摘" 要：采用子域法對表貼式永磁同步電機（SPMSM）進行建模，對電機內(nèi)部磁場進行解析計算。針對傳統(tǒng)子域法無法應(yīng)用于采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM的問題，對不等厚偏心削極的永磁體子域，提出等面積分塊的處理方式，將每個磁極塊單獨進行解析計算。將線性疊加結(jié)果與有限元法和實驗結(jié)果進行對比，結(jié)果表明所提方法有較高的計算精度。此外，將不同種類電機及子域建模方法進行整合，建立用戶交互平臺，使計算過程可視化，為國產(chǎn)化工程應(yīng)用軟件提供可擴展性，輔助電機設(shè)計與分析工作。

關(guān)鍵詞：子域模型；關(guān)節(jié)機器人；表貼式永磁同步電機；磁場解析計算；數(shù)值分析可視化平臺

中圖分類號：TM341" " " 文獻標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號：2095-2945（2025）01-0066-04

Abstract： Subdomain analytical method is used to model a surface-mounted permanent magnet synchronous motor （SPMSM）， and the internal magnetic field of the motor is analytically calculated. Aiming at the problem that the traditional subdomain method cannot be directly applied to SPMSM with eccentrically clipped poles， an equal-area block processing method is proposed for permanent magnet subdomains with unequal thicknesses of eccentrically clipped poles， and each pole block is analyzed separately. The linear superposition and summation results are compared with the finite element method and experimental results. The results show that the proposed method having high calculation accuracy. In addition， different types of motors and subdomain modeling methods are integrated to establish a user interactive platform to visualize the numerical calculation process， further providing scalability for domestically produced engineering application software and assisting motor design and analysis work.

Keywords： subdomain model; articulated robot; surface-mounted permanent magnet synchronous motor; analytical calculation of magnetic field; numerical analysis visualization platform

表貼式永磁同步電機（SPMSM）由于其結(jié)構(gòu)簡單、功率密度大等優(yōu)點，在機器人伺服系統(tǒng)等工業(yè)領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景[1-2]。對于SPMSM內(nèi)部磁場的分析計算方法，通常分為有限元法和解析法。有限元法計算結(jié)果精度較高，能夠準(zhǔn)確考慮漏磁、飽和以及復(fù)雜齒槽結(jié)構(gòu)的影響。文獻[3-4]提出了一種針對SPMSM的改進有限元法。解析法計算速度快，且方程數(shù)量相對較少，矩陣維度低，占用很少的計算機資源，有利于電機初始設(shè)計階段的快速選型及后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計，能夠明確體現(xiàn)出各個表達式與參數(shù)之間的物理概念。解析法主要包括保角變換法、子域模型法及二維傅里葉諧波建模法等[5]。

本文針對偏心削極SPMSM無法直接使用子域解析法建模的問題，提出一種改進的子域解析模型，以一臺關(guān)節(jié)機器人用偏心削極SPMSM為例進行實驗對比，驗證所提方法的準(zhǔn)確性及快速性。并建立用戶交互界面，搭建可視化數(shù)值計算平臺，進一步輔助電機分析及研究工作。

1" 氣隙磁場解析模型建立

為求解偏心削極的SPMSM內(nèi)部磁場分布，從傳統(tǒng)SPMSM出發(fā)，共分為3個子域：定子槽子域、氣隙子域和永磁磁極子域。R1為轉(zhuǎn)子軛部半徑；R2為永磁體外徑；R3為定子內(nèi)徑；R4為定子槽底半徑；β為定子槽對應(yīng)的圓心角；γi為第i個槽中心位置角；定子共Ns槽，則有γi=2πi/Ns，第i個槽的起始位置定義為θi=γi-β/2。

2" 氣隙磁場解析求解過程

2.1" 各子域矢量磁位通解

由于待求解區(qū)域為恒定磁場，因此根據(jù)安培環(huán)路定律和高斯定律可得定子槽中的矢量磁位的Laplace方程為

式中：A1i（r，θ）表示第i個定子槽內(nèi)的矢量磁位，為了便于各子域矢量磁位的通解表達以及諧波系數(shù)的編程求解，進一步降低矩陣維度，引入諧波系數(shù)縮放函數(shù)，根據(jù)分離變量法可求定子槽子域矢量磁位通解形式為

