摘要：

為了解決大規(guī)模GNSS坐標(biāo)序列季節(jié)性信號(hào)和長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)分離時(shí)的效率問(wèn)題，引入基于局部加權(quán)回歸的季節(jié)項(xiàng)趨勢(shì)分解（STL）方法，分析該方法在GNSS時(shí)間序列分析中的應(yīng)用效果。通過(guò)比較分析，利用STL分離提取模擬信號(hào)和GNSS高程時(shí)間序列的季節(jié)項(xiàng)和長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)。結(jié)果表明：STL方法能夠準(zhǔn)確地分離出GNSS高程時(shí)間序列中的季節(jié)性信號(hào)和長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)，與其他常用時(shí)間序列分析方法相比，該方法運(yùn)算效率較高。STL方法的高效性和精確性使其非常適合應(yīng)用于大規(guī)模GNSS坐標(biāo)序列的信號(hào)分離。

關(guān)鍵詞：

衛(wèi)星大地測(cè)量； STL； GNSS； 時(shí)間序列； 季節(jié)性信號(hào)

中圖法分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.15974/j.cnki.slsdkb.2025.03.009

文章編號(hào)：1006-0081（2025）03-0052-07

收稿日期：

2024-04-09

基金項(xiàng)目：

長(zhǎng)江三峽勘測(cè)研究院有限公司（武漢）科研項(xiàng)目（SXYKY-2023-08）

作者簡(jiǎn)介：

李辰風(fēng)，男，工程師，博士，主要從事地質(zhì)災(zāi)害監(jiān)測(cè)研究工作。E-mail：cfli@whu.edu.cn

引用格式：

李辰風(fēng)，田坤，陳文.基于STL的GNSS高程時(shí)間序列分析

［J］.水利水電快報(bào)，2025，46（3）：52-58.

0" 引" 言

研究表明，GNSS（Global Navigation Satellite System）高程具有顯著的季節(jié)性波動(dòng)，且主要源于環(huán)境負(fù)荷的變化［1-3］。GNSS坐標(biāo)序列作為國(guó)際地球參考框架（International Terrestrial Reference Frame，ITRF）的關(guān)鍵數(shù)據(jù)源，其周期變化對(duì)ITRF原點(diǎn)和尺度等參數(shù)的定義有著直接的影響［4-6］。2013年，Altamimi等［7］首次在ITRF2014的實(shí)現(xiàn)中納入了環(huán)境負(fù)載的變化因素，使該框架的精度得到了顯著提升。因此，為了確保GNSS數(shù)據(jù)的可靠性和準(zhǔn)確度，進(jìn)而維持高精度的參考框架，對(duì)GNSS高程序列的周期性信號(hào)進(jìn)行有效的分離至關(guān)重要。

基于局部加權(quán)回歸的季節(jié)項(xiàng)趨勢(shì)分解（seasonal-trend decomposition procedure using loess，STL）方法應(yīng)用一系列局部加權(quán)回歸（Loess）平滑，能夠?qū)㈤L(zhǎng)時(shí)間序列分解成趨勢(shì)項(xiàng)、季節(jié)項(xiàng)和殘差部分［8］。該方法具有很強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)健性，普遍應(yīng)用于機(jī)械檢測(cè)和氣候?qū)W數(shù)據(jù)資料的研究分析，通過(guò)與其他時(shí)間序列分析方法比較，該方法具有顯著優(yōu)勢(shì)［9-11］，但其在大地測(cè)量領(lǐng)域中的應(yīng)用卻不多。為了驗(yàn)證該分解方法在GNSS高程時(shí)間序列分析中的應(yīng)用效果，本文依據(jù)中國(guó)大陸構(gòu)造環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的甘肅定西站、甘肅瑪曲站、四川甘孜站與四川九龍站4個(gè)GNSS基準(zhǔn)站的實(shí)例數(shù)據(jù)，將STL方法與最小二乘法（Least Squares，LS）［12］、奇異譜分析（Singular Spectrum Analysis，SSA）［13］和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法［14-15］（Empirical Mode Decomposition，EMD）3種常用時(shí)間序列分析方法進(jìn)行對(duì)比，分析它們分離提取季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)的效果。

1" STL數(shù)學(xué)原理

基于局部加權(quán)回歸的季節(jié)項(xiàng)趨勢(shì)分解（STL）方法是一種用于時(shí)間序列分析的技術(shù)，它可以將時(shí)間序列Yv分解為趨勢(shì)Tv、季節(jié)項(xiàng)Sv和殘差Rv三個(gè)部分，如式（1）所示［7］：

