摘要 針對(duì)模糊數(shù)排序現(xiàn)有方法中參考集的選取帶有盲目主觀性的問(wèn)題，提出了一種新的基于參考集和評(píng)價(jià)函數(shù)的廣義模糊數(shù)排序方法。首先，該方法借助模糊距離定義參考集，其優(yōu)點(diǎn)是能夠減少因參考集預(yù)先給定或選取而增加的不確定性。其次，利用區(qū)間相似度和廣義模糊數(shù)的質(zhì)心構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)，并給出了新的廣義模糊數(shù)排序方法的框架。此外，通過(guò)實(shí)例將此方法與現(xiàn)有排序方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的有效性和合理性。最后，將該方法應(yīng)用于三支沖突分析中，評(píng)價(jià)不同方法所建立的聯(lián)盟。

關(guān)鍵詞 廣義模糊數(shù)；參考集；評(píng)價(jià)函數(shù)；模糊數(shù)排序；三支沖突分析

中圖分類號(hào)：O159" DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2025-02-012

Generalized fuzzy numbers ranking method based on reference set and its application in three-way conflict analysis

ZHOU Xiaofeng， LI Xiaonan

（School of Mathematics and Statistics， Xidian University， Xi’an 710071， China）

Abstract In view of the blind subjectivity of reference set selection in the existing methods， this paper proposes a new generalized fuzzy number ranking method based on reference set and evaluation function. Firstly， the proposed method defines the reference set with the help of fuzzy distance， which has the advantage of reducing the uncertainty increased by the pre-given and selected reference set. Secondly， the evaluation function is constructed by using the centroid of interval similarity and generalized fuzzy numbers， and the framework of a new generalized fuzzy number ranking method is given. In addition， the effectiveness and rationality of the proposed method are verified by comparing it with the existing ranking methods by an example. Finally， the method is applied to the three-way conflict analysis to evaluate the alliances established by different methods.

Keywords generalized fuzzy numbers; reference set; evaluation function; fuzzy number ranking; three-way conflict analysis

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們常常會(huì)遇到模糊的或不精確的信息。為處理具有不精確信息的實(shí)際問(wèn)題，Zadeh在1965年首次引入模糊集（經(jīng)典集合的推廣）^［1］。作為經(jīng)典實(shí)數(shù)的模糊推廣，模糊數(shù)是描述不精確信息的強(qiáng)有力工具。鑒于此，模糊數(shù)排序在模糊風(fēng)險(xiǎn)分析、近似推理、模式識(shí)別、決策等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用^［2-5］。在過(guò)去幾十年里，國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)深入研究，提出了各種各樣的模糊數(shù)排序方法。盡管如此，迄今為止還沒(méi)有一個(gè)被人們廣泛接受的排序方法。

現(xiàn)有排序方法主要分為3類。第1類是基于去模糊化，即定義模糊數(shù)到實(shí)數(shù)的映射，根據(jù)實(shí)數(shù)的自然序列實(shí)現(xiàn)排序。如Chi等通過(guò)計(jì)算模糊數(shù)的質(zhì)心實(shí)現(xiàn)排序^［6］，Nejad等利用左面積與右面積的差對(duì)模糊數(shù)排序^［7］。該類方法的缺點(diǎn)是在比較分析時(shí)用實(shí)數(shù)替代模糊數(shù)，在計(jì)算過(guò)程中造成信息大量流失，從而增加了所得結(jié)果的不確定性。第2類是基于模糊二元關(guān)系的兩兩比較方法，進(jìn)而得到排序。如Ma等通過(guò)定義模糊數(shù)間的附加優(yōu)先度并利用權(quán)重函數(shù)對(duì)模糊數(shù)排序^［8］，Li等基于區(qū)間概率和區(qū)間測(cè)度實(shí)現(xiàn)排序^［9］，該方法還為每對(duì)模糊數(shù)提供額外度用以評(píng)價(jià)聯(lián)盟。該類方法的缺點(diǎn)是模糊二元關(guān)系的構(gòu)建本身較為復(fù)雜，并且該方法在處理模糊數(shù)時(shí)往往不能滿足傳遞性，使得其應(yīng)用范圍有限。第3類是與預(yù)定義參考集對(duì)比的方法排序。如Jain利用最小集合作為參考集來(lái)比較模糊數(shù)^［10］，Lee-Kwang通過(guò)預(yù)定義參考集并結(jié)合T-模構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)模糊數(shù)排序^［11］。該類方法很好地避免了上述兩種方法的不足。

