摘 要：本文基于DMC算法，建立了冷軋板形的多變量模型，并進(jìn)行預(yù)測控制。比較DMC模型與其他2種模型的控制效果可知，DMC模型在板形值波動、控制速度和優(yōu)化效果方面表現(xiàn)更好。試驗結(jié)果表明，DMC模型能夠更穩(wěn)定地控制板形，具有較快的調(diào)控速度，優(yōu)化后的標(biāo)準(zhǔn)差較小，說明其在模型失配情況下的優(yōu)化效果更佳。

關(guān)鍵詞：DMC算法；冷軋板形；多變量模型

中圖分類號：TG 334" " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

冷軋板形控制是鋼鐵生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，對保證產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率具有重要意義[1]。傳統(tǒng)的單變量控制方法已經(jīng)不能滿足板形控制要求，因此需要建立多變量模型以進(jìn)行預(yù)測控制[2]。DMC算法是一種常用的預(yù)測控制方法，具有較好的性能和適用性。本文旨在基于DMC算法建立冷軋板形的多變量模型，并通過試驗驗證其控制效果。

1 基于DMC算法的冷軋板形多變量模型構(gòu)建

1.1 預(yù)測模型

動態(tài)矩陣控制（Dynamic Matrix Control，DMC）是一種基于系統(tǒng)階躍響應(yīng)的預(yù)測控制算法，采用預(yù)測模型、在線滾動優(yōu)化和誤差反饋校正等機(jī)制，對系統(tǒng)輸出進(jìn)行有效控制。DMC算法主要由預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正3個部分構(gòu)成。其中，預(yù)測模型利用系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)模型來預(yù)測對象在未來時刻的輸出值；滾動優(yōu)化可以在每個采樣時刻，根據(jù)預(yù)測模型預(yù)測的未來輸出和設(shè)定的目標(biāo)值，求解一個有限時域內(nèi)的優(yōu)化問題，進(jìn)而將從優(yōu)化問題得到的控制序列的第一個元素作用于系統(tǒng)，并在下一個采樣時刻重復(fù)上述過程；反饋校正利用實際輸出與預(yù)測輸出間的誤差來修正預(yù)測模型，以提高后續(xù)預(yù)測的準(zhǔn)確性。

基于DMC算法的冷軋板形多變量模型構(gòu)建是一個復(fù)雜的過程。首先，設(shè)置DMC控制器的采樣周期為T。其次，每個采樣時間點。即t=T，2T，…，NT下對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)采樣值為a1，a2，…，aN-1。單位階躍響應(yīng)是指當(dāng)系統(tǒng)輸入發(fā)生單位階躍變化時，系統(tǒng)輸出的響應(yīng)。對單位階躍響應(yīng)的采樣值進(jìn)行觀測和記錄，可以得到系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。在DMC算法中，使用這些采樣值來構(gòu)建預(yù)測模型[3]。在NT時刻以后，單位階躍響應(yīng)應(yīng)趨于穩(wěn)定，此時aN的值約為階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。原因是在足夠長的時間內(nèi)，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)會逐漸消失，能夠達(dá)到穩(wěn)態(tài)。因此，aN的值可以用來估計系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

基于DMC的板形調(diào)控結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。在DMC算法中，假設(shè)單位階躍響應(yīng)在NT時刻以后趨于穩(wěn)定，即aN約為階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。由于實際系統(tǒng)存在一定的動態(tài)響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)的采樣值在初始時刻（t＜NT）還未達(dá)到穩(wěn)態(tài)。因此，增加模型時域長度N0，更好地捕捉系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，使預(yù)測模型更接近實際情況。需要構(gòu)建模型向量α，利用DMC算法中的預(yù)測模型對系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測和優(yōu)化。模型向量α中的采樣值提供了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性的信息，使DMC算法能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)，并根據(jù)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)調(diào)節(jié)[4]。

在DMC算法中，需要先構(gòu)建模型向量α，它由各個采樣時刻的單位階躍響應(yīng)采樣值組成。再使用模型向量α來構(gòu)建預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)在未來P個時刻的板形輸出值，分別如公式（1）、公式（2）所示。

（1）

X（k）=X0" " " " " " " " " " " " （2）

式中：為列向量；，，…，（k+1|k）為未來P個時刻的輸出預(yù)測值；N為單位階躍響應(yīng)的采樣點總數(shù)，反映了系統(tǒng)動態(tài)特性的時間范圍；X（k）為系統(tǒng)第k個采樣時刻的單位階躍響應(yīng)值；X0為輸出值，是控制開始時的系統(tǒng)輸出。

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將未來P個時刻的板形輸出值的預(yù)測表示為調(diào)控參數(shù)變化量的線性組合。在每個時刻，將調(diào)控參數(shù)變化量乘以對應(yīng)的模型向量采樣值，并將它們相加，即可得到對應(yīng)時刻板形輸出值的預(yù)測結(jié)果。

