摘 要：利用導數畫函數圖象可以加深對函數的理解，促進數學素養(yǎng)提升.教學過程中，首先教師可以加強導數概念教學，幫助學生深入理解導數與函數單調性的關系；其次通過具體實例和圖象輔助學生構建極限概念，準確繪制關鍵點、線；最后完善畫圖細節(jié)，培養(yǎng)學生良好的畫圖習慣.

關鍵詞：數形結合；導數；函數圖象；單調性

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）01-0027-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡介：劉志成，本科，高級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：重慶市教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題（渝教規(guī)辦［2022］ 4號）“基于SOLO理論的高中學生數據分析素養(yǎng)培養(yǎng)策略研究”（項目編號：K22YG120575）．

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出要重視圖形直觀，強化數形結合，要求學生能夠運用圖形解決問題.畫函數圖象是培養(yǎng)學生數形結合思想的重要途徑和必要手段.高中導數的學習可以幫助學生深入理解函數性質，優(yōu)化問題解決路徑，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.利用導數畫出函數圖象可以直觀呈現函數特征，確定函數的關鍵點，判斷函數的單調性，輔助精確計算，培養(yǎng)學生數形結合思維方式，增強學生對函數的整體把握［1］.

1 理論依據

建構主義理論認為，利用導數畫函數圖象可以幫助學生通過直觀方式理解和建構抽象概念；多元智能理論認為，利用導數畫函數圖象有助于發(fā)揮學生的空間智能和視覺智能；認知心理學理論認為，圖象化的表達，可以幫助學生更好地處理和記憶信息；符號互動理論認為，畫圖作為一種符號表達，促進了學生與知識、教師和同伴之間的互動；經驗學習理論認為，學生可以在畫圖過程中積累經驗，從而加深對知識的理解和掌握［2］.但是筆者經過教學實踐發(fā)現，學生對于繪制基本初等函數等簡單圖象不存在太大問題，但對于復雜函數，特別是需要利用導數甚至借用極限畫函數圖象存在困難.

2 教學實踐——畫圖常見錯誤

2.1 缺乏對導數本質的理解，無法準確畫出走勢圖

部分同學不理解利用導數判斷函數單調性的本質，導致對極值點定義的理解是模糊的，無法準確畫出原函數圖象走勢，例如筆者在實際教學中碰到的以下題目.

例1 如圖1是y=f（x）的導函數f ′（x）的圖象，請畫出y=f（x）的大致圖象.

錯誤分析 學生的易錯點在于分不清原函數單調性的分界點是哪一個，有同學錯誤地認為1，3是原函數極值點，從而畫圖錯誤.在學生能夠利用導數圖象判斷函數單調性，并且準確說出原函數f（x）在（-2，-1），（2，4）單調遞減，（-1，2），（4，+∞）單調遞增后，畫出了正確的原函數的大致圖象.

變式糾錯 為了進一步加深學生對利用導數畫出原函數圖象的理解，筆者設計了兩道變式練習題.

變式1 若圖1為y=xf ′（x）的函數圖象，請畫出原函數f（x）的大致圖象.

當xgt;0時，f ′（x）在區(qū)間（0，2），（4，+∞）大于0，原函數f（x）在此區(qū)間上單調遞增；當xlt;0時，f ′（x）在區(qū)間（-2，-1） 大于0，原函數f（x）在此區(qū)間上單調遞增，學生畫出的圖象如圖2，由于極值沒有確定，所以圖象不唯一.

變式2 若圖1為函數y=（x-1）f ′（x）圖象，請畫出原函數f（x）的大致圖象.

2.2 對極限不理解，不能準確描繪關鍵點，無法確定漸進線

有些函數存在漸近線，通過極限可以確定.但是高中對極限的要求比較基礎，學生對極限的不理解，導致了畫圖錯誤.

例2 畫出函數f（x）=lnxx的圖象

學生畫圖典型錯誤：如圖3所示.

學生畫圖過程如下：

定義域為（0，+∞），求導得f ′（x）=1-lnxx2.

因為當∈（e，+∞）時，f ′（x）lt;0，所以f（x）在x∈（e，+∞）上單調遞減.