考慮到去模糊化、兩兩比較的排序方法在實(shí)際應(yīng)用中存在不足，本文重點(diǎn)研究第3類方法，其具體過(guò)程如圖 1所示。

由圖1可知，參考集的選取至關(guān)重要。如Lee-Kwang和Lee^［11］中F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3是3個(gè)待排序的模糊數(shù)，V1，V2是兩個(gè)事先給定的不同的參考集。當(dāng)選取V1作為參考時(shí)，得到的排序結(jié)果為F1F2F3;而當(dāng)選取V2作為參考時(shí)，得到的排序結(jié)果為F3F2F1。僅因選取的參考集不同造成最終的排序結(jié)果完全相反，這與實(shí)際相悖。

鑒于參考集的重要性及現(xiàn)有方法的缺陷，本文從構(gòu)建參考集入手，減少因選取參考集而造成的不確定性。其次，通過(guò)區(qū)間相似度得到模糊數(shù)間的相似度，以此為基礎(chǔ)結(jié)合質(zhì)心建立評(píng)價(jià)函數(shù)。最后，結(jié)合參考集與評(píng)價(jià)函數(shù)得到新的排序方法。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1^［12］ 論域X上的模糊集，記作={（x， f（x））：x∈X｝。其中，隸屬函數(shù)f（x）：X→［0，1］表示x在中的隸屬度。當(dāng)滿足正規(guī)、凸時(shí)，稱為論域X上的一個(gè)模糊數(shù)。

定義2^［12］ 模糊集的α-水平集定義為

α={x∈X： f（x）≥α}，α∈（0，1］，

模糊集的支集定義為

supp（）={x∈X： f（x）＞0}。

定義3^［6］ 一般地，當(dāng)為廣義梯形模糊數(shù)時(shí)，記作=（a，b，c，d;ω），其隸屬函數(shù)f（x）為

f（x）=[JB（｛][SX（]ω（x-a）[]b-a[SX）]，" a≤xlt;b；

ω，" b≤x≤c；

[SX（]ω（x-d）[]c-d[SX）]，" clt;x≤d；

0，" 其他。[JB）]" [JY]（1）

其中：a，b，c，d∈R，滿足a lt; b≤c lt; d；ω∈（0，1］；a和d分別為廣義梯形模糊數(shù)的下界和上界。此外，

fL （x）=[SX（]ω（x-a）[]b-a[SX）]，a≤xlt;b，

fR （x）=[SX（]ω（x-d）[]c-d[SX）]，clt;x≤d，

分別稱為左隸屬函數(shù)和右隸屬函數(shù)。而f^L 連續(xù)且在［a，b）上遞增，f^R 連續(xù)且在（c，d］上遞減。故f^L 在區(qū)間［a，b）上可逆，f^R 在區(qū)間（c，d］上可逆。它們的逆函數(shù)分別記作g^L （y）和g^R （y），則其α-水平集α為

α=［b，c］， α=ω；

gL（α）， gR（α）］，α∈（0，ω）。[JY]（2）

其中：

gL （y）=a+[SX（]b-a[]ω[SX）]y，0≤y≤ω，

gR （y）=d+[SX（]c-d[]ω[SX）]y，0≤y≤ω。

當(dāng)ω=1時(shí)，則稱為正規(guī)梯形模糊數(shù)。其α-水平集α為

α=［b，c］，α=1；

［a+（b-a）α，d-（d-c）α］，α∈（0，1）。

當(dāng)b=c時(shí)，廣義梯形模糊數(shù)將退化為廣義三角模糊數(shù)，用=（a，b，d;ω）表示，且ω∈（0，1］。

定義4^［6］ 設(shè)=（a，b，c，d;ω）為廣義梯形模糊數(shù)，其質(zhì)心x定義為

x= [SX（]∫daxf（x）dx[]∫daf（x）dx[SX）]=

[SX（]1[]3[SX）]［a+b+c+d-[SX（]dc-ab[]（d+c）-（a+b）[SX）]］[JY]（3）

易知alt;xlt;d。

由模糊集的表現(xiàn)定理可知，模糊數(shù)可由其α-水平集表示。因此，可通過(guò)α-水平集的區(qū)間運(yùn)算得到相應(yīng)模糊數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。

定義5^［9］ 設(shè)A，B，C是廣義梯形模糊數(shù)，λ∈R且α∈（0，1］。其加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算如下。