1.2 滾動優(yōu)化

在DMC算法中，使用模型預(yù)測控制（MPC）來求解最優(yōu)的控制量[5]。MPC可以建立系統(tǒng)的預(yù)測模型，并根據(jù)預(yù)測模型來優(yōu)化控制量，以實現(xiàn)性能指標(biāo)的最優(yōu)化，如公式（3）所示。

（3）

式中：minJ（k）為控制輸入的最小值；qi為誤差權(quán)系數(shù)；Y（k+i）為時刻（k+i）的預(yù)測輸出，其中k為當(dāng)前時刻，是控制算法執(zhí)行的時刻，i為未來時刻；（k+i|k）為控制輸入的變化量，用于限制控制輸入的劇烈變化；M、j為權(quán)重因子；rj為控制權(quán)系數(shù)；ΔX2為當(dāng)前時刻相對于前一個時間步的控制輸入的變化。

這些權(quán)系數(shù)在DMC算法中用于定義最優(yōu)性能指標(biāo)，為預(yù)測板形輸出與目標(biāo)板形間的差異，即誤差項。將公式（3）改寫成矩陣形式，如公式（4）所示。

minJ（k）=||YP（k）-||Q2+||ΔXM（k）||R2 （4）

式中：YP（k）為時刻k的預(yù)測輸出向量；為時刻k的目標(biāo)輸出向量；Q為權(quán)系數(shù)矩陣，用于加權(quán)預(yù)測輸出與目標(biāo)輸出間的誤差；ΔXM（k）為k時刻的調(diào)控機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)量；R為權(quán)系數(shù)矩陣，用于加權(quán)控制輸入變化量。

利用優(yōu)化算法計算出使性能指標(biāo)最優(yōu)化的控制量序列，并在每個時刻按照這個序列改變調(diào)控機(jī)構(gòu)。在實際應(yīng)用中，DMC并不會將調(diào)控機(jī)構(gòu)變化量全部實施，相反，它采取了一種滾動優(yōu)化的策略。具體來說，DMC只會在當(dāng)前時刻k進(jìn)行一步或數(shù)步優(yōu)化，并在下一時刻，即（k+1）時刻重新進(jìn)行優(yōu)化。

1.3 反饋優(yōu)化

在每個時刻，DMC算法會根據(jù)當(dāng)前時刻的預(yù)測輸出和優(yōu)化計算結(jié)果來確定下一個時刻的輸出。然而，在實際的生產(chǎn)中，由于內(nèi)在因素或環(huán)境因素的干擾，預(yù)測值和實際值間不可避免會產(chǎn)生誤差。這些誤差來自于系統(tǒng)的不確定性、傳感器的誤差、外部干擾等因素。因此，為了提高控制的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，需要引入ΔxM（k）預(yù)測值進(jìn)行校正，以得到k時刻的調(diào)控機(jī)構(gòu)調(diào)節(jié)量，如公式（5）所示。

ΔxM（k）=D[YP（k）-] " " " " " " " " " " （5）

式中：D為增益，用于校正預(yù)測值與實際值間的誤差。

2 模型預(yù)測效果

為了驗證基于DMC算法的多變量模型對冷軋板形調(diào)控效果的有效性，需要進(jìn)行一系列試驗和分析。在試驗中，本文建立了基于DMC算法的多變量模型，該模型可以根據(jù)輸入?yún)?shù)來預(yù)測冷軋板的形狀。進(jìn)而在實際的冷軋過程中獲取輸出的板形數(shù)據(jù)，用于驗證模型的準(zhǔn)確性和可靠性。在驗證過程中，如果輸出的板形數(shù)據(jù)與模型預(yù)測的結(jié)果存在偏差或誤差，那么需要對控制器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)可以優(yōu)化模型的預(yù)測能力，改進(jìn)冷軋板形的調(diào)控效果。調(diào)節(jié)控制器參數(shù)的過程需要結(jié)合實際的板形數(shù)據(jù)和模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行反復(fù)試驗和調(diào)整，直到取得理想的調(diào)控效果。DMC參數(shù)見表1。

本文將ERMS作為偏差評價方法來衡量DMC模型對板形調(diào)控的準(zhǔn)確性。比較不同算法的ERMS值可以評估不同算法在板形調(diào)控方面的性能差異。當(dāng)DMC模型的ERMS值較小時，說明模型能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測和控制板形，具有更好的調(diào)控效果。相反，如果其他算法的ERMS值較小，那么表明這些算法在板形調(diào)控方面具有較好性能。

