摘要：

由于利用傳統(tǒng)高程控制測量方法構(gòu)建長江流域中游平原水道區(qū)域高精度高程基準(zhǔn)模型較為困難，提出了考慮EGM2008 地球重力場模型和不同精度GNSS/水準(zhǔn)點在模型精化過程中的權(quán)重并適當(dāng)?shù)挚勾植畹脑搮^(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型建立方法。結(jié)果表明：該方法可實現(xiàn)長江流域中游高程基準(zhǔn)精化模型的建立，更加逼近真實高程異常狀況，減少繁雜的水準(zhǔn)測量工作，提高外業(yè)測量生產(chǎn)效率。

關(guān)鍵詞：

似大地水準(zhǔn)面精化； 抗差穩(wěn)健估計； 二次曲面擬合； 高程異常； 平原水道區(qū)域； 長江流域中游

中圖法分類號：P224.1；P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.15974/j.cnki.slsdkb.2025.03.008

文章編號：1006-0081（2025）03-0045-07

收稿日期：

2024-03-27

基金項目：

2023年度水文局科技創(chuàng)新基金項目“平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型建立”（SWJ-CJX20Y04）

作者簡介：

張曉萌，女，工程師，碩士，主要從事攝影測量與遙感、河道勘測等方面的工作。E-mail：2927626306@qq.com

通信作者：

吳" 昊，男，工程師，碩士，主要從事攝影測量與遙感、河道勘測等方面的工作。E-mail：1090818964@qq.com

引用格式：

張曉萌，吳昊.長江流域中游似大地水準(zhǔn)面精化模型構(gòu)建及應(yīng)用

［J］.水利水電快報，2025，46（3）：45-51.

0" 引" 言

為建立長江中游平原水道區(qū)域高程基準(zhǔn)模型，傳統(tǒng)水準(zhǔn)測量方法必須通過與國家高程控制網(wǎng)點的水準(zhǔn)聯(lián)測傳遞獲取高程。受地理環(huán)境、交通條件、基礎(chǔ)數(shù)據(jù)等因素的限制，該方法作業(yè)效率低且降低了控制點高程精度。為滿足測量要求，需提高水準(zhǔn)測量等級，但又將進(jìn)一步增加野外測量工作量、延長測量周期［1］。引入GNSS技術(shù)開展水準(zhǔn)測量可大大提高測量效率和精度。GNSS技術(shù)可獲取任意點的大地高，將其轉(zhuǎn)換為用戶需求的正常高，但需要建立基于相應(yīng)區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面模型［2］。趙薛強(qiáng)等［3］利用GNSS觀測技術(shù)和重力場模型，構(gòu)建了考慮地形特征的高精度區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型，采用2種方法對高程模型和高程改正成果進(jìn)行精度評價，結(jié)果表明精化結(jié)果滿足數(shù)字孿生對基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的精度要求。趙忠海等［4］參考水準(zhǔn)測量規(guī)范的水準(zhǔn)允許限差，評定 GNSS 水準(zhǔn)精度的等效水準(zhǔn)等級。按照檢核點和已知點的距離計算相應(yīng)的理論水準(zhǔn)等級限差，基于 EGM2008 模型的方法可以達(dá)到四等水準(zhǔn)測量精度水平，而其他方法有個別點超限，因此穩(wěn)定、可靠的區(qū)域高程擬合宜選擇基于 EGM2008 重力場模型方法。劉杰、肖杰等［5-6］利用EGM2008 模型進(jìn)行擬合研究，試驗得出其可達(dá)到四等水準(zhǔn)測量要求。柴志勇等［7］對比了EGM96模型和EGM2008模型進(jìn)行GNSS 高程擬合求解正常高的方法，得出EGM2008模型在面積大或地形起伏大時擬合求解正常高的效果更優(yōu)，利用少量水準(zhǔn)點和EGM2008模型，在20～35 km范圍內(nèi)即可獲取較高精度的正常高。王正亮、羅文生、蔣勇等［8-10］采用不同數(shù)學(xué)擬合模型，發(fā)現(xiàn)平原和山區(qū)EGM2008重力場模型輔助高程擬合效果、網(wǎng)形設(shè)計、平差計算更優(yōu)，并指出GNSS觀測精度和分辨率更高的重力場模型將進(jìn)一步提高高程擬合效果。

移去-恢復(fù)法是一種結(jié)合重力法和幾何法的組合法，它是目前公認(rèn)的用于計算局部或區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的標(biāo)準(zhǔn)算法 ［11］。龔循強(qiáng)等［12］系統(tǒng)對比了加權(quán)總體最小二乘和穩(wěn)健加權(quán)最小二乘方法，發(fā)現(xiàn)后者參數(shù)估計結(jié)果更加可靠。劉亞彬等［13］構(gòu)造了基于IGG3 的加權(quán)總體最小二乘抗差高程擬合模型，考慮了杠桿觀測值的影響，對誤差判別的敏感度更高，計算結(jié)果更加可靠，效率更高。綜上，本文考慮不同精度GNSS/水準(zhǔn)點在模型精化過程中的權(quán)重，并適當(dāng)?shù)挚勾植顚ψ罱K高程異常殘差擬合結(jié)果的影響，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)化方差，利用選權(quán)迭代法求解，建立了平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型。