Yv=Tv+Sv+Rv（1）

STL方法的核心是利用Loess來(lái)進(jìn)行平滑操作，從而分離出時(shí)間序列的不同成分。

1.1" 局部加權(quán)回歸法

假定有兩個(gè)觀測(cè)量xi和yi（i=1，2，…，n），xi是獨(dú)立的，yi隨xi變化，Loess回歸曲線g（x）是對(duì)yi的一個(gè)平滑處理，其中x為獨(dú)立觀測(cè)量xi尺度上的任意值。根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi與當(dāng)前點(diǎn)x的距離，為每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)分配一個(gè)權(quán)重，從而在進(jìn)行局部平滑時(shí)給予鄰近數(shù)據(jù)點(diǎn)更大的影響，而對(duì)遠(yuǎn)離當(dāng)前點(diǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)給予較小的影響。采用三次立方權(quán)重函數(shù)構(gòu)建權(quán)重，計(jì)算公式見(jiàn)式（2）：

W（u）=（1-u3）3，0≤ult;10，u≥1（2）

式中：u是數(shù)據(jù)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化距離，u=（x-xi）/h；x是當(dāng)前點(diǎn)的位置；xi是數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置；h是帶寬參數(shù)，控制著權(quán)重隨距離變化的速率。當(dāng)u≥1時(shí)，權(quán)重為0，這意味著距離超過(guò)某個(gè)閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)將不會(huì)對(duì)當(dāng)前點(diǎn)的估計(jì)產(chǎn)生影響。

1.2" STL方法主要步驟

STL主要由內(nèi)循環(huán)與外循環(huán)兩個(gè)遞歸過(guò)程組成，如圖1所示。

內(nèi)循環(huán)每迭代一次，季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)都會(huì)更新一次，每個(gè)外循環(huán)迭代一次，權(quán)重也會(huì)重新計(jì)算一次，用于內(nèi)循環(huán)的迭代。初始循環(huán)的權(quán)重默認(rèn)均為1。

李辰風(fēng) 等" 基于STL的GNSS高程時(shí)間序列分析

1.2.1" 內(nèi)循環(huán)

內(nèi)循環(huán)的每一次傳遞包括季節(jié)性平滑和趨勢(shì)平滑的更新。假設(shè)S（k）v和T（k）v（v=1，2，…，n）分別是在第k次循環(huán)結(jié)束時(shí)的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)成分。內(nèi)循環(huán)主要分為以下6個(gè)步驟。

第1步：去趨勢(shì)化。計(jì)算去趨勢(shì)系列Yv-T（k）v。

第2步：周期子序列平滑。每個(gè)去趨勢(shì)系列的周期子序列使用q=n（s）和d=1的Loess進(jìn)行平滑處理。其中：q表示在觀測(cè)量x周圍參與局部多項(xiàng)式回歸的近鄰點(diǎn)個(gè)數(shù)；n（s）表示平滑窗口的大小，一般為不小于7的奇數(shù)；d表示進(jìn)行局部多項(xiàng)式回歸的多項(xiàng)式次數(shù)。獲得所有周期子序列的集合C（k+1）v。每個(gè)子序列的局部加權(quán)回歸（Loess）如公式（3）所示：

Y^t=∑ni=1Kh+（τi-t）Yi（3）

式中：Y^t是在時(shí)間點(diǎn)t的預(yù)測(cè)值；Yi是觀測(cè)值；τi是數(shù)據(jù)點(diǎn)的時(shí)間；Kh是核函數(shù)；h是帶寬參數(shù)。

第3步：周期子序列低通濾波平滑。對(duì)C（k+1）v中的每個(gè)子序列進(jìn)行低通濾波，可以表示為遞歸公式（4）：

St=αSt-1+（1-α）Y^t（4）

式中：St是時(shí)間點(diǎn)t的趨勢(shì)估計(jì)值；α是濾波器的平滑參數(shù)；Y^t是通過(guò)Loess得到的預(yù)測(cè)值。

第4步：平滑周期子序列去趨勢(shì)化。從第k+1次循環(huán)開(kāi)始，在平滑周期子序列中減去趨勢(shì)成分，以防止低頻能量進(jìn)入季節(jié)性成分。

第5步：去季節(jié)化。計(jì)算去季節(jié)化系列Yv-S（k+1）v。

第6步：趨勢(shì)平滑。對(duì)去季節(jié)化系列使用q=n（t）和d=1的Loess進(jìn)行平滑，其中n（t）表示時(shí)間點(diǎn)t該步驟的Loess平滑窗口大小，平滑后得到趨勢(shì)分量。

