生親切感，又能使其感受數學價值，關注社會以及數學與生活的聯(lián)系，增強數學應用意識，這符合《課標》倡導的學習方式.

2.利用圖形工具：《課標》在內容整合的基礎上強調代數推理和幾何直觀.強化幾何直觀需重視尺規(guī)作圖，以此建立圖形直觀感覺，培養(yǎng)空間想象能力.因此，應培養(yǎng)學生規(guī)范使用尺、圓規(guī)、幾何畫板等工具的習慣，使其通過動手操作探索幾何圖形性質，增強直觀感受.同時，借助數字化幾何軟件，學生能在計算機上繪制和操作幾何圖形，進一步加深對幾何概念的理解，為發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)提供支持.

3.設計探究活動：設計探究活動，讓學生通過觀察、實驗、歸納等方法探索與發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，逐步培養(yǎng)推理能力.

4.邏輯推理訓練：注重邏輯推理訓練，通過證明定理、解決幾何問題等活動，鍛煉學生的邏輯思維和推理能力.信息技術可用于創(chuàng)建互動式邏輯推理練習，讓學生在解題過程中培養(yǎng)邏輯思維，提升推理能力.

5.傳授問題解決策略：教會學生解決問題的策略和方法，借助思維導圖幫助學生形成系統(tǒng)的思維方式.信息技術可提供虛擬實驗室、模擬環(huán)境等，讓學生在模擬環(huán)境中嘗試解決問題，進而更好地掌握問題解決策略.

6.交流與討論：鼓勵學生在小組內交流解題思路與方法，通過討論和辯論深化對幾何概念及推理方法的理解.信息技術可用于創(chuàng)建在線討論區(qū)或論壇，以供學生線上交流討論.

7.反思與總結：每次學習活動結束后，引導學生反思總結，幫助他們把握所學知識的內在聯(lián)系及邏輯關系.信息技術可提供在線反思工具，幫助學生記錄整理學習與思考過程

8.跨學科學習：以數學學科內容為核心，融合其他學科知識、思想、方法的試題，是以核心素養(yǎng)為導向的考試評價的重要探索方向.將幾何知識與物理、美術等其他學科知識相融合，能讓學生在跨學科背景下，更全面地培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)和推理能力.信息技術可用于營造跨學科學習環(huán)境，讓學生在整合多學科知識的平臺上開展學習探索.

綜上，整理解題細節(jié)，回味探尋解法之樂，感慨教師視角決定學生解題視野之寬窄.若能認真研讀課標，從問題解答中探究每種解法的切人角度，優(yōu)化解題思路，并鼓勵學生多角度分析圖形、挖掘本質，長此以往，我們看問題便能達到一定高度，能以更廣闊的視角引導學生運用幾何直觀和邏輯推理分析與解決問題，從而更有效地培養(yǎng)其應用意識和創(chuàng)新意識，提升其幾何直觀、抽象能力、推理能力等核心素養(yǎng).

[參考文獻]

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2」孫軍波，何東濤.數學命題技術研究[M].杭州：浙江教育出版社，2024.

[3]藍文英.分析結構明辨方向拓展思維：一道中考幾何壓軸題的解法探究與教學思考[J].初中數學教與學，2024（9）：34-37.

（責任編輯 黃春香）