1） 加法。若C=A+B，則

Cα=（A+B）α=

［gLA （α）+gLB （α），gRA （α）+gRB （α）］。

2） 減法。若C=A-B，則

Cα=（A-B）α=

［gLA （α）-gLB （α），gRA （α）-gRB （α）］。

3） 數(shù)乘。令C=λA，則

Cα=（λA）α=[JB（｛]［λgL （α），λgR （α）］，λgt;0；

［λgR （α），λgL （α）］，λlt;0。[JB）]

2 基于參考集與評(píng)價(jià)函數(shù)的排序方法

2.1 參考集

對(duì)于兩個(gè)廣義梯形模糊數(shù)A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2），它們的α-水平集分別為A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］和A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，α∈（0，1］。則A1α和A2α之間的距離為

［dLα，dRα］=

λ（A1α-A2α）+（1-λ）（A2α-A1α）[JY]（4）

其中：

λ=[JB（｛]1， [SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]≥[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]；

0， [SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]lt;[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]。[JB）]

定義6^［13］" 設(shè)A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個(gè)廣義梯形模糊數(shù)，其模糊距離為

d（A1，A2）=（0，σ，u，ν;ω）[JY]（5）

其中：

σ=dLα=ω，u=dRα=ω，

ν=∫ω0 dRα dα，ω=min（ω1，ω2）。

命題1 設(shè)A1，A2，A3為3個(gè)廣義模糊數(shù)，則以下結(jié)論成立。

1） d（A1，A2）為正的模糊數(shù);

2） d（A1，A2）=d（A2，A1）;

3） d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）。

證明 基于模糊距離的構(gòu)造過(guò)程，則結(jié)論1）和結(jié)論2）顯然成立，下證結(jié)論3）成立。

設(shè)模糊數(shù)A1，A2，A3的α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

A3α=［gLA3 （α），gRA3 （α）］，

其中：α∈（0，ω］，ω=min｛ω1，ω2，ω3｝。

要證d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）成立，只需證明

supp（d（A1，A3））

supp（d（A1，A2）d（A2，A3））。

根據(jù)模糊數(shù)A1，A2，A3的相對(duì)位置，討論以下3種情況。為方便起見(jiàn)，省略角標(biāo)α。

i） 情況1。

[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）] ≤[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]，

A1α和A3α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA3-gRA1，gRA3-gLA1］，

A1α和A2α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA2-gRA1，gRA2-gLA1］，

A2α和A3α之間的距離為

［dLα，dRα］=［gLA3-gRA2，gRA3-gLA2］，

則有

（gLA2-gRA1）+（gLA3-gRA2）lt;gLA3-gRA1，

（gRA2-gLA1）+（gRA3-gLA2）gt;gRA3-gLA1，

即

supp（d（A1，A3））

supp（d（A1，A2）d（A2，A3））。

故d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）。

與情況1證明類似，下述兩種情況也成立。

ii） 情況2。

[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]。

iii） 情況3。

[SX（]gLA2 （ω2）+gRA2 （ω2）[]2[SX）]≤[SX（]gLA1 （ω1）+gRA1 （ω1）[]2[SX）]

≤[SX（]gLA3 （ω3）+gRA3 （ω3）[]2[SX）]。

綜上所述，d（A1，A3）d（A1，A2）d（A2，A3）成立。

注1 文獻(xiàn)［13］中關(guān)于結(jié)論3）的描述為

d（A1，A3）≤d（A1，A2）d（A2，A3），

但其證明過(guò)程借助實(shí)值函數(shù)將模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)進(jìn)行比較，損失了大量信息，詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)［13］。因此，本文從模糊數(shù)的角度進(jìn)行證明。

命題2 設(shè)A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個(gè)廣義模糊數(shù)，-A1=（-d1，-c1，-b1，-a1;ω1），-A2=（-d2，-c2，-b2，-a2;ω2）分別為它們的鏡像則d（A1，A2）=d（-A1，-A2）。

證明 設(shè)A1和A2的α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

其區(qū)間距離為［dLα，dRα］。

-A1和-A2的α-水平集分別為

-A1α=［-gRA1 （α），-gLA1 （α）］，

-A2α=［-gRA2 （α），-gLA2 （α）］，

其區(qū)間距離為［Lα，Rα］。則有

（-A）1α=-（A1α），（-A）2α=-（A2α），

進(jìn)而

dLα=Lα，dRα=Rα。

故d（A1，A2）=d（-A1，-A2）。

定義7 設(shè)Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組模糊數(shù)，其相對(duì)最大與相對(duì)最小模糊數(shù)分別為Amax=（amax，bmax，cmax，dmax;ωmax），Amin=（amin，bmin，cmin，dmin;ωmin），其區(qū)間距離為［dLα，dRα］，則這組模糊數(shù)的參考集為