氣隙子域為環(huán)形區(qū)域，在此區(qū)域中無電磁激勵源，因此，矢量磁位通解為

由于永磁體有磁化矢量分量，因此永磁體子域的矢量磁位如下所示

對于采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM，其永磁體區(qū)域無法直接應(yīng)用子域法進行建模，因此需要將磁極進行等面積分塊處理。圖1為偏心削極SPMSM的截面圖。根據(jù)磁極對稱性，可以將每半個磁極進行分塊，每個磁極塊等效為內(nèi)外弧平行的磁極，單獨計算矢量磁位，再根據(jù)疊加原理進行累加。為簡化描述，令定子y軸與轉(zhuǎn)子d軸重合，這樣θ角即為與d軸之間的夾角，φj為一個磁極塊所占圓心角，R1和R2分別為磁極的內(nèi)外弧半徑，O1和O2分別為磁極的內(nèi)外弧圓心，θ1和θ2分別為磁極的內(nèi)外弧的圓心角。

可以看出，磁極是偏心削極結(jié)構(gòu)，為考慮軸向長度，因此采用等面積分塊，所以，每個磁極塊的圓心角和半徑均不同，根據(jù)面積等效原則，則有

2.2" 諧波系數(shù)求解

根據(jù)各個子域的矢量磁位的通解，可以得到各個子域的磁密的徑向分量和切向分量，并根據(jù)相鄰子域間的邊界條件進行求解電機內(nèi)部磁場分布。

在永磁體和氣隙之間，法向磁密連續(xù)，在r=R2處有

將矢量磁位表達式通解分別代入可得矩陣方程組

根據(jù)切向磁場強度相等，在r=R2處有

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率。將矢量磁位通解代入可得矩陣方程組

在氣隙與定子槽交界處，沿定子軛部的磁密切向分量可以通過定子槽內(nèi)的矢量磁位分布得到

將定子軛部磁密切向分量展開為Fourier級數(shù)形式

根據(jù)氣隙中矢量磁位分布，沿定子軛部磁密的切向分量還可以表示為

聯(lián)立式（10）、（12）可得矩陣方程組

另一方面，沿定子軛部矢量磁位分布還可以表示為

將上式沿定子槽進行傅里葉展開

在一個槽范圍內(nèi)

沿定子槽的矢量磁位還可以表示為

根據(jù)矢量磁位連續(xù)，可得矩陣

最終矩陣組裝如下式所示：

3" 數(shù)值計算可視化平臺

本文基于MATLAB App Designer進行數(shù)值計算平臺設(shè)計，將上述建模過程及計算結(jié)果可視化，整合不同種類電機對應(yīng)的子域模型，并提供用戶交互功能，具備自主選擇是否與有限元計算結(jié)果進行對比等功能。

本文以外轉(zhuǎn)子表貼式永磁同步電機為算例，圖2為計算結(jié)果界面，可以根據(jù)需要將結(jié)果波形導(dǎo)出進行分析。

4" 仿真結(jié)果對比及驗證

4.1" 仿真結(jié)果對比

基于所提出的改進子域解析法，結(jié)合所設(shè)計的數(shù)值計算可視化平臺，本文對傳統(tǒng)SPMSM進行計算，利用分析平臺對電機進行計算，同時選擇與有限元法計算結(jié)果進行比較，將計算結(jié)果波形導(dǎo)出，氣隙磁密徑向分量和切向分量解析計算結(jié)果分別與有限元法的計算結(jié)果對比，如圖3所示。

從圖3中可以看出，與有限元法相比，氣隙磁密的徑向分量相對誤差為0.69%，計算時長為有限元法的1.7%。這里的誤差來源于在進行解析計算時，為便于計算，均假設(shè)為規(guī)則扇形開口槽，而有限元法中的模型是實際情況中的矩形開口槽。

