從幾何體的分類角度看，圓錐屬于簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體，將直角三角形繞著它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，即可得到圓錐.關(guān)于圓錐?？紗?wèn)題，本文中擬通過(guò)“一題多問(wèn)”的方式加以具體剖析，旨在幫助學(xué)生理清常用解題思維方法，提高空間想象能力以及運(yùn)算求解能力.

1 一題多問(wèn)

（原創(chuàng)題）如圖1，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，且圓錐的母線長(zhǎng)l=3，底面圓的半徑r=1.

（1）求圓錐的體積、側(cè)面積和表面積；

（2）求過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值；

（3）求圓錐的內(nèi)切球的表面積和體積；

（4）求圓錐的外接球的表面積和體積；

（5）若一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，求小蟲(chóng)爬行的最短距離；

（6）若一個(gè)正四面體在圓錐的內(nèi)部可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，求該正四面體的棱長(zhǎng)的最大值.

2 問(wèn)題剖析

（1）分析：直接套用一般結(jié)論即可迅速求解圓錐的體積和面積問(wèn)題.圓錐的體積公式V=13πr2h，側(cè)面面積S側(cè)=πrl，表面積S表=πr2+πrl.

解析：根據(jù)已知條件可得圓錐的體積V=13π×12×32－12=223π，側(cè)面積S側(cè)=π×1×3=3π，表面積S表=π×12+π×1×3=4π.

（2）分析：觀察圓錐（母線長(zhǎng)為l）的軸截面三角形的頂角θ與90°之間的大小關(guān)系，再結(jié)合如下一般性規(guī)律即可順利獲解.若θ≤90°，則此時(shí)軸截面三角形的面積最大，且最大值為12l2sin θ；若θgt;90°，則當(dāng)截面三角形的頂角為直角時(shí)，截面面積最大，且最大值為12l2.應(yīng)注意的是，當(dāng)θgt;90°時(shí)，并不是軸截面的面積最大.

解析：在Rt△ASO中，可得sin∠ASO=AOAS=rl=13lt;12，則∠ASOlt;30°，所以∠ASB=2∠ASOlt;60°.因此，易知軸截面的面積最大，從而求出△ABS的面積即可.

方法1：由sin∠ASO=13，得cos∠ASO=223，所以sin∠ASB=sin 2∠ASO

=2×13×223=429.

故S△ABS=12SA·SB·sin∠ASB=12×3×3×429=22.

方法2：因?yàn)橐字猄O⊥AB，且AB=2r=2，SO=SA2－AO2=32－12=22，所以△ABS的面積為12×2×22=22.

綜上可知，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的軸截面的面積最大，最大值為22.

（3）分析：根據(jù)軸截面，借助有關(guān)平面幾何或三角函數(shù)知識(shí)，靈活求解圓錐的內(nèi)切球的半徑是解題的關(guān)鍵.只要得到了內(nèi)切球的半徑，那么內(nèi)切球的表面積和體積套用公式即可.相關(guān)公式有S球面=4πR2，V球=43πR3.

解析：如圖2所示，先畫(huà)出軸截面，記內(nèi)切球的球心為O′，則圓O′是△ABS的內(nèi)切圓，其中兩點(diǎn)O，N都是切點(diǎn).關(guān)于內(nèi)切球半徑的求解，給出以下兩種方法.

方法1：由于易知Rt△SNO′∽R(shí)t△SOA，所以NO′OA=SO′SA.設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為R，則由圖可知NO′=R，SO′=SO－OO′=22－R.

又因?yàn)镺A=1，SA=3，所以可得R1=22－R3，解得R=22.

方法2：設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為R，則根據(jù)Rt△SNO′可得到sin∠NSO′=NO′SO′

=NO′SO－OO′=R22－R；根據(jù)Rt△SOA可得sin∠NSO′=AOSA=13.

所以R22－R=13，解得R=22.

故圓錐的內(nèi)切球的表面積為S球面=4π×222=2π，體積為V球=43π×223=23π.