1" 平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化方法

本文針對GNSS/水準(zhǔn)點具備不同的觀測精度以及平差過程中系數(shù)矩陣存在粗差的情形，提出了平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化方法，主要采用移去-恢復(fù)法及穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法。移去-恢復(fù)法是根據(jù)大地水準(zhǔn)面的物理特性，對大地水準(zhǔn)面高的計算，可分解為幾個部分，即中、長波分量，短波分量和殘余部分［14-15］。中、長波部分可利用一個合適的全球擾動位模型計算確定［16］，稱為模型大地水準(zhǔn)高；短波分量利用具有足夠分辨率的數(shù)字地形模型（DTM）計算；殘余部分則由殘差重力異常按Stokes公式計算確定，計算流程見圖1。

穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法，考慮到總體最小二乘解決方案適用于解決非線性拉格朗日函數(shù)問題，也稱為觀測向量含隨機(jī)誤差模型（Errors-in-variables，EIV）［17］。觀測向量含隨機(jī)誤差的EIV模型通過以下函數(shù)關(guān)系定義：

y=（A-EA）ξ+ey（1）

式中：y為受隨機(jī)誤差ey影響的n×1觀測向量；n為觀測值個數(shù)；A為受隨機(jī)誤差矩陣EA影響的n×m系數(shù)矩陣，m為未知參數(shù)個數(shù)；ξ為m×1的參數(shù)向量，誤差隨機(jī)特性定義如下：

［ey" eA］=eyvec（EA）

（2）

式中：vec表示將矩陣堆疊為列向量的操作符；ey、vec（EA）分別服從均值為0，方差分別為σ20×Qy和σ20×QA的正態(tài)分布，Qy和QA分別為誤差向量ey和eA的對稱非正定的協(xié)方差系數(shù)矩陣，σ20為未知的方差分量，假設(shè)：

Qx=InQA=In×mQy=In （3）

式中：In，In×m表示n×n的單位矩陣、n×m的主對角線均為1的矩陣。將原始嚴(yán)格條件替換為

Qy=p-1yQA=Q0QxQ0=p-10Qx=p-1x（4）

式中：Q0∈Rm×m和Qx∈Rn×n分別表示列向量間的相關(guān)性和列向量內(nèi)部的相關(guān)性；QA協(xié)方差矩陣為Q0∈Rm×m和Qx∈Rn×n的Kronecker-Zehfuss積（）。綜上，穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合方法的平差過程分3步。

（1） 第一步：

v

Euclid ExtrazB@ 0=0ξ

Euclid ExtrazB@ 0=N-1cξ

Euclid ExtrazB@ 1={AT{Qy+［（ξ

Euclid ExtrazB@ 0）TQ0ξ

Euclid ExtrazB@ 0］Qx｝-1A｝-1×（5）

AT｛Qy+［（ξ

Euclid ExtrazB@ 0）TQ0ξ

Euclid ExtrazB@ 0］Qx｝-1y

式中：v

Euclid ExtrazB@ 0表示初次迭代時參數(shù)變量ξ改正值的賦值；ξ

Euclid ExtrazB@ 0表示初次迭代時參數(shù)變量ξ的賦值；ξ

Euclid ExtrazB@ 1表示第一次迭代后參數(shù)變量ξ的更新賦值；［N，c］=ATPy［A，y］，即N=ATPyA，c=ATPyy，上標(biāo)為0表示迭代開始前初始階段，上標(biāo)為1表示第一次迭代，上標(biāo)為T表示對應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，上標(biāo)為-1表示對應(yīng)矩陣的逆矩陣。

（2） 第二步：

λ

Euclid ExtrazB@ i=（Qy+［（ξ

Euclid ExtrazB@ i）TQ0ξ

Euclid ExtrazB@ i］Qx）-1×（y-Aξ

Euclid ExtrazB@ i）（6）

v

Euclid ExtrazB@ i=（λ

Euclid ExtrazB@ i）TQxλ

Euclid ExtrazB@ i（7）

ξ

Euclid ExtrazB@ （i+1）=（AT（Qy+［（ξ

Euclid ExtrazB@ i）TQ0ξ

Euclid ExtrazB@ i］Qx）-1A-v

Euclid ExtrazB@ iQ0）-1AT（Qy+［（ξ

Euclid ExtrazB@ i）TQ0ξ

Euclid ExtrazB@ i］×Qx）-1y（8）

（3） 第三步：

σ20=λ

Euclid ExtrazB@ T（y-Aξ

Euclid ExtrazB@ ）r（9）

式中：上標(biāo)為i表示第i次迭代；λ

Euclid ExtrazB@ i為計算v

Euclid ExtrazB@ i的中間變量表達(dá)式；v

Euclid ExtrazB@ i表示第i次迭代后參數(shù)變量ξ改正值的更新賦值；ξ

Euclid ExtrazB@ （i+1）表示第i+1次迭代后參數(shù)變量ξ的更新賦值；式（9）為利用每一次迭代獲取的參數(shù)變量ξ、中間變量表達(dá)式λ