Θ=（0，[SX（]σ[]v[SX）]，[SX（]u[]v[SX）]，1;ω=min｛ωmin，ωmax｝）。

其中：

σ=dLα=ω，u=min｛dRα=ω，∫ω0 dRα dα｝，

ν=max｛dRα=ω，∫ω0 dRα dα｝，

ω表示相對(duì)最大與相對(duì)最小模糊數(shù)之間高度值的最小值，且參考集Θ滿足

1） Ai，i=1，2，…，n，supp（Ai）supp（Θ）；

2） 其隸屬函數(shù)為fΘ（x），則∫^+∞-∞fΘ（x）dx存在且不為零。

證明 1）由定義2和定義7可知

supp（Θ）=［0，1］，supp（Ai）=［a，d］，

而0≤a，d≤1，故supp（Ai）supp（Θ）。

2）由定義7知Θ為［0，1］內(nèi)的廣義模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)的積分值表示該廣義模糊數(shù)在［0，1］×［0，ω］區(qū)域上的面積，故∫^+∞-∞fΘ（x）dx存在且不為零。

例1 設(shè)A=（0.1，0.2，0.2，0.4;1），B=（0.2，0.3，0.4，0.5;1），C=（0.1，0.4，0.4，0.6;1），這3個(gè)模糊數(shù)如圖2所示。

其相對(duì)最大與相對(duì)最小模糊數(shù)分別為

Amin=（0.1，0.2，0.2，0.4;1），

Amax=（0.2，0.4，0.4，0.6;1）。

由式（4）得到

［dLα，dRα］=［0.1+0.1α，0.2］，

故參考集Θ=（0，1，1，1;1），如圖2所示。

2.2 評(píng)價(jià)函數(shù)

本節(jié)通過(guò)區(qū)間之間的相似度得到模糊數(shù)間的相似度并研究其相關(guān)性質(zhì)?；谒岢龅膮^(qū)間相似度構(gòu)建模糊數(shù)間的評(píng)價(jià)函數(shù)。

對(duì)于兩個(gè)區(qū)間I1=［a1，b1］，I2=［a2，b2］，兩區(qū)間相交I1∩I2的位置關(guān)系有如下3種形式，如圖3所示。

兩個(gè)區(qū)間的相似度為

S（I1，I2）=[SX（]|I1∩I2||I1∪I2|[SX）][JY]（6）

其中：|· |表示區(qū)間長(zhǎng)度。

根據(jù)區(qū)間相似度和模糊數(shù)的α-水平集，廣義模糊數(shù)間的相似度定義為定義8，并研究其相關(guān)性質(zhì)。

定義8 設(shè)A1=（a1，b1，c1，d1;ω1）和A2=（a2，b2，c2，d2;ω2）是兩個(gè)廣義模糊數(shù)，它們的α-水平集分別為A1α和A2α，則A1和A2的相似度S（A1，A2）為

S（A1，A2）=[SX（]∫ω0 （A1α∩A2α）dα[]∫ω0 （A1α∪A2α）dα[SX）][JY]（7）

其中：ω∈［0，min｛ω1，ω2｝］。

性質(zhì)1 設(shè)A1，A2和A3是3個(gè)廣義模糊數(shù)，則滿足以下性質(zhì)。

1） 0≤S（A1，A2）≤1;

2） S（A1，A2）=S（A2，A1）;

3） S（A1，A2）=1A1=A2;

4） 若S（A1，A2）=1，S（A2，A3）=1，則S（A1，A3）=1。

證明 性質(zhì)1）和性質(zhì)2）顯然成立，下證性質(zhì)3）和性質(zhì)4）成立。

3） 必要性。當(dāng)

S（A1，A2）=[SX（]∫ω0 （A1α∩A2α）dα[]∫ω0 （A1α∪A2α）dα[SX）]=1，

有A1α∩A2α=A1α∪A2α，即A1=A2。

反之，當(dāng)A1=A2時(shí)，S（A1，A2）=1成立，即充分性也滿足。

4） 由性質(zhì)3） 可知，當(dāng)S（A1，A2）=1，S（A2，A3）=1時(shí)，有A1=A2，A2=A3。因此，A1=A3，則S（A1，A3）=1。

