摘 要：自然因素、人為因素以及地表水的滲透能夠改變干旱和半干旱地區(qū)生態(tài)平衡，為了反映隨機(jī)環(huán)境噪聲對干旱半干旱地區(qū)生態(tài)系統(tǒng)的影響，建立了由Markov鏈和高斯白噪聲驅(qū)動的隨機(jī)時滯植被-水系統(tǒng)，通過隨機(jī)比較原理，研究了植被及水的有限時間的動力學(xué)行為，給出了系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性和有限時間收縮穩(wěn)定性的充分條件.

關(guān)鍵詞：滲透時滯;有限時間穩(wěn)定;植被-水系統(tǒng)

中圖分類號：O29 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1000-2367（2025）03-0072-07

近年來受自然因素（降雨量少，蒸發(fā)大等）以及人為因素（不受控制的伐木、過度放牧等）的影響，干旱和半干旱地區(qū)植被生態(tài)平衡遭到了嚴(yán)重破壞，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注^［1-4］.例如，考慮了水的空間擴(kuò)散，KLAUSMEIER^［1］提出一類反應(yīng)擴(kuò)散植被-水系統(tǒng)，探究干旱地區(qū)植被退化的內(nèi)在原因，在該模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮水的滲透作用，HILLERISLAMBERS等^［2］建立了經(jīng)典的三維植被-水系統(tǒng)模型.隨著植被動力學(xué)理論的發(fā)展，許多學(xué)者從不同視角建立植被-水系統(tǒng)模型研究其解的適定性、持久性、絕滅性及其控制策略等^［3-4］.

值得注意的是，上述模型未考慮水的滲透對生態(tài)系統(tǒng)的影響.事實(shí)上，地表水的滲透存在時滯并且時滯大小隨著時間的變化而變化^［5］.另一方面，環(huán)境噪聲在生態(tài)系統(tǒng)中起著重要的作用^［6］，水的蒸發(fā)和滲透以及降雨等因素經(jīng)常會受到某些環(huán)境因素的干擾，使得植被-水系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生突變，這一現(xiàn)象通常用Markov 切換來刻畫^［7］.因此在研究植被-水相互作用時，應(yīng)該考慮時變時滯、Markov 切換和隨機(jī)噪聲的影響.

有限時間穩(wěn)定性（finite-time stability，F(xiàn)TS）和有限時間收縮穩(wěn)定性（finite-time contraction stability，F(xiàn)TCS）在經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注^［8-9］.同樣在生態(tài)學(xué)領(lǐng)域中，當(dāng)植被遭受破壞，更需要在有限的時間得到修復(fù).與長時間動力學(xué)行為比較，有限時間的穩(wěn)定性的研究更有意義.另一方面，生態(tài)系統(tǒng)中，過量的植被和水對生態(tài)環(huán)境無益.而收縮穩(wěn)定意味著在給定時間內(nèi)，如果植被和水的密度在有限的時間內(nèi)低于一定的水平，則可以視為荒漠化.這樣，有限時間收縮穩(wěn)定性的理論研究可為植被荒漠化預(yù)警提供可靠的理論依據(jù).本文建立由Markov 切換和高斯噪聲驅(qū)動的隨機(jī)時滯植被-水系統(tǒng)，研究該系統(tǒng)模型有限時間穩(wěn)定性和有限時間收縮穩(wěn)定性，給出FTS和 FTCS的判據(jù)，所得到的結(jié)論是文獻(xiàn)［1-5］的擴(kuò)展.

4 小 結(jié)

本文提出了具有時變時滯的隨機(jī)植被-水系統(tǒng).分析了由Markov 切換和高斯噪聲驅(qū)動的隨機(jī)系統(tǒng)的FTS和FTCS.這些理論結(jié)果為判斷生態(tài)系統(tǒng)能否在有限時間內(nèi)保持健康的演化提供了判斷標(biāo)準(zhǔn)，使得生態(tài)系統(tǒng)FTS而非FTCS.通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的有效性.值得注意的是，植被斑圖的形成是一個非常有趣的現(xiàn)象，這也是將來的研究內(nèi)容之一.

參 考 文 獻(xiàn)

［1］ KLAUSMEIER C.Regular and irregular patterns in semiarid vegetation［J］.Science，1999，284：1826-1828.

［2］HILLERISLAMBERS R，RIETKERK M，VAN DEN BOSCH F，et al.Vegetation pattern formation in semi-arid grazing systems［J］.Ecology，2001，82（1）：50.

［3］YIN H M，CHEN X F，WANG L H.On a cross-diffusion system modeling vegetation spots and strips in a semi-arid or arid landscape［J］.Nonlinear Analysis，2017，159：482-491.

［4］WARD C B，KEVREKIDIS P G，WHITAKER N.A numerical bifurcation analysis of a dryland vegetation model［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2019，68：319-335.

［5］HAGHNAZARI F，SHAHGHOLI H，F(xiàn)EIZI M.Factors affecting the infiltration of agricultural soils［J］.International Journal of Agronomy and Agricultural Research，2015，6：21-35.

［6］XIANG H L，LIU B，LI Z X.Verification theory and approximate optimal harvesting strategy for a stochastic competitive ecosystem subject to lévy noise［J］.Journal of Dynamical and Control Systems，2017，23（4）：753-777.

［7］MIERUCH S，NOЁL S，BOVENSMANN H，et al.Markov chain analysis of regional climates［J］.Nonlinear Processes in Geophysics，2010，17（6）：651-661.

［8］LI X D，YANG X Y，SONG S J.Lyapunov conditions for finite-time stability of time-varying time-delay systems［J］.Automatica，2019，103：135-140.

［9］WU K N，CHEN B S.Synchronization of partial differential systems via diffusion coupling［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Regular Papers，2012，59（11）：2655-2668.

［10］KéFI S，EPPINGA M B，DE RUITER P C，et al.Bistability and regular spatial patterns in arid ecosystems［J］.Theoretical Ecology，2010，3（4）：257-269.

［11］MAO X R，RASSIAS M J.Khasminskii-type theorems for stochastic differential delay equations［J］.Stochastic Analysis and Applications，2005，23（5）：1045-1069.

Finite-time stability of vegetation-water system in arid and semi-arid regions

Hu Jing^{1a，b，c}， Zhu Lei^1a， Zhang Qimin^1b，c， Ren Jie²， Wu Han³

（1. a. School of Civil Engineering and Water Conservancy; b. School of Mathematics and Statistics; c. Ningxia Basic

Science Research Center of Mathematics， Ningxia University， Yinchuan 750021， China; 2. School of Medical

Information and Engineering， Ningxia Medical University， Yinchuan 750021， China; 3. Coca-Cola

Beverages（Shanghai） Co.， Ltd.， Shanghai 200123， China）

Abstract： The ecological balance in arid and semi-arid areas is seriously damaged by natural， human factors and the infiltration of surface water. In order to study the influence of random environmental noise on" the ecosystem in arid and semi-arid areas， a stochastic time-delay vegetation-water system driven by Markov chain and Gaussian white noise is established in this paper. The finite-time dynamic behaviors of vegetation and water are studied by stochastic comparison principle， and the sufficient conditions for finite-time stability and finite-time contraction stability of the system are given.

Keywords： infiltration delay; finite-time stability; vegetation-water model

［責(zé)任編校 陳留院 楊浦］