Euclid ExtrazB@ 、受隨機(jī)誤差ey影響的n×1觀測向量y，受隨機(jī)誤差矩陣EA影響的n×m系數(shù)矩陣A，r=n-m計算的方差，按順序迭代執(zhí)行第一步至第三步，直至Δξ（i+1）=‖ξ

Euclid ExtrazB@ （i+1）-ξ

Euclid ExtrazB@ i‖lt;ε（對于給定的ε），然后根據(jù)式（9）計算最終的方差σ20。總體計算流程見圖2。

2" 試驗設(shè)置

試驗區(qū)域位于長江流域中游的碾盤山—漢江河口

注：H為點的大地高；x，y，h分別為點的x，y平面坐標(biāo)及85高。

段中的沙洋—漢江河口段，隸屬于湖北省，途徑鐘祥、荊門、潛江、沙洋、天門、仙桃、武漢等縣市，沿程有漢北河、新溝河等數(shù)條大小支流匯入，也有東荊河分流流出。仙桃以上至碾盤山河段，有碾盤山及興隆兩個水利樞紐工程。該河段河道洲灘、潛洲較多，除漢江秋汛期間外，水位均較枯，常規(guī)地形測量工效低、難度大。

試驗數(shù)據(jù)為2023年經(jīng)過四等水準(zhǔn)聯(lián)測過的C、E級GNSS水準(zhǔn)點。圖3為沙洋—漢江河口河段GNSS水準(zhǔn)控制點及檢核點的分布情況，其中綠色圖釘表示控制點（76個），白色圖釘表示檢核點（21個），藍(lán)線表示漢江中游流域水邊線。圖4展示了基于EGM2008地球重力場模型計算模型高程異常。利用EGM2008模型，基于WGS84橢球參考系統(tǒng)和Geoid數(shù)學(xué)函數(shù)、長江流域中游GNSS水準(zhǔn)點數(shù)據(jù)，最終計算出經(jīng)過地形改正后的EGM2008地球重力場模型高程異常。

3" 試驗結(jié)果及檢核分析

本文采用移去-恢復(fù)法和不同數(shù)學(xué)擬合模型精化區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型。圖5所示為對沙洋—漢江河口河段區(qū)域采用不同數(shù)學(xué)擬合方法的似大地水準(zhǔn)面精化模型（包括6種克里金插值方法、隱藏層神經(jīng)元個數(shù)分別為11及17的兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法、二次曲面最小二乘法擬合方法及基于穩(wěn)健加權(quán)的二次曲面最小二乘法擬合方法）的精度統(tǒng)計結(jié)果，在高程異常殘差及經(jīng)緯度觀測值無粗差的情形下，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法、最小二乘及穩(wěn)健加權(quán)方法的似大地水準(zhǔn)面精化模型的內(nèi)外符合精度均優(yōu)于基于克里金插值方法的似大地水準(zhǔn)面精化模型，總體上基于移去-恢復(fù)法和不同數(shù)學(xué)擬合模型精化的似大地水準(zhǔn)面模型的外符合精度和內(nèi)符合精度均優(yōu)于5 cm，滿足區(qū)域級似大地水準(zhǔn)面精化精度要求，證實了基于移去-恢復(fù)法的似大地水準(zhǔn)面精化模型的有效性。考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型受試驗數(shù)據(jù)粗差影響較大且模型參數(shù)選取較為復(fù)雜、模型收斂時間較長，不利于觀測值存在粗差的情況下構(gòu)建似大地水準(zhǔn)面精化模型，為進(jìn)一步提升試驗區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型抵抗粗差的性能，本文以最小二乘的穩(wěn)健加權(quán)方法作為基準(zhǔn)方法，添加高程異常殘差觀測值粗差、經(jīng)緯度觀測值粗差后開展了對比試驗。

對于觀測向量存在粗差的情形，選擇穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合方法精化EGM2008地球重力場模型，對緯度觀測值、經(jīng)度觀測值、高程異常殘差觀測值均添加了粗差，并和未添加粗差的原始緯度觀測值、原始經(jīng)度觀測值和原始高程異常觀測值開展對比試驗，用于驗證穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合方法對于觀測值中存在粗差時抵抗粗差影響的有效性。

