中學(xué)階段的數(shù)學(xué)將三角學(xué)知識(shí)劃分為兩大塊，初中階段著重學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)及直角三角形的求解問(wèn)題，也就是本單元所講述的“銳角三角函數(shù)”。高中階段，我們將接觸更廣泛的三角學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)涵蓋了斜三角形求解、三角函數(shù)概念、三角函數(shù)的反函數(shù)以及初步的三角方程等方面。初中階段的銳角三角函數(shù)不僅是高中深入學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基石，更是理解幾何與代數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。我們從以下幾對(duì)關(guān)系來(lái)加強(qiáng)對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)。

銳角三角函數(shù)與常見(jiàn)圖形

從小學(xué)階段我們接觸過(guò)的正方形、長(zhǎng)方形等常見(jiàn)幾何圖形出發(fā)，逐步過(guò)渡到較為復(fù)雜的多邊形及圓，這些圖形中包含的角度與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，為后續(xù)理解三角函數(shù)提供了直觀感受。在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步接觸了直角三角形，這是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)。

通過(guò)深入分析，基本的銳角三角函數(shù)——正弦、余弦和正切可以被推導(dǎo)出來(lái)?！跋嗨迫切蔚呐卸ê托再|(zhì)”為掌握銳角三角函數(shù)設(shè)定了基本的結(jié)構(gòu)，利用相似三角形兩邊長(zhǎng)之比的恒等特性，可得“當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值不變”，進(jìn)而提出了正弦函數(shù)的概念。與此同時(shí)，“全等三角形的判定和性質(zhì)”對(duì)理解整個(gè)章節(jié)概念亦起重要作用，如在分析直角三角形時(shí)，只需要確定其他任意兩個(gè)基礎(chǔ)元素（除直角外必須至少含一條邊），三角形便能被確定。

銳角三角函數(shù)與其他函數(shù)

銳角三角函數(shù)的定義與我們之前所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)定義差別較大。我們引入了一個(gè)新的視角，它表述的不再是以往的數(shù)值與數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是銳角大小與兩邊比值之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種角與比值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用符號(hào)sinA、cosA、tanA來(lái)表示。如我們得出正弦定義后，很快能歸納出，在直角三角形中，對(duì)于銳角∠A的每一個(gè)確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義。我們以同樣的標(biāo)準(zhǔn)可以得出cosA、tanA也是銳角∠A的函數(shù)。這樣，我們就能更加清晰地感知變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)函數(shù)的本質(zhì)也有了更深刻的理解。

本章所研究的銳角三角函數(shù)反映了銳角與各邊比值之間的函數(shù)關(guān)系，這雖然與一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)所反映的數(shù)值與數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不太相同，但都反映了變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其本質(zhì)上是一致的。當(dāng)我們掌握基本規(guī)則之后，便能夠自行推導(dǎo)出結(jié)論并在實(shí)際操作過(guò)程中發(fā)現(xiàn)其獨(dú)特之處，從而進(jìn)一步深化對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)知。

用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

我們可以通過(guò)具體實(shí)例來(lái)說(shuō)明如何運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，比如，計(jì)算建筑物高度或測(cè)量距離等。我們既可以感受銳角三角函數(shù)的理論來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題，是解決實(shí)際問(wèn)題的需要，又可以親身體驗(yàn)它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中所起的作用，體驗(yàn)由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，再通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題獲得合理的答案。

通過(guò)對(duì)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，我們不僅掌握了處理角度與邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)換的基本技能，同時(shí)也為將來(lái)更深入地探索三角函數(shù)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。高中階段，我們將繼續(xù)深化對(duì)三角函數(shù)的研究，研究其周期性、圖象特性等方面。希望我們都能保持好奇心，勇于探索未知世界！

綜上所述，銳角三角函數(shù)作為連接幾何與代數(shù)的橋梁，在數(shù)學(xué)乃至整個(gè)自然科學(xué)體系中扮演著不可或缺的角色。掌握好這部分內(nèi)容，不僅有助于提高解決問(wèn)題的能力，更能激發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與熱情。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)段玉裁中學(xué)）