（4）分析：由于圓錐的外接球的球心必在圓錐的高線上，所以根據(jù)軸截面，利用直角三角形的三邊滿足勾股定理，可靈活構(gòu)建關(guān)于外接球的半徑的方程，解之可求得外接球的半徑；最后利用公式即可得到圓錐的外接球的的表面積和體積.

解析：如圖3所示，先畫(huà)出軸截面，記外接球的球心為O′，則圓O′是△ABS的外接圓.

設(shè)圓錐的外接球的半徑為R.由圖知AO′=R，

OO′=SO－SO′=22－R，又因?yàn)锳O=1，所以根據(jù)

Rt△AOO′，利用勾股定理可得到AO′2=AO2+OO′2，即R2=12+（22－R）2，解得R=928.

故所求圓錐的外接球的表面積為S球面=4π×9282=818π，體積為V球=43π×9283=243264π.

（5）分析：對(duì)于“沿著圓錐表面爬行一圈，求走過(guò)路程的最小值”類問(wèn)題，具體求解的關(guān)鍵是借助圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖進(jìn)行分析——先明確最小值情境是什么，再結(jié)合圖形運(yùn)用解三角形知識(shí)求解即可.顯然，將立體幾何問(wèn)題平面化，有利于直觀分析最小值情境，進(jìn)而獲得目標(biāo)問(wèn)題的完美解答.

解析：設(shè)SA的靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)為P，如圖4所示，先畫(huà)出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則由圖易知小蟲(chóng)走過(guò)的最短路程為線段AP，故即求線段AP的長(zhǎng)度.

根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)可得，扇形的弧長(zhǎng)為2π×1=2π.設(shè)∠ASP=θ，

根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得2π=SA·θ，即2π=3θ

，所以θ=2π3.

于是，在△APS中由余弦定理得AP2=SA2+SP2－2SA·SPcos θ，又SA=3，SP=1，所以

AP2=32+12－2×3×1×cos2π3=13，則AP=13.

故小蟲(chóng)爬行的最短距離為13.

（6）分析：正四面體在圓錐的內(nèi)部可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，等價(jià)于該正四面體的外接球在圓錐的內(nèi)部可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，據(jù)此易知——正四面體的棱長(zhǎng)最大，等價(jià)于該正四面體的外接球最大，而該外接球最大即為圓錐的內(nèi)切球.因此，圓錐的內(nèi)切球的半徑，即為最大值情境下該正四面體的外接球的半徑，再利用正四面體的外接球的半徑即可求得所求棱長(zhǎng)的最大值.顯然，此類最大值問(wèn)題對(duì)空間想象能力的考查較強(qiáng)，而處理的關(guān)鍵就是等價(jià)轉(zhuǎn)化.

關(guān)于正四面體，以下常用結(jié)論必須熟記：若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則該正四面體的表面積為3a2，高為63a，體積為212a3，外接球的半徑為64a，內(nèi)切球的半徑為612a.

解析：根據(jù)對(duì)圓錐之一幾何體的思考，易知若一個(gè)正四面體在圓錐的內(nèi)部可以隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，等價(jià)于該正四面體的外接球就是圓錐的內(nèi)切球.

由于本題第（3）問(wèn)已求得圓錐的內(nèi)切球半徑為22，所以該正四面體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，該正四面體的外接球的半徑為22.

于是，設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為a，則有64a=22，解得a=233.

故所求該正四面體的棱長(zhǎng)的最大值為233.

3 總結(jié)

總之，以圓錐為載體而設(shè)置的數(shù)學(xué)問(wèn)題較多，可以與“球體”（涉及內(nèi)切球、外接球）緊密聯(lián)系起來(lái)靈活設(shè)計(jì)問(wèn)題，也可以與“最值”（涉及最大值、最小值）問(wèn)題緊密聯(lián)系起來(lái)靈活設(shè)計(jì)問(wèn)題.從解題運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法看，需要關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程思想在解題中的靈活、綜合運(yùn)用.故關(guān)注圓錐?？紗?wèn)題，有利于鞏固所學(xué)知識(shí)與方法，有利于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生在直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理方面的核心素養(yǎng).