通常模糊數(shù)不能直接比較大小，因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采取不同的方法對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行比較。其中評(píng)價(jià)函數(shù)深受廣大學(xué)者關(guān)注，它將兩個(gè)模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，根據(jù)自然序列比較模糊數(shù)。本文基于區(qū)間相似度和廣義梯形模糊數(shù)的質(zhì)心提出所需評(píng)價(jià)函數(shù)。

定義9 設(shè)Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組待排模糊數(shù)，Θ為其參考集，則評(píng)價(jià)函數(shù)為

E（Ai，Θ）=[SX（]S（Ai，Θ）+xAi[]2[SX）][JY]（8）

2.3 排序方法

本節(jié)提出一種基于參考集與評(píng)價(jià)函數(shù)的模糊數(shù)排序方法，并與現(xiàn)有方法進(jìn)行比較展示其有效性。

設(shè)Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），i=1，2，…，n是一組待排模糊數(shù)，其排序過(guò)程如下。

1） 求這組模糊數(shù)的參考集Θ （若存在j，有sup（supp（Ai））lt;inf（supp（Aj）），i≠j，則計(jì)算參考集時(shí)去掉Aj;

2） 計(jì)算所有模糊數(shù)的S（Ai，Θ）;

3） 計(jì)算所有模糊數(shù)的E（Ai，Θ）;

4） 根據(jù)E（Ai，Θ）的大小對(duì)所有模糊數(shù)排序，其值越大相應(yīng)的模糊數(shù)越大。

性質(zhì)2 設(shè)F是模糊數(shù)的集合，A1，A2，A3∈F，以下性質(zhì)成立。

1） 對(duì)于A∈F，則A≤A;

2） 若A1A2，A2A3，則A1A3;

3） 若sup（supp（A1））lt;inf（supp（A2）），則A1A2;

4） 對(duì)λgt;0，A1A2λA1λA2;

5） 對(duì)λlt;0，A1A2λA1λA2;

6） 若A1A2則A1A3A2A3。

證明 性質(zhì)1）和性質(zhì)2）顯然成立，下面證明性質(zhì)3）成立。

3）當(dāng)sup（supp（A1））lt;inf（supp（A2）），有

gLA1 （0）≤gRA1 （0）≤gLA2 （0）≤gRA2 （0），

而

gLA1 （0）lt;xA1lt;gRA1 （0），

gLA2 （0）lt;xA2lt;gRA2 （0），

則xA1lt;xA2。設(shè)其參考集為Θ，有

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）lt;xA2-xA1，

則

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（A1，Θ）lt;E（A2，Θ）。

故A1A2成立。

4） 設(shè)模糊數(shù)A1，A2的參考集為Θ，其α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

當(dāng)λgt;0時(shí)，有

λA1α=［λgLA1 （α），λgRA1 （α）］，

λA2α=［λgLA2 （α），λgRA2 （α）］，

且xλA1=λxA1，xλA2=λxA2。

當(dāng)A1A2時(shí)，有E（A1，Θ）lt;E（A2，Θ），

即

S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0。

此時(shí)模糊數(shù)λA1，λA2的參考集為λΘ，則有

S（λA2，λΘ）-S（λA1，λΘ）+xλA2-xλA1=

λ（S（A2，Θ）-S（A1，Θ）+xA2-xA1）gt;0，

即λA1λA2。反之亦然。故

λgt;0，A1A2λA1λA2。

同理可證性質(zhì)5）成立。特別地，取λ=-1，當(dāng)A1A2時(shí)，有-A1-A2。

6） 設(shè)模糊數(shù)A1，A2，A3的參考集為Θ，其α-水平集分別為

A1α=［gLA1 （α），gRA1 （α）］，

A2α=［gLA2 （α），gRA2 （α）］，

A3α=［gLA3 （α），gRA3 （α）］，

Θα=［gL（α），gR（α）］。

由模糊數(shù)的算術(shù)運(yùn)算知

（A1A3）α=

［gLA1 （α）+gLA3 （α），gRA1 （α）+gRA3 （α）］，

（A2A3）α=

［gLA2 （α）+gLA3 （α），gRA2 （α）+gRA3 （α）］。

i） （A1+A3）α∩Θα=。

此時(shí)，A1α∩Θα=，而

（A2A3）α∩Θα=

［gL（α），gRA2 （α）+gRA3 （α）］，

（A2A3）α∩Θα=

［gLA2 （α）+gLA3 （α），gR（α）］，

S（（A2A3），Θ）=

[SX（]∫ω0 ［gRA2 （α）+gRA3 （α）-gL（α）］dα[]∫ω0 ［gR（α）-gLA2 （α）-gLA3 （α）］dα[SX）]gt;