針對沙洋—漢口河口試驗區(qū)域，針對原始觀測值隨機(jī)設(shè)定3個位置：4、34、64并固定作為添加粗差的觀測值。為簡化起見，將不同粗差設(shè)置試驗簡記如下。

（1） 添加粗差的緯度觀測值。be1_10_t1，be1_10_t2，be1_10_t3，be2_10_t1，be2_10_t2，be2_10_t3分別表示針對原始的緯度觀測值，添加1°及2°的粗差，其中K0參數(shù)設(shè)置為1.0，t1、t2、t3分別表示添加一個粗差及兩個粗差情形下的3種組合）。

（2） 添加粗差的經(jīng)度觀測值。le1_10_t1，le1_10_t2，le1_10_t3，le2_10_t1，le2_10_t2，le2_10_t3分別表示針對原始數(shù)值的經(jīng)度觀測值，添加1°及2°的粗差，其中K0參數(shù)設(shè)置為1.0，t1、t2、t3分別表示添加一個粗差及兩個粗差情形下的3種組合）。

（3） 添加粗差的高程異常殘差觀測值。he1_10_t1，he1_10_t2，he1_10_t3表示針對原始數(shù)值的高程異常殘差觀測值，分別添加1 m的粗差，其中K0參數(shù)設(shè)置為1.0，t1、t2、t3分別表示添加一個粗差及兩個粗差情形下的3種組合。

（4） 未添加任何粗差的高程異常殘差觀測值（he_base）。圖6和圖7分別展示了未添加任何粗差的基于穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法的控制點和比測點高程異常。圖8和圖9分別展示了控制點和比測點的高程異常殘差，得出基于穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法可有效改善研究區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型精度。

of height anomaly residuals corresponding to the addition of one coarse error （1m）

圖10和圖11分別展示了基于穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法控制點和比測點的高程異常-高程異常殘差觀測值添加1處1m誤差。圖12和圖13分別展示了其對應(yīng)的高程異常殘差，圖14展示了含不同高程異常殘差觀測值、緯度觀測值及經(jīng)度觀測值粗差的穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法的精度對比結(jié)果，大部分試驗對應(yīng)的高程轉(zhuǎn)換模型的外符合精度和內(nèi)符合精度均優(yōu)于50 cm，可見基于穩(wěn)健加權(quán)最小二乘二次曲面擬合法，在針對高程異常殘差觀測值存在誤差的情況下，仍可有效改善研究區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型精度，體現(xiàn)其抵抗粗差影響的有效性。

4" 結(jié)" 語

本文針對長江流域中游的平原水道區(qū)域地形特征，提出了考慮EGM2008 地球重力場模型和不同精度GNSS/水準(zhǔn)點在模型精化過程中的權(quán)重，并適當(dāng)?shù)挚勾植畹拈L江流域中游平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型建立方法。該方法可滿足GNSS水準(zhǔn)點訓(xùn)練數(shù)據(jù)的代表性和隨機(jī)性及精度和分辨率要求，且數(shù)據(jù)預(yù)處理操作有利于數(shù)學(xué)擬合模型收斂，適當(dāng)加權(quán)可有效減小模型誤差。在漢江河段采用移去-恢復(fù)法和建立不同數(shù)學(xué)模型精化EGM2008地球重力場模型，形成最佳適配漢江河段的區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化模型，規(guī)避了參數(shù)轉(zhuǎn)換模型作用范圍受限及分段建立模型的劣勢。本文提出的平原水道區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化方法，可建立長江流域中游高程基準(zhǔn)精化模型，更加貼合真實高程異常，提高外業(yè)測量生產(chǎn)效率。

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（

編輯：張" 爽

）

Construction and application of Quasi-geoid Refinement Model in middle reaches of Changjiang River Basin

ZHANG Xiaomeng，WU Hao

（Hydrological and Water Resources Survey Bureau in the Middle Yangtze River，Hydrology Bureau of Changjiang Water Resources Commission，Wuhan 430012，China）

Abstract： In view of the difficulty of building a high-precision elevation datum model of the plain waterway in the middle reaches of Changjiang River Basin by traditional elevation control survey method，we proposed a regional quasi-geoid refinement modeling method that take into account the EGM2008 earth gravity field model and the weights of different precision GNSS/leveling points in the model refinement process and appropriately resist the coarse difference.The results show that：the regional quasi-geoid refinement model of the plain waterway in the middle reaches of Changjiang River Basin can be established seamlessly by this method，which can more realistically approximate the real elevation anomaly，reduce the complicated leveling measurement work and improve the field measurement productivity.

Key words：

Quasi-geoid Refinement； anti-difference robust estimation； quadratic surface fitting； elevation anomaly； plain waterway area； middle reaches of Changjiang River Basin