摘" 要：針對預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛效應(yīng)的精確計算問題，基于fib 2010《歐洲混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》給出的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力與時間的松弛關(guān)系，推導(dǎo)表征預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，并構(gòu)建該本構(gòu)模型的數(shù)值迭代算法，在ABAQUS的UMAT二次開發(fā)平臺上編寫該模型的數(shù)值求解程序。分別針對無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)和有黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)2種情況，對程序的正確性和適用性進行了驗證。研究表明編寫的計算程序可實現(xiàn)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛效應(yīng)的準確模擬，提出的應(yīng)力松弛模型的程序開發(fā)思路也適用于ANSYS、ADINA等有限元軟件。

關(guān)鍵詞：預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)；應(yīng)力松弛；本構(gòu)模型；數(shù)值算法；二次開發(fā)

中圖分類號：TU501 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2025）04-0021-04

Abstract： Aiming to address the precise calculation issue of stress relaxation effect in prestressed structures， a rate-type constitutive model was developed based on the relaxation relationship between stress and time as outlined in the fib 2010 European Code for Concrete Structures. This model characterizes stress relaxation of prestressed reinforcement under varying strain conditions， and a numerical iteration algorithm was formulated for this constitutive model. Anumerical solution program for this model was developed using the UMAT secondary development platform of ABAQUS. The accuracy and applicability of the program were validated for both unbonded prestressed structures and bonded prestressed structures. Research has demonstrated that the program accurately simulates the stress relaxation effect in prestressed structures. Moreover， the proposed program development approach for stress relaxation models is also suitable for finite element software such as ANSYS and ADINA.

Keywords： prestressed structure; stress relaxation; constitutive model; numerical algorithm; secondary development

預(yù)應(yīng)力筋張拉后，在長度不變的情況下應(yīng)力隨時間增長而不斷降低的現(xiàn)象稱為應(yīng)力松弛[1]，應(yīng)力松弛是導(dǎo)致預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)發(fā)生預(yù)應(yīng)力損失的重要原因。對于核電廠預(yù)應(yīng)力混凝土安全殼、LNG儲罐、大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁結(jié)構(gòu)、張拉機械臂等結(jié)構(gòu)[2-4]，預(yù)應(yīng)力損失是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)出現(xiàn)受力問題的主要原因。相關(guān)研究表明，帕勞的K-B大橋倒塌即與混凝土主梁中預(yù)應(yīng)力損失過大有關(guān)[5]。針對預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力松弛問題，眾多學(xué)者進行了試驗和理論研究，得到了豐富的研究成果[6-9]。

預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中儲備的壓應(yīng)力減少，進而影響混凝土徐變；混凝土收縮徐變發(fā)生后又會影響應(yīng)力松弛，二者存在耦合關(guān)系。然而我國規(guī)范僅給出了應(yīng)力松弛引起的最終預(yù)應(yīng)力損失值的計算方法，無法準確反映應(yīng)力松弛與混凝土收縮徐變間的耦合效應(yīng)。對于重要的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)，如安全殼，在評估其結(jié)構(gòu)服役性能時，需要精確考慮混凝土收縮徐變與預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛間的關(guān)系，此時需要采用時步分析方法[10]，將計算分為若干時間步驟，每個時間步內(nèi)可以計算混凝土收縮徐變和應(yīng)力松弛，實現(xiàn)二者關(guān)系的動態(tài)變化，最終得到考慮相互影響的總體預(yù)應(yīng)力損失。

本文基于fib 2010《歐洲混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》（以下簡稱fib 2010規(guī)范）給出的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力與時間的松弛關(guān)系，推導(dǎo)了表征預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，構(gòu)建了可實現(xiàn)該本構(gòu)模型時步分析的數(shù)值迭代算法，在ABAQUS的UMAT二次開發(fā)平臺上編寫了求解程序，并對程序的準確性和適用性進行了驗證。

1" 基本理論

1.1" 控制方程

我國GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》僅給出預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛導(dǎo)致的最終損失值，表達式類似于式（1）（普通松弛鋼絞線松弛計算公式），由于沒有給出應(yīng)力松弛導(dǎo)致的預(yù)應(yīng)力損失與時間的關(guān)系，不能直接用于構(gòu)建時步分析方法。fib 2010規(guī)范給出了應(yīng)力松弛與時間的關(guān)系式，本文以fib 2010規(guī)范給出的應(yīng)力松弛表達式為例，進行數(shù)值迭代算法構(gòu)建

σl4=0.4-0.5σcon ， （1）

式中：σl4為應(yīng)力松弛引起的預(yù)應(yīng)力損失；σcon為預(yù)應(yīng)力張拉控制力；fptk為預(yù)應(yīng)力筋極限強度標準值。

fib 2010規(guī)范給出的應(yīng)力松弛表達式為

=σ1 ， （2）

式中：σ0為初始預(yù)應(yīng)力；σv（t）為t時刻的預(yù)應(yīng)力；σ1、？姿1和k均為常數(shù)，與鋼筋種類及施加的應(yīng)力水平有關(guān)。

式（2）是應(yīng)力與時間的關(guān)系，需要轉(zhuǎn)換成材料應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，將式（2）對時間求導(dǎo)

=-ρ1λktk-1 ， （3）

式中：將應(yīng)力σ0表達為應(yīng)變的函數(shù)：F（ε0），本構(gòu)方程中不能顯含時間，從式（2）中求出時間t的表達式，代入式（3）得

根據(jù)金屬黏塑性理論[5]：dt內(nèi)松弛應(yīng)力增量dσ可以通過將初始值假定為當前應(yīng)變ε且保持不變，即可以用當前應(yīng)變ε替換式（4）中的ε0，于是式（4）變?yōu)?/p>