[SX（]∫ω0 （gRA2 （α）-gL（α））dα[]∫ω0 （gR（α）-gLA2 （α））dα[SX）]=

S（A2，Θ），

有

S（（A2A3），Θ）+（xA2+xA3）-（xA1+xA3）gt;

S（A2，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（（A1+A3），Θ）lt;E（（A2+A3），Θ）。

故A1A3A2A3。

ii） （A2+A3）α∩Θα=。

情況ii）證明與情況i）類似。

iii） （A2+A3）α∩Θα≠，（A1+A3）α∩Θα≠。

由情況i）和情況ii）證明知

S（（A2A3），Θ）gt;S（A2，Θ），

S（（A1A3），Θ）gt;S（A1，Θ），

有

S（（A2A3），Θ）-S（（A1A3），Θ）+

（xA2+xA3）-（xA1+xA3）gt;S（A2，Θ）-

S（A1，Θ）+xA2-xA1gt;0，

即

E（（A1+A3），Θ）lt;E（（A2+A3），Θ）。

故A1A3A2A3。

綜上所述，若A1A2，則A1A3A2A3。

例2 設(shè)A=（0.2，0.3，0.3，0.6;1），B=（0.3，0.4，0.5，0.6;1），C=（0.2，0.6，0.6，0.8;1），這3個(gè)模糊數(shù)如圖4所示。

首先，由定義7求其參考集為

Θ=（0，0.66，0.66，1;1）。

其次，對(duì)任意α∈［0，1］有

Aα=［0.2+0.1α，0.6-0.3α］，

Bα=［0.3+0.1α，0.6-0.1α］，

Cα=［0.2+0.4α，0.8-0.2α］，

Θα=［0.66α，1-0.34α］。

根據(jù)式（4）有

xA=3.666 7，xB=0.45，xC=0.533 3。

根據(jù)式（8），有

E（A，Θ）=0.306 3，

E（B，Θ）=0.364 7，

E（C，Θ）=0.558 6，

即

E（A，Θ）lt;E（B，Θ）lt;E（C，Θ）。

故ABC。

例3 設(shè)模糊數(shù)A=（0.1，0.3，0.4，0.6;0.8），B=（0.2，0.3，0.3，0.5;1），C=（0.2，0.4，0.5，0.7;0.9），D=（0.7，0.8，0.8，0.9;0.9），如圖5所示。

由于sup（supp（*））≤inf（supp（D）），

其中：*=｛A，B，C｝。故求參考集時(shí)排除D，且模糊數(shù)D最大。

由定義7求其參考集為

Θ=（0，0.18，0.7，1;0.8）。

對(duì)任意α∈［0，1］，有

Aα=［0.1+0.25α，0.6-0.25α］，

Bα=［0.2+0.1α，0.5-0.2α］，

Cα=［0.2+[SX（]2[]9[SX）]α，0.7-[SX（]2[]9[SX）]α］，

Θα=［0.225α，1-0.375α］。

模糊數(shù)A，B，C的質(zhì)心分別為

xA=0.35，xB=0.333 3，xC=0.45。

由式（8）知

E（A，Θ）=0.372 4，E（B，Θ）=0.285 1，

E（C，Θ）=0.437 0，

即

E（B，Θ）lt;E（A，Θ）lt;

E（C，Θ）lt;E（D，Θ）。

故BACD。

3 比較分析

例4 設(shè)模糊數(shù)A=（0，0.2，0.7，0.7;0.8），B=（0.2，0.5，0.5，0.9;1），C=（0.1，0.6，0.6，0.8;0.9），D=（0.3，0.5，0.8，0.9;0.8），如圖6所示。