1.2.2" 外循環(huán)

假設(shè)已經(jīng)進(jìn)行了一次內(nèi)循環(huán)的初步運(yùn)行，獲得趨勢(shì)和季節(jié)性成分的估計(jì)值Tv和Sv，然后將它們組合起來(lái)形成臨時(shí)季節(jié)性成分，則殘差Rv=Yv-Tv-Sv。對(duì)每一個(gè)觀測(cè)值Yv都將定義一個(gè)權(quán)重，由此又開(kāi)始了內(nèi)循環(huán)。通過(guò)設(shè)置合理的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)基于STL的時(shí)間序列季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)分解。

2" 仿真分析

2.1" 無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)模擬數(shù)據(jù)

構(gòu)造不含趨勢(shì)項(xiàng)的模擬時(shí)間序列以驗(yàn)證STL分離周期信號(hào)的能力，原始的模擬序列構(gòu)造式見(jiàn)公式（5）。其中，x（t）單位為mm，原始序列的采樣率為1 Hz。

x（t）=3sin（t·π/200）+2sin（t·π/40）+sin（t·π/30）

（5）

模擬數(shù)據(jù)中構(gòu)建了由3個(gè)不同周期信號(hào)疊加而成的合成信號(hào)，并在此信號(hào)中加入了標(biāo)準(zhǔn)差為0.5 mm的高斯白噪聲。為了分析這個(gè)加入了噪聲、長(zhǎng)度為2 000的時(shí)間序列，采用STL方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分離提取。STL分解的周期信號(hào)及相應(yīng)的頻譜如圖2所示。

圖2（a）為STL方法分離的周期信號(hào)疊加和原始的模擬序列，可以看出，STL方法分離出的周期信號(hào)與原始的模擬序列較為吻合。圖2（b）為STL方法分離的3個(gè)周期信號(hào)，頻率分別為0.002 50，0.012 50，0.016 67 Hz的周期信號(hào)均被成功地分離出來(lái)。經(jīng)計(jì)算，STL方法分解出的3個(gè)周期信號(hào)疊加后，與原始模擬序列的相關(guān)系數(shù)為0.94，這一結(jié)果充分證明了基于局部加權(quán)回歸的季節(jié)項(xiàng)趨勢(shì)分解方法在分離時(shí)間序列周期信號(hào)方面的有效性。

2.2" 含趨勢(shì)項(xiàng)模擬數(shù)據(jù)

構(gòu)造與式（5）相同的模擬序列，同時(shí)加入式（6）構(gòu)造的長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)序列及標(biāo)準(zhǔn)差為0.5 mm的高斯白噪聲。

y（t）=0.005t（6）

利用STL方法對(duì)構(gòu)造的含長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)的模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行分離提取，分離的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，STL方法能夠成功地從含有趨勢(shì)項(xiàng)的模擬序列中提取出長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)和周期信號(hào)，周期信號(hào)的頻率與原始模擬序列的周期信號(hào)頻率一致。經(jīng)計(jì)算，STL方法提取的長(zhǎng)期趨勢(shì)項(xiàng)為y=0.004 8t+0.618，該斜率與構(gòu)造的模擬序列斜率很接近；同時(shí)，分離的趨勢(shì)項(xiàng)和周期信號(hào)疊加后，與原始模擬時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)為0.96。這一結(jié)果充分證明，當(dāng)時(shí)間序列中同時(shí)含有長(zhǎng)期趨勢(shì)和周期成分時(shí)，STL能夠?qū)λ鼈冞M(jìn)行準(zhǔn)確分離。

3" 與其他方法比較

通過(guò)實(shí)測(cè)GNSS數(shù)據(jù)，與常用的時(shí)間序列分析方法進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證STL分解法在準(zhǔn)確性和效率方面的應(yīng)用效果。在時(shí)間序列分析領(lǐng)域，常通過(guò)分離提取出的周期信號(hào)與原始時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)r和均方根誤差RMSE來(lái)評(píng)價(jià)不同方法的性能。本文將采用上述2個(gè)指標(biāo)對(duì)時(shí)間序列分析方法應(yīng)用效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.1" 算法準(zhǔn)確性

