摘"要"本文以一道落實“基礎(chǔ)性”考查要求的單選壓軸題為例，從該試題的解法、變式及結(jié)論推廣等方面進(jìn)行分析研究，并從中得到一些有益啟示，以體現(xiàn)高考復(fù)習(xí)備考落實“基礎(chǔ)性”考查要求的重要性.

關(guān)鍵詞"拋物線；多角度探究；推廣

題目"（深圳中學(xué)2024屆高三二輪一階測試第8題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，若圓M與拋物線C只有一個交點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑為（""）.

A.439 """B.79""""C.32"""D.233

1.解法探究

分析1"根據(jù)題意設(shè)出圓M的方程，與y2=4x聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的方程，然后分離出圓M的半徑，得到關(guān)于y的函數(shù)，根據(jù)題意可知該函數(shù)有唯一零點，該零點對應(yīng)圓M與拋物線C唯一交點的縱坐標(biāo)，由此轉(zhuǎn)化即為函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)知識求解.

解法1"設(shè)圓M的半徑為r（r＞0）.

根據(jù)圖形對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方（y＞0）且與x軸相切于焦點F（1，0），故圓M的方程為（x－1）2+（y－r）2=r2.把y2=4x，即x=y24代入圓M的方程得（y24－1）2+（y－r）2=r2，所以r=12yy24－12+y2=（y2+4）232y（y＞0），該方程關(guān)于y恰有一個解，該解對應(yīng)圓M與拋物線C唯一交點的縱坐標(biāo).

令φ（t）=（t2+4）232t（t＞0），注意到limt→0+φ（t）=+，limt→+φ（t）=+，所以r=［φt］min.由于φ't=（t2+4）（3t2－4）32t2，則由φ't＜0，解得0＜t＜2"33；由φ't＞0，解得t＞2"33，所以φ（t）在（0，2"33）上單調(diào)遞減，在（2"33，+）上單調(diào)遞增，從而r=［φt］min=φ2"33=4"39.故選A.

分析2"將圓M與拋物線C只有一個交點等價轉(zhuǎn)化為圓M與拋物線C相切，然后從函數(shù)的角度利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究拋物線C的切線，從平面幾何的角度研究圓M的切線，然后利用分別得到的公切線的斜率相等建立方程，解方程得解.

解法2"設(shè)圓M的半徑為r（r＞0）.根據(jù)圖形對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方（y＞0）且與x軸相切于焦點F（1，0）.故圓M的方程為（x－1）2+（y－r）2=r2.

設(shè)圓M與拋物線C的公切線為l，公切點為N（t，2"t）.由y2=4x，得y=2"x，所以y'=1"x，因此l的斜率為1"t.

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得MN⊥l，所以2"t－rt－1·1"t=－1，整理得r="t+t"t，所以圓M：（x－1）2+（y－"t－t"t）2=（"t+t"t）2.

又因為（t，2"t）在圓M上，所以（t－1）2+（2"t－"t－t"t）2=（"t+t"t）2，所以（t－1）2+（"t－t"t）2－（"t+t"t）2=0，所以（t－1）2+t（1－t）2－t（1+t）2=0，所以3t2+2t－1=0，解得t=13（t=－1舍去）.因此，r="13+13"13=4"39.故選A.

分析3"設(shè)出圓M與拋物線C的公切線及公共切點坐標(biāo)，然后設(shè)角并利用拋物線光學(xué)性質(zhì)及平面幾何知識求角，從而得到公切線的斜率.再從函數(shù)的角度利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示公切線，由此建立方程，解方程得解.

解法3"設(shè)圓M的半徑為r（r＞0）.根據(jù)圖形對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方（y＞0）且與x軸相切于焦點F（1，0）.故圓M的方程為（x－1）2+（y－r）2=r2.