首先，求其參考集為

Θ=（0，0.06，0.98，1;0.8）。

其次，對(duì)任意α∈［0，0.8］，有

Aα=［0.25α，0.7］，

Bα=［0.2+0.3α，0.9-0.4α］，

Cα=［0.1+[SX（]5[]9[SX）]α，0.8-[SX（]2[]9[SX）]α］，

Dα=［0.3+0.25α，0.9-0.125α］，

Θα=［0.075α，1-0.025α］。

則

xA=0.463 6，xB=0.533 3，

xC=0.5，xD=0.622 2，

E（A，Θ）=0.419 3，E（B，Θ）=0.511 7，

E（C，Θ）=0.452 5，E（D，Θ）=0.519 5，

即

E（A，Θ）lt;E（C，Θ）lt;E（B，Θ）lt;E（D，Θ）。

故ACBD。

從表1可以看出，所提方法與文獻(xiàn)中的大多數(shù)方法所產(chǎn)生的排序結(jié)果相同，故該方法是有效的。文獻(xiàn)［15-16］中的方法得到的A最大，由圖6可知D最大，所得到的結(jié)果與實(shí)際相悖。在文獻(xiàn)［11］中，當(dāng)選擇V1和選擇V2作為參考集時(shí)得到的排序結(jié)果完全相反，說(shuō)明參考集的選取對(duì)排序結(jié)果影響較大。在文獻(xiàn)［17］中，當(dāng)持悲觀態(tài)度時(shí)，即α=0時(shí)，得到CABD;當(dāng)持中立和樂(lè)觀態(tài)度時(shí)，其結(jié)果為ACBD。因此，本文所提出的排序方法可以彌補(bǔ)一些排序方法的不足。

與本文所得排序結(jié)果相同的這些方法中，當(dāng)模糊數(shù)的質(zhì)心相等時(shí)，文獻(xiàn)［6］所提方法不能判斷大小;文獻(xiàn)［11］中的參考集V1是事先給定的，因此其排序結(jié)果帶有主觀性;文獻(xiàn)［15］在遇到模糊數(shù)的上邊長(zhǎng)遠(yuǎn)小于下邊長(zhǎng)的情況時(shí)，會(huì)得到錯(cuò)誤的排序結(jié)果;文獻(xiàn)［18］會(huì)得到模糊數(shù)與其鏡像相等的錯(cuò)誤結(jié)果。本文所提方法能夠很好的克服上述缺陷。

4 應(yīng)用

在實(shí)際生活中，沖突無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)生，個(gè)體與個(gè)體、國(guó)家與國(guó)家、個(gè)體與國(guó)家之間存在著諸如利益、思想、文化之間的沖突。對(duì)沖突的研究引起了廣大學(xué)者的關(guān)注，Pawlak基于粗糙集對(duì)沖突進(jìn)行了研究，根據(jù)代理之間的沖突度對(duì)代理進(jìn)行分類并建立代理間的聯(lián)盟^［21］。Yao將三分的思想引入沖突分析中，擴(kuò)展了Pawlak的工作，建立了三支沖突分析模型，根據(jù)代理之間的關(guān)系將其分為支持集、中立集、反對(duì)集，每個(gè)集合視為一個(gè)聯(lián)盟^［22］。隨著學(xué)者們的深入研究，建立了在不同背景下的沖突分析，如Li等考慮代理對(duì)事件的評(píng)價(jià)值是三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)的情形，進(jìn)而分別研究了在三角模糊信息系統(tǒng)和梯形模糊信息系統(tǒng)下的三支沖突分析^［23-24］;常月等考慮代理對(duì)事件的評(píng)價(jià)值是區(qū)間，討論了在區(qū)間值模糊背景下的沖突分析^［25］;楊文聽(tīng)等考慮到在信息的獲取中可能會(huì)出現(xiàn)信息的丟失，從而分析了在不完備的模糊信息系統(tǒng)下如何建立聯(lián)盟^［26］。在沖突分析時(shí)，應(yīng)用不同的方法建立的聯(lián)盟也有所差異，對(duì)聯(lián)盟的評(píng)判至關(guān)重要。應(yīng)用模糊數(shù)排序方法，能夠評(píng)判不同方法所建立的聯(lián)盟。接下來(lái)，應(yīng)用基于參考集的方法比較這兩種方法所建立的聯(lián)盟。

例5 本文借助Li等文章中的中東沖突問(wèn)題^［24］。代理u1，u2，u3，u4，u5，u6分別代表以色列、埃及、巴勒斯坦、約旦、敘利亞、沙特阿拉伯6個(gè)國(guó)家。事件a1代表西岸和加沙的巴勒斯坦自治國(guó)；事件a2代表約旦河沿岸的以色列軍事前哨；事件a3代表以色列保留東耶路撒冷；事件a4代表以色列在戈蘭高地的軍事前哨；事件a5代表阿拉伯國(guó)家向選擇留在其境內(nèi)的巴勒斯坦人授予公民身份。代理對(duì)事件的態(tài)度值以梯形模糊數(shù)的形式給出，如表2所示。