本文選取氣隙中心處半徑，對求取的氣隙磁密表達式進行Fourier分解，得到各次諧波分量Bmn，進而得到各次諧波磁通幅值為

則各次諧波反電動勢有效值En為

式中：f為基波頻率；WS為每相串聯(lián)總匝數(shù)；kwn為包括基波在內(nèi)的每一次諧波的繞組系數(shù)。圖4為反電動勢的解析計算結(jié)果與有限元對比圖。

從圖4可以看出，與有限元結(jié)果相比，解析計算結(jié)果的波形正弦度依然很高，且吻合度很好，進而驗證了所提出的改進子域解析模型的準(zhǔn)確性。

4.2" 實驗與分析

為進一步驗證所提改進解析計算模型的準(zhǔn)確性，本文對一臺采用偏心削極的SPMSM樣機進行實驗測試，并將實驗結(jié)果與解析計算結(jié)果進行對比。

由表1可知，解析計算結(jié)果大于實際實驗測量值，這是由于在空載解析模型中假設(shè)定、轉(zhuǎn)子鐵芯磁導(dǎo)率為無窮大，不計及鐵芯中的渦流及磁勢，所以解析計算結(jié)果略大于實驗測量結(jié)果。

5" 結(jié)論

本文提出了基于等面積分塊的改進子域解析模型法。并針對SPMSM進行解析計算，解決了采用偏心削極結(jié)構(gòu)的SPMSM無法直接使用子域法進行建模求解的問題，并建立可供用戶交互的電機空載磁場數(shù)值計算可視化平臺，通過仿真和實驗驗證，得出以下主要結(jié)論：

1）所提出的基于等面積分塊的改進子域解析法，考慮了永磁體軸向長度，進一步提高了計算精度。相比于有限元法，該方法在保證計算準(zhǔn)確性的同時，依然具有較快的計算速度，可以大幅縮短計算時間，減少計算機占用資源。

2）將子域解析法應(yīng)用于SPMSM，建立相應(yīng)的解析模型，將結(jié)果與仿真和實驗對比，氣隙磁密與反電動勢誤差均小于5%，進一步驗證了該解析方法的準(zhǔn)確性與適用性。

3）基于所提出的解析計算模型，建立可供用戶交互的電機空載磁場分析平臺，使數(shù)值計算過程可視化，進一步為國產(chǎn)化工程應(yīng)用軟件提供可擴展性，輔助電機設(shè)計與分析工作。

本文工作為偏心削極結(jié)構(gòu)形式的SPMSM提供了準(zhǔn)確且快速的解析計算方法，并建立了相應(yīng)的數(shù)值計算可視化平臺，有助于電機設(shè)計等研究工作。為便于計算，簡化邊界條件，文中電機工況均為空載情況，并且假設(shè)定、轉(zhuǎn)子磁導(dǎo)率為無窮大，導(dǎo)致產(chǎn)生誤差。下一步工作的重點是在額定負(fù)載工況下考慮實際鐵芯磁導(dǎo)率，開展針對磁路飽和時的電機內(nèi)部磁場分布研究，進一步完善所設(shè)計的數(shù)值計算平臺的功能，加強實用性。

參考文獻：

[1] 李立毅，張江鵬，趙國平，等.考慮極限熱負(fù)荷下高過載永磁同步電機的研究[J].中國電機工程學(xué)報，2016，36（3）：845-852.

[2] 鄭軍強，趙文祥，吉敬華，等.分?jǐn)?shù)槽集中繞組永磁電機低諧波設(shè)計方法綜述[J].中國電機工程學(xué)報，2020，40（S1）：272-280.

[3] HO S L. An optimal method for the minimization of cogging torques of a permanent magnet motor using FEM and genetic algorithm[J].IEEE Transactions on Applied Superconductivity，2010，20（3）：861-864.

[4] CHEN N N， H S L， FU W N. Optimization of permanent magnet surface shapes of electric motors for minimization of cogging torque Using FEM[J].IEEE Transactions on Magnets，2010，46（6）：2478-2481.

[5] WU L J， ZHU Z Q， STATON D， et al. Analytical model of eddy current loss in windings of permanent magnet machines accounting for load[J].IEEE Transactions on Magnetics，2012，

48（7）：2138-2151.