設(shè)圓M與拋物線C的公切線為l，公共切點為N（t2，2t）（t＞0），l與x軸交點為P.如圖1，連接MF，MN，MP.設(shè)∠MNF=∠MFN=θ，則根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)得∠PFN=2θ.又由MF⊥x軸，可得∠MFN+∠PFN=3θ=90°，所以θ=30°.

在△NPF中，∠NPF=180°－∠PNF－∠PFN=180°－2θ－2θ=60°，所以公切線l的斜率為tan60°="3.又由y2=4x，得y=2"x，所以y'=1"x，因此l的斜率為1"t2=1t，因此1t="3，解得t="33，所以公切點N（13，2"33），所以l的方程為y－2"33="3（x－13）.令y=0，解得x=－13，從而P（－13，0），所以PF=1－－13=43.

因此，在Rt△MFP中有r=MF=PFtan∠MPF=PFtan30°=4"39.故選A.

分析4"根據(jù)題意設(shè)出圓M的方程，設(shè)出圓M與拋物線C的公切線及公共切點坐標(biāo)，然后分別利用二次曲線在某點處的切線方程的“二級結(jié)論”，分別列出圓M與拋物線C在公共切點N處的切線方程，根據(jù)兩條切線方程表示同一條直線，比較對應(yīng)項的系數(shù)，結(jié)合切點N的坐標(biāo)滿足拋物線C方程，從而列出關(guān)于切點N的坐標(biāo)的方程組，解方程組由此得解.

解法4"由題意可知F（1，0）.設(shè)圓M的半徑為r（r＞0）.根據(jù)圖形對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方（y＞0）且與x軸相切于焦點F，故圓M的方程為（x－1）2+（y－r）2=r2.

設(shè)圓M與拋物線C的公切線為l，公共切點為N（x0，y0）（y0＞0）.圓M在切點N的切線方程為（x0－1）（x－1）+（y0－r）（y－r）=r2，所以x0－1x+y0－ry+1－x0－ry0=0①.拋物線C的在切點N的切線方程y0y=4×x+x02，即2x－y0y+2x0=0②.

比較①②對應(yīng)項系數(shù)得x0－12=y0－r－y0=1－x0－ry02x0，又y02=4x0，于是，x0=13，y0=2"33，r=4"39.故選A.

評注"這是一道該落實“基礎(chǔ)性”考查要求的典型試題，其設(shè)問清晰、表述簡約、題意明確，從試題和上述的四種解法可以看出，試題以拋物線及其幾何性質(zhì)（基礎(chǔ)知識）的應(yīng)用為背景，解答以形數(shù)結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化（基本思想）為主線，運(yùn)用構(gòu)造、建模、平幾知識或光學(xué)性質(zhì)、亦或利用“二級結(jié)論”（基本方法）等多種手段，在考查直線與曲線、曲線與曲線位置關(guān)系（基本技能）的同時，考查全面合理的知識結(jié)構(gòu)及扎實靈活（基本素養(yǎng)）的解題能力.解答該試題的幾種方法，思維頗為活躍、精彩，對于提升數(shù)學(xué)思維能力大有裨益.

2.試題變式

試題反映了圓既與拋物線相切（只有一個公共點），又與拋物線的對稱軸相切于焦點的半徑的求法，若將試題分別改為圓與拋物線沒有公共點和有兩個公共點，又都與拋物線的對稱軸相切于焦點，求半徑的取值范圍，則有下面的兩個變式.

變式1"已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，若圓M與拋物線C沒有公共點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑的取值范圍是______.

簡析"先考慮圓M與拋物線C相切（只有一個公共點）臨界情形時的圓M的半徑的值，再結(jié)合圖形確定圓M半徑的取值范圍.答案：（0，4"39）.

變式2"已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，若圓M與拋物線C有兩個公共點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑的取值范圍是______.

簡析"先考慮圓M與拋物線C相切（只有一個公共點）臨界情形時的圓M的半徑的值，再結(jié)合圖形確定圓M半徑的取值范圍.答案：（4"39，+∞）.