Li等將代理對(duì)事件的態(tài)度進(jìn)行聚合，求代理對(duì)事件的總態(tài)度值（ui），并進(jìn)行去模糊化處理，分別為D1（ui）和D2（ui）^［23-24］，如表3所示。

基于決策理論粗糙集得閾值α=0.64，β=0.45。根據(jù)表3中的去模糊化值，建立聯(lián)盟為

D1（ui）[JB（｛]POS（U）=｛u3，u5｝；

BN（U）=｛u6｝；

NEG（U）=｛u1，u2，u4｝。[JB）]

D2（ui）[JB（｛]POS（U）=｛u5，u6｝；

BN（U）=｛u1，u3｝；

NEG（U）=｛u2，u4｝。[JB）]

基于表 3中的去模糊化值，利用本文所提的方法求模糊數(shù)的評(píng)價(jià)值。

由于

sup（supp（ui））≤inf（supp（u5）），

sup（supp（ui））≤inf（supp（u6））。

其中：i=1，2，3，4，即u5，u6均優(yōu)于u1，u2，u3，u4，此時(shí)分兩步進(jìn)行比較。

1）比較u5，u6。

其參考集為

Θ=（0，0.02，0.09，0.125;1），

則

E（u5，Θ）=0.469 8，E（u6，Θ）=0.478 9。

故u5u6。

2）比較u1，u2，u3，u4。

其參考集為

Θ=（0，0.47，0.8，1;1），

則

E（u1，Θ）=0.340 2，E（u2，Θ）=0.256 2，

E（u3，Θ）=0.372 9，E（u4，Θ）=0.214 7。

故u4u2u1u3。

根據(jù)表4中代理的評(píng)價(jià)值，可知排序結(jié)果為

u4u2u1u3u5u6。

根據(jù)優(yōu)先級(jí)規(guī)則，聯(lián)盟的優(yōu)先級(jí)序列為POS（U）BN（U）NEG（U）。文獻(xiàn)［23］所建立的聯(lián)盟不符合此規(guī)則，文獻(xiàn)［24］所建立的聯(lián)盟符合此規(guī)則，因?yàn)榇韚6對(duì)所有事件的總態(tài)度值為（0.87，0.91，0.95，0.98），即代理u6應(yīng)屬于支持集POS（U），而文獻(xiàn)［23］將u6放在中立集。故文獻(xiàn)［24］所建立的聯(lián)盟優(yōu)于文獻(xiàn)［23］所建立的聯(lián)盟。

一些現(xiàn)有排序方法所得結(jié)果如表5所示。由表5可知，本文方法與一些現(xiàn)有排序方法得到的優(yōu)先級(jí)序列相同，故所提方法是有效的。文獻(xiàn)［15］所得結(jié)果不滿足聯(lián)盟的優(yōu)先級(jí)序列，因?yàn)榇朔椒ㄔ谔幚砟：龜?shù)Ai=（ai，bi，ci，di;ωi），ci-bilt;di-ai時(shí)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。如u5和u2正確的結(jié)果為u2u5，是因?yàn)樵摲椒ǖ娜毕菟鶎?dǎo)致的錯(cuò)誤結(jié)果。

5 結(jié)語(yǔ)

在現(xiàn)有排序方法中，由于參考集是事先給定的而導(dǎo)致很大的主觀性，如何選擇合適的參考集以避免增加不確定性是至關(guān)重要的問(wèn)題。本文基于模糊距離構(gòu)建參考集，利用區(qū)間相似度和廣義梯形模糊數(shù)的質(zhì)心構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)對(duì)模糊數(shù)排序，并給出了新的廣義模糊數(shù)排序方法的框架。通過(guò)實(shí)例將此方法與現(xiàn)有排序方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的有效性與合理性，彌補(bǔ)了一些排序方法的不足。此外，將該方法應(yīng)用于三支沖突分析中，為更好的評(píng)價(jià)聯(lián)盟提供支撐。在未來(lái)的工作中，將研究直覺(jué)模糊數(shù)、猶豫模糊數(shù)等模糊環(huán)境下的排序方法及其應(yīng)用。

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（編 輯 張 歡）

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（61976244）

第一作者：周小鋒，男，從事沖突分析、模糊數(shù)排序研究，1850294569＠qq.com。

通信作者：李小南，男，教授，博士生導(dǎo)師，從事模糊集、粗糙集及三支決策理論研究，lxn2007@163.com。