最小二乘法LS、奇異譜分析SSA和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法EMD是大地測(cè)量領(lǐng)域時(shí)間序列分析常用方法，本文將STL方法與以上3種方法進(jìn)行對(duì)比分析，分別對(duì)中國(guó)大陸構(gòu)造環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)絡(luò)的甘肅定西站（GSDX）、甘肅瑪曲站（GSMA）、四川甘孜站（SCGZ）和四川九龍站（SCJL）4個(gè)GNSS基準(zhǔn)站的高程時(shí)間序列進(jìn)行處理（數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)地震局（https：∥www.cea.gov.cn/）），比較分析它們分離提取季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)的效果。高程時(shí)間序列為2011～2023年的單日解高程時(shí)間序列，各方法分解得到的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)總體結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以明顯看出，LS，SSA，EMD和STL方法都能成功地從各測(cè)站的高程時(shí)間序列中提取出季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)。但是，LS方法僅擬合了趨勢(shì)項(xiàng)、周/年（1 cpy）和半周/年（2 cpy）的諧波，未能捕獲到振幅變化的信息。相比之下，SSA，EMD和STL方法不僅能夠擬合趨勢(shì)項(xiàng)、1 cpy和2 cpy信號(hào)，而且能捕捉到振幅變化，尤其是STL方法表現(xiàn)得更為突出。各方法具體的季節(jié)性信號(hào)分離結(jié)果見(jiàn)圖5～8。

注：原始序列-LS表示原始時(shí)間序列去除LS方法分離的趨勢(shì)項(xiàng)和周期信號(hào)后的殘差序列，原始序列-SSA、原始序列-EMD、原始序列-STL同理；“cpy”表示信號(hào)頻率以1 a為1個(gè)周期，即1次/a，下同。

在圖5和圖6中，對(duì)于GSDX和GSMA兩個(gè)測(cè)站，LS，SSA，EMD和STL方法都有效地提取出了1 cpy和2 cpy季節(jié)項(xiàng)。經(jīng)計(jì)算，對(duì)于這兩個(gè)測(cè)站，LS，SSA，EMD和STL方法提取的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)與原始序列的相關(guān)系數(shù)分別為0.89，0.92，0.91，0.92和0.92，0.93，0.93，0.93，提取信號(hào)的均方根誤差分別為3.54，3.14，3.03，2.98 mm和3.50，3.25，3.24，3.22 mm。這些數(shù)據(jù)說(shuō)明STL方法提取季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)的準(zhǔn)確性與其他3種方法相當(dāng)。

圖7和圖8展示了SCGZ和SCJL站的季節(jié)項(xiàng)分離結(jié)果。如圖7可知，LS，SSA，EMD和STL方法都成功地提取出了1 cpy和2 cpy季節(jié)項(xiàng)，且各方法分離的季節(jié)項(xiàng)具有較強(qiáng)的一致性。經(jīng)計(jì)算，對(duì)于SCGZ站，各方法提取的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)與原始序列的相關(guān)系數(shù)分別為0.92，0.95，0.94和0.95，提取信號(hào)的均方根誤差分別為3.40，2.89，2.97 mm和2.91 mm?？梢钥闯?，在SCGZ基準(zhǔn)站的時(shí)間序列分析中，STL方法比LS和EMD方法效果好，與SSA方法效果相當(dāng)。

如圖8所示，對(duì)于SCJL站，LS，SSA，EMD和STL方法都有效地提取了1 cpy和2 cpy周期信號(hào)。經(jīng)計(jì)算，各方法提取的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)與原始序列的相關(guān)系數(shù)分別為0.92，0.94，0.93和0.94，提取的季節(jié)項(xiàng)的均方根誤差分別為3.35，2.91，3.16 mm和2.89 mm。上述結(jié)果表明，STL方法在提取SCJL站時(shí)間序列中的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)方面與SSA方法表現(xiàn)相當(dāng)，比LS和EMD方法表現(xiàn)更優(yōu)。

通過(guò)對(duì)比圖5～8中的紅色虛線和4個(gè)測(cè)站的分離結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，LS，SSA，EMD和STL方法都能明顯地分離出1 cpy和2 cpy信號(hào)，SSA和STL比LS、EMD方法的分離提取效果更好。

速度場(chǎng)同樣作為維持高精度參考框架的重要數(shù)據(jù)源，其STL方法分離的線性趨勢(shì)項(xiàng)準(zhǔn)確性也需要評(píng)估。假設(shè)各站時(shí)間序列的噪聲模型為白噪聲加冪律噪聲，采用極大似然估計(jì)法計(jì)算各方法分離的趨勢(shì)項(xiàng)，即速率，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。對(duì)于GSDX，GSMA，SCGZ和SCJL測(cè)站而言，STL方法與LS，SSA和EMD方法的速率估計(jì)值基本一致，說(shuō)明STL方法分離的趨勢(shì)項(xiàng)可靠、準(zhǔn)確。