3.結(jié)論推廣

由試題解法3得出，圓M與拋物線C相切的公切線的斜率為定值"3，若將這一情形推廣到一般拋物線的情形，可得

結(jié)論1"設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，若圓M與拋物線C只有一個交點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M與拋物線C相切的公切線的斜率為"3.

若將試題推廣到一般拋物線的情形，可得：

結(jié)論2"設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，若圓M與拋物線C只有一個交點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑為2"3p9.

證明"由題意可知F（p2，0）.設(shè)圓M的半徑為r（r＞0）.根據(jù)圖形對稱性，不妨設(shè)圓M在x軸上方（y＞0）且與x軸相切于焦點F，故圓M的方程為（x－p2）2+（y－r）2=r2.

設(shè)圓M與拋物線C的公切線為l，公共切點為N（t2，"2pt）（t＞0），l與x軸交點為P，如圖1，連接MF，MN，MP，設(shè)∠MNF=∠MFN=θ，則根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)得∠PFN=2θ.

又由MF⊥x軸得∠MFN+∠PFN=3θ=90°，所以θ=30°.在△NPF中，∠NPF=180°－∠PNF－∠PFN=180°－2θ－2θ=60°，所以公切線l的斜率為tan60°="3.由y2=2px得y="2px，所以y'="2p2"x，因此l的斜率為"2p2"t2="2p2t，因此"2p2t="3，解得t="6p6，所以公切點N（p6，"3p3），所以l的方程為y－"3p3="3（x－p6）.令y=0，解得x=－p6，從而P（－p6，0），所以PF=p2－（－p6）=2p3.因此，在Rt△MFP中，圓M的半徑r=PFtan∠MPN=2"3p9.

與變式1、2分別相對應(yīng)，若將結(jié)論2分別改為圓與拋物線沒有公共點和有兩個公共點，又都與拋物線的對稱軸相切于焦點，求半徑的取值范圍，則有下面的兩個結(jié)論.

結(jié)論3"已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，若圓M與拋物線C沒有公共點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑的取值范圍是（0，2"3p9）.

結(jié)論4"已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，若圓M與拋物線C有兩個公共點，且圓M與x軸相切于點F，則圓M的半徑的取值范圍是（2"3p9，+）.

4.兩點啟示

（1）數(shù)學(xué)必備知識是構(gòu)筑“中學(xué)數(shù)學(xué)”這座大廈的根基，是落實“基礎(chǔ)性”考查要求的最好載體.因此，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中，教師要指導(dǎo)學(xué)生切實理解基礎(chǔ)概念、定理、公式及一些重要的結(jié)論；掌握并熟練運(yùn)用基本解題方法和數(shù)學(xué)思想；全面復(fù)習(xí)備考，對所有知識點復(fù)習(xí)要做到不缺、不漏，不留下知識死角，不留知識盲點.

（2）高考數(shù)學(xué)命題重視落實對“基礎(chǔ)性”的考查要求，一份試卷中會有相當(dāng)大比例的基礎(chǔ)題目，從以下幾個方面加強(qiáng)對數(shù)學(xué)必備知識的考查：①直接考查概念；②對基本公式運(yùn)用的考查；③對知識之間關(guān)系的考查；④多個知識混合在一塊解決一個問題；⑤圍繞基本概念，考查某些重點計算策略是否掌握；⑥解決某一常見問題的基本方法；⑦多角度考查某一個知識點的理解，上述試題及四種解法就是對這幾個方面的最好詮釋.另外，在復(fù)習(xí)備考中，在抓好對基礎(chǔ)性題目訓(xùn)練的同時，通過甄選典型試題進(jìn)行一題多解與一題多變，使學(xué)生對所學(xué)的知識做到融會貫通，對解題方法與規(guī)律做到觸類旁通，從而開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

課題項目：廣西柳州市教育規(guī)劃課題 《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的普通高中校本課程實踐研究》（編號：2023-C162）