魏爾斯特拉斯被譽為“現(xiàn)代分析之父”。大學畢業(yè)后他在兩處偏僻的地方中學度過了包括30歲到40歲的這段數(shù)學家的黃金歲月。他在中學不光是教數(shù)學，還教物理、德文、地理甚至體育和書法課，當時工資很低，連投稿的郵費都沒有。但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過著一種雙重的生活。他白天教課，晚上研究數(shù)學，并寫了許多論文。其中有少數(shù)發(fā)表在當時德國中學發(fā)行的一種不定期刊物“教學簡介”上，但正如瑞典數(shù)學家米·列夫勒所說的那樣：“沒有人會到中學的教學簡介中去尋找有劃時代意義的數(shù)學論文”。

不過魏爾斯特拉斯這一段時間的業(yè)余研究，卻奠定了他一生數(shù)學創(chuàng)造的基礎。這一段當時看起來默默無聞的生活，其實蘊含著巨大的力量——他不僅是一位偉大的數(shù)學家，而且是一位杰出的教育家！他是如此熱愛教育事業(yè)，培養(yǎng)出了一大批有成就的數(shù)學人才。即便是在這偏僻的中學當數(shù)學老師的時候，為了能夠讓自己的學生們更好地理解微積分中最重要的極限概念，他改變了柯西等人當時對極限的定義，創(chuàng)造了著名的、直到今天大學數(shù)學分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義，以及完整的一套類似的表示法，使得數(shù)學分析的敘述終于達到了真正的精確化。一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國數(shù)學家克雷爾主辦的《純粹與應用數(shù)學》雜志，才讓他的聲譽傳到歐洲數(shù)學界。克雷爾把魏爾斯特拉斯的論文在第二年就發(fā)表出來，隨即引起了轟動。哥尼斯堡大學一位數(shù)學教授親自到魏爾斯特拉斯當時任教的布倫斯堡中學向他頒發(fā)了哥尼斯堡大學博士學位證書。普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，并給了他一年假期帶職從事研究。從此之后，也就是他當了十幾年中學教師后，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業(yè)大學數(shù)學教授，同年被選進柏林科學院，他后來又轉到柏林大學任教授直到去世。魏爾斯特拉斯很少正式發(fā)表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業(yè)大學和柏林大學的課堂講授而傳播的，其中有一些后來由他的學生整理發(fā)表出來。

微積分的誕生，創(chuàng)造性地把數(shù)學推到了一個嶄新的高度，它宣告了古典數(shù)學的基本結束，同時標志著以變量為研究主體的近代數(shù)學的開始。通過微積分的發(fā)明，人們找到了數(shù)學的新的福地，整個十七、十八世紀，幾乎所有的歐洲數(shù)學家都對微積分表現(xiàn)出極大的興趣。對傳統(tǒng)的批判，對新方法的追求，對新領域的拓展，使他們共同譜寫了一曲數(shù)學史上的“英雄交響曲”！歐拉形式化的方法的真正貢獻是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數(shù)的基礎上。這一步至少為基于實數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路。但是，對這種形式主義的做法，仍有人表示憂慮。1743年讓·勒朗·達朗貝爾說：“直到現(xiàn)在，表現(xiàn)出更多關心的是去擴大建筑，而不是在入口處張燈結彩；是把房子蓋得更高些，而不是給基礎補充適當?shù)膹姸取！奔s瑟夫·拉格朗日也決心給微積分提供全部的嚴密性，他致力于尋找一個簡單的代數(shù)方法。在1759年，他似乎滿足地認為已找到這個方法，因為在那一年，他寫信給歐拉說，他相信已研究出力學和微分學原理盡可能深的真正理論基礎。遺憾的是約瑟夫·拉格朗日的工作純粹是形式的，他用符號表達式來進行計算，不涉及極限、導數(shù)、連續(xù)、積分等根本性的概念。魏爾斯特拉斯以ε-δ語言，系統(tǒng)建立了實分析和復分析的基礎，基本上完成了分析的算術化，他為這座聞名于世的科學大廈打入了強有力的鋼筋和混凝土。

希爾伯特對他的評價是：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數(shù)學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數(shù)、導數(shù)等概念，他排除了在微積分中仍在出現(xiàn)的各種錯誤提法，掃清了關于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度，本質(zhì)上應歸功于魏爾斯特拉斯的科學活動?！?/p>

克萊因在比較魏爾斯特拉斯與黎曼時說：“黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有時代的數(shù)學家。魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學者，他緩慢地、系統(tǒng)地前進。在他工作的分支中，他力圖達到確定的形式?！?/p>

龐加萊評價時寫道：“黎曼的方法首先是一種發(fā)現(xiàn)方法，而魏爾斯特拉斯的方法則首先是一種證明的方法?！?/p>

1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學大會上，龐加萊不無自豪地贊嘆道：“今天在分析中，如果我們不厭其煩地嚴格審查的話，就會發(fā)現(xiàn)只有三段論或歸結于純數(shù)的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱絕對的嚴密已經(jīng)實現(xiàn)了?！?/p>

（摘自360個人圖書館）