（6）

式中：n為板形監(jiān)測位置個數(shù)；yi為監(jiān)測位置板形值；為監(jiān)測位置板形值均值。

2.1 模型匹配情況下的控制效果分析

輸入2條偏差曲線后，DMC模型能夠迅速分析和預(yù)測系統(tǒng)的行為，并根據(jù)預(yù)測結(jié)果進(jìn)行控制決策。對機(jī)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié)后，DMC模型能夠在約100 ms內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并使板形的偏差消除量達(dá)到最大值，表明DMC模型具有快速響應(yīng)和調(diào)整能力，能夠在短時間內(nèi)優(yōu)化板形。而最優(yōu)控制算法和遺傳算法在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)和消除偏差方面需要更長時間。最優(yōu)控制算法通常需要進(jìn)行多次迭代和優(yōu)化，以找到最優(yōu)控制策略，因此調(diào)整時間較長。遺傳（GA）算法需要經(jīng)過遺傳操作和優(yōu)勝劣汰的過程逐步優(yōu)化控制策略，同樣需要較長時間。而DMC模型基于預(yù)測的控制方法，能夠更快地調(diào)整控制參數(shù)，進(jìn)而更快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)并消除偏差。與最優(yōu)控制算法和遺傳算法相比，基于DMC的預(yù)測模型在調(diào)控速度和精度方面表現(xiàn)更出色，能夠進(jìn)行快速響應(yīng)和調(diào)整，最終優(yōu)化板形，因此DMC模型在實際應(yīng)用中具有重要意義，能夠提高系統(tǒng)的調(diào)控效率和精度。

匹配情況下3種算法優(yōu)化后的板形波動如圖2所示。首先，DMC模型能夠更穩(wěn)定地控制板形，減少板形的波動性。對未來一段時間內(nèi)的系統(tǒng)行為進(jìn)行預(yù)測后，DMC模型能夠提前調(diào)整板形，避免出現(xiàn)過度波動和不穩(wěn)定現(xiàn)象。對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測并制定控制決策后，DMC模型能夠及時對板形進(jìn)行調(diào)整，使其保持在穩(wěn)定狀態(tài)，從而減少了板形的波動性。其次，基于DMC的預(yù)測模型在調(diào)控速度方面具有明顯優(yōu)勢。對未來一段時間內(nèi)的系統(tǒng)行為進(jìn)行預(yù)測后，DMC模型能夠預(yù)知系統(tǒng)的變化趨勢，并根據(jù)預(yù)測結(jié)果制定控制決策。與其他2種模型相比，DMC模型具有更準(zhǔn)確的預(yù)測能力和更高效的控制算法，因此響應(yīng)速度更快，調(diào)整系統(tǒng)過程中的控制效果也更精確。

2.2 模型失配時情況下的控制效果分析

失配情況下3種算法優(yōu)化后的板形標(biāo)準(zhǔn)差如圖3所示。當(dāng)模型失配時，分析控制效果可知，基于DMC的預(yù)測模型的調(diào)控速度比其他2種模型更快?；贒MC、最優(yōu)控制算法和遺傳算法優(yōu)化后所得標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.20 I、8.63 I、2.20 I和1.81 I、52.67 I、1.81 I，反映模型失配情況下板形的波動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越小，板形的穩(wěn)定性越高，模型的預(yù)測結(jié)果與實際情況更接近。本文中，DMC優(yōu)化后得到的標(biāo)準(zhǔn)差較小，表明其預(yù)測結(jié)果與實際情況的匹配度更高，板形的波動程度更小，因此其穩(wěn)定性更高。

在控制系統(tǒng)中，模型失配會導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果與實際情況出現(xiàn)偏差，影響控制效果。因此，對模型進(jìn)行優(yōu)化至關(guān)重要。比較基于DMC、最優(yōu)控制算法和遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果可知，DMC優(yōu)化后的模型在調(diào)控速度和穩(wěn)定性方面具有顯著優(yōu)勢，能夠更快地響應(yīng)系統(tǒng)變化，并在實際應(yīng)用中保證控制系統(tǒng)的可靠性和準(zhǔn)確性。

3 結(jié)語

本文基于DMC算法，建立了冷軋板形的多變量模型，并進(jìn)行了預(yù)測控制。比較試驗結(jié)果可知，DMC模型在板形值波動、控制速度和優(yōu)化效果方面表現(xiàn)良好。DMC模型能夠更穩(wěn)定地控制板形，具有更快的調(diào)控速度，并且優(yōu)化后得到標(biāo)準(zhǔn)差較小，表明其在模型失配情況下的優(yōu)化效果更佳。本文結(jié)果對冷軋板形控制的實際應(yīng)用具有重要意義。選擇合適的模型和算法，能夠提高板形控制的穩(wěn)定性和效率，進(jìn)而提升產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率。未來研究將進(jìn)一步探索DMC算法在其他工業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，并結(jié)合實際情況進(jìn)行優(yōu)化，以滿足不同領(lǐng)域的控制需求。

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