又因為當x∈（0，e）時，f ′（x）gt;0，所以f（x）在（0，e）上單調遞增，且f（e）=1e.

所以學生會畫出如圖3所示的錯誤圖象.這是因為學生不了解極限，從而忽略了當x→+∞時，f（x）→0+而導致的.

正確解答：當xgt;e，lnxgt;0，f（x）gt;0，正確的圖象如圖4所示.

2.3 忽略函數定義域，導致畫圖錯誤

日常教學中，教師要求學生遇見函數問題先求定義域，學生也確實照做了，但是并不影響學生在畫圖時會再次忽略定義域，從而導致畫圖錯誤.

例3 畫f（x）=xlnx的圖象.

學生畫圖典型錯誤：如圖5所示.

學生畫圖過程：

定義域為（0，1）∪（1，+∞），求導得f ′（x）=lnx-1（lnx）2.

根據導數研究函數單調性的法則可知f（x）在（0，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增.又因為f（e）=e，從而得到錯誤圖象.這是因為學生忽略了定義域，而且沒有仔細分析x→

1+時，f（x）→+∞；x→1-時，f（x）→-∞導致.

正確解答：f（x）在（0，1），（1，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增.結合極限，得到正確圖象如圖6.

3 策略分析

3.1 正確理解導數與函數單調性之間的關系

在教學時需要著重注意以下兩點：首先，導數看正負，原函數看增減.若函數在某區(qū)間內的導數大于零，則函數在該區(qū)間單調遞增；若函數在某區(qū)間內的導數小于零，則函數在該區(qū)間單調遞減.其次，導數的零點.導數的變號零點為極值點，函數單調性有改變，導數的不變號零點應為凹凸性變化的點，但沒有單調性的變化.3.2 建立極限概念，準確描繪函數圖象走勢

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對極限內容的要求主要體現在了解極限概念，掌握極限運算和認識極限在數學中的重要性，通過實例理解極限思想.在教學過程中，可以用三步走的方式幫助學生建立極限概念，從而準確描繪圖象走勢.

第一步，通過實例介紹高中的兩個極限，即limx→∞1x=0，limx→01x=∞，一方面可以通過舉等比數列的實例讓學生感知，如舉例110，1100，11 000，…，發(fā)現當分母趨向于無窮時，整個值趨向于0；同理可以舉例10.1，10.01，10.001，…，發(fā)現當分母趨向于0時，整個值趨向于無窮.另一方面也可以通過反比例圖象發(fā)現，當x→∞時，1x →0，當x→0時，1x →∞.

第二步，利用理論和實例讓學生感知極限的四則運算.如在極限的加法中，學生可以通過舉例和生活經驗快速得到+∞+（+∞）→+∞，+∞+0→+∞，但是對于+∞+（-∞）→+∞的結果就持懷疑態(tài)度，這時候可以讓學生合作探究，不停舉反例得到結論.

第三步，繪制具體圖象，鞏固練習.畫出函數

y=xex，y=exx，y=xex，y=xlnx，y=lnxx，y=xlnx等常用函數的圖象.

3.3 完善畫圖細節(jié)，注意圖象關鍵信息

完善畫圖細節(jié)可能需要從以下幾個方面考慮.首先，求導之前需要求定義域，畫任何函數圖象之前都得再次關注定義域，定義域取不到的地方有可能是函數的漸近線；其次，通過導數計算準確判斷出函數的趨勢變化，計算出關鍵點如零點、極值點、間斷點等；最后，繪制曲線時保持平滑，檢查圖象是否符合函數的性質特征.

4 結束語

數形結合思想是高中數學中非常重要的思想，畫圖是培養(yǎng)數形結合思想的重要手段之一.教師應當強調其和畫圖習慣在數學學習中的重要性，在教學過程中多進行畫圖示范，引導學生學習，同時提供足夠的練習機會，逐步提高難度，培養(yǎng)學生良好的畫圖習慣，鞏固畫圖技能，進而培養(yǎng)數學素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 杜軍利.導數與函數圖象［J］.數理天地（高中版），2024（01）：19-21；

［2］ 張志剛.“補”教材之“白”促數學理解：以“利用導數判斷函數的單調性”教學為例［J］.中學數學研究，2023（10）：12-14.

［責任編輯：李慧嬌］