為了更加全面地比較LS，SSA，EMD和STL這4種方法，計(jì)算了它們?cè)?個(gè)測(cè)站上分離的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)與原始序列的相關(guān)系數(shù)和均方根誤差的平均值。相關(guān)系數(shù)的平均值見(jiàn)表2。

LS，SSA，EMD和STL各方法分離提取季節(jié)項(xiàng)的均方根誤差平均值分別為3.45，3.05，3.10，3.00 mm。

以上兩項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：STL方法是一種精確和有效的GNSS高程時(shí)間序列季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)分離方法，其準(zhǔn)確性與SSA方法相當(dāng)，與LS和EMD方法相比效果更佳。

3.2" 運(yùn)算效率

在相同的計(jì)算平臺(tái)環(huán)境下，利用PyCharm Community Edition 2023.2.3軟件，運(yùn)用LS，SSA，EMD，STL方法分別處理3.1節(jié)4個(gè)GNSS基準(zhǔn)站的單日解高程時(shí)間序列。統(tǒng)計(jì)它們?cè)谕粭l件下分離提取季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)的運(yùn)算時(shí)間，具體見(jiàn)表3。

根據(jù)表3所示的數(shù)據(jù)可以看出，在分離提取上述4個(gè)測(cè)站高程時(shí)間序列的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)時(shí)，LS，SSA，EMD，STL方法所用的時(shí)間平均值分別為3.50，5.77，7.14，4.63 s。STL方法比LS方法用時(shí)多，但是比SSA和EMD方法用時(shí)少。這一結(jié)果表明，STL方法是一種效率較高的GNSS時(shí)間序列分析方法。

4" 結(jié)" 論

本文主要介紹了基于局部加權(quán)回歸的季節(jié)項(xiàng)趨勢(shì)分解法（STL）在大地測(cè)量領(lǐng)域時(shí)間序列分析中的應(yīng)用效果。STL方法通過(guò)局部加權(quán)回歸先估計(jì)季節(jié)項(xiàng)，在估計(jì)出季節(jié)性成分后，對(duì)數(shù)據(jù)去季節(jié)化，接著使用局部回歸估計(jì)趨勢(shì)項(xiàng)，一旦季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)被分離出來(lái)，原始數(shù)據(jù)中剩余的部分即為殘差。STL分解是一個(gè)迭代過(guò)程，需要多次循環(huán)以優(yōu)化趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)項(xiàng)的估計(jì)結(jié)果。通過(guò)模擬數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)GNSS數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了STL方法分離趨勢(shì)項(xiàng)和季節(jié)項(xiàng)的有效性和可靠性，同時(shí)，通過(guò)與LS，SSA，EMD三種常用的時(shí)間序列分析方法進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明：在準(zhǔn)確性方面，STL比LS和EMD兩種方法效果好，與SSA方法相當(dāng)；在運(yùn)算效率方面，STL不如LS方法運(yùn)算速度快，但是比SSA和EMD兩種方法運(yùn)算效率高。STL方法的準(zhǔn)確性和高效性使其非常適合于大規(guī)模GNSS站點(diǎn)時(shí)間序列的季節(jié)項(xiàng)和趨勢(shì)信號(hào)提取。

參考文獻(xiàn)：

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（

編輯：高小雲(yún)

）

Analysis of GNSS elevation time series based on STL

LI Chenfeng1，TIAN Kun1，CHEN Wen2

（1.Three Gorges Geotechnical Engineering Co.，Ltd.，（Wuhan），Wuhan 430074，China；" 2.Institute of Territorial Spatial Survey and Planning of Jiangxi Province，Nanchang 330025，China）

Abstract： To address the efficiency issues in separating seasonal signals and long-term trend components from large-scale GNSS coordinate time series，we introduced the seasonal-trend decomposition using Loess （STL） method based on local weighted regression，and analyzed its application effectiveness in GNSS time series analysis.Based on comparative analysis，STL was applied to separate and extract seasonal and long-term trend components from simulated signals and GNSS elevation time series.The results showed that the STL method can accurately separate the seasonal signals and long-term trend components in GNSS elevation time series.Compared to other commonly used time series analysis methods，this method had a higher computational efficiency.STL is very suitable for signal separation in large-scale GNSS coordinate time series due to its efficiency and accuracy.

Key words：

satellite geodesy； STL； GNSS； time series； seasonal signal