實際結(jié)構(gòu)中預(yù)應(yīng)力筋受外部荷載影響，其應(yīng)變是不斷變化的，對于一個微量加載過程（Δε，Δσ），可以將其分解：首先保持應(yīng)變不變，產(chǎn)生某個應(yīng)力增量，而后跟隨一個突然增大/減小應(yīng)變增量，最終的綜合效果為（Δε，Δσ）。該過程的數(shù)學(xué)表達如下。

給定應(yīng)變增量dε，材料中的應(yīng)力增量分為2項，即彈性應(yīng)力增量和松弛應(yīng)力增量

dσ=dσe+dσv ， （6）

其中，dσe=Et dε，Et為鋼束彈性模量，將式（5）代入上式，得

式（7）即為表征應(yīng)力松弛的率型本構(gòu)模型，當為常應(yīng)變時，上式左端為0，即回到式（5）。

1.2" 數(shù)值算法

在時間步[tk，tk＋１]范圍內(nèi)對式（7）進行積分可得

。（8）

采用隱式歐拉格式對式（8）進行離散

式中：Δσk=σk+1-σk，εk+1=εk+Δεk。

有限元中采用位移法求解時，上一步計算結(jié)果和這一步中輸入的應(yīng)變增量是已知的，因此，式（9）是一個關(guān)于Δσk的代數(shù)方程，可采用數(shù)值方法進行求解，進而可得到應(yīng)力增量Δσk，從而求得預(yù)應(yīng)力松弛應(yīng)力的時步分析結(jié)果。編程計算時，鋼束彈模的取值需要根據(jù)鋼束應(yīng)力狀態(tài)，判斷其是否屈服，若進入塑性階段，需要根據(jù)應(yīng)變狀態(tài)計算鋼束屈服后的彈模。

2" 程序?qū)崿F(xiàn)

有限元軟件ABAQUS提供了材料子程序（UMAT）模塊，用戶可通過UMAT編寫自定義材料本構(gòu)關(guān)系，供主程序調(diào)用。UMAT本質(zhì)處理單元應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，在UMAT程序計算之前會從ABAQUS主程序調(diào)用上一步迭代完成后的計算結(jié)果。對于松弛程序，主要是調(diào)用上一步的應(yīng)變；然后根據(jù)本步計算中的應(yīng)變增量和時間步增量，通過UMAT計算應(yīng)力增量，從而更新主程序中的應(yīng)力狀態(tài)和雅克比矩陣，重復(fù)這個過程，即可實現(xiàn)隨時間變化的松弛應(yīng)力計算。根據(jù)上述推導(dǎo)過程，本文在ABAQUS的UMAT材料子程序二次開發(fā)平臺上編寫了應(yīng)力松弛的計算程序，UMAT算法流程圖如圖1所示。

3" 算例

3.1" 單獨鋼束

為驗證程序的正確性，本文首先對單獨預(yù)應(yīng)力鋼束進行驗證，單獨鋼束的應(yīng)力松弛具有解析解，對應(yīng)于實際結(jié)構(gòu)中的無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力筋，如安全殼結(jié)構(gòu)中的灌油鋼束、鋼混組合結(jié)構(gòu)中的體外預(yù)應(yīng)力筋，此時鋼束僅兩端受約束。

采用ABAQUS建立了單根鋼束的有限元計算模型，算例中鋼束長1 m，一端采用固定邊界條件，另一端施加6 mm位移荷載，模擬張拉，計算采用的參數(shù)見表1，計算模型如圖2所示，計算結(jié)果如圖3所示。采用本文程序計算的應(yīng)力松弛結(jié)果與解析解的最大相對誤差為0.1%，表明了本文程序的正確性。

3.2" 預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)

為進一步驗證有黏結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中本程序的適用性，建立一預(yù)應(yīng)力混凝土梁，該梁長1 m，截面尺寸為0.1 m×0.1 m，采用簡支邊界條件；鋼束布置在距底緣0.025 m處，鋼束截面積為130 mm2，混凝土彈模為33 500 MPa；鋼束初張力為1 056 MPa，采用降溫方式施加；混凝土采用C3D8實體單元，鋼束采用T3D2桁架單元，通過節(jié)點位移協(xié)調(diào)將鋼束與混凝土耦合在一起以模擬實際結(jié)構(gòu)中灌漿后的效果。整個結(jié)構(gòu)承受預(yù)應(yīng)力和自重作用，模型如圖4所示，計算結(jié)果如圖5所示。計算表明，自重和預(yù)應(yīng)力作用下梁發(fā)生上拱變形，隨著應(yīng)力松弛出現(xiàn)，梁的起拱逐漸變?。怀绦蛴嬎愕匿撌沙趹?yīng)力與解析解的最大相對誤差為0.6%，表明本文程序適用于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)應(yīng)力松弛效應(yīng)分析。

4" 結(jié)論

1）本文基于ABAQUS二次開發(fā)平臺編寫的預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力松弛迭代算法可實現(xiàn)單獨鋼束應(yīng)力松弛和預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)中應(yīng)力松弛效應(yīng)的精確分析。

2）本文提出的應(yīng)力松弛模型的程序開發(fā)思路也適用于ANSYS、ADINA等有限元軟件。

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