摘" 要： 針對心電信號中肌電干擾噪聲難以去除的問題，提出一種基于參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解（VMD）的信號降噪方法。通過設(shè)計(jì)動態(tài)邊界策略和反向種群生成方式，對白鯨優(yōu)化（BWO）算法進(jìn)行改進(jìn)；采用改進(jìn)白鯨優(yōu)化算法對VMD參數(shù)自適應(yīng)尋優(yōu)，確定分解層數(shù)K與懲罰因子α；對含噪心電信號進(jìn)行分解，得到k個(gè)本征模態(tài)函數(shù)（IMF）分量，同時(shí)采用相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行有效模態(tài)和含噪模態(tài)識別；對噪聲主導(dǎo)的模態(tài)分量采用小波閾值降噪，并重構(gòu)信號主導(dǎo)模態(tài)與降噪后模態(tài)。對仿真信號與含真實(shí)肌電干擾的心電信號進(jìn)行降噪處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法去噪效果優(yōu)于小波閾值去噪法、EMD法、EMD?小波閾值去噪法，真實(shí)含噪的心電信號經(jīng)該方法去噪后自相關(guān)系數(shù)可達(dá)0.91以上。

關(guān)鍵詞： 變分模態(tài)分解； 信號降噪； 參數(shù)優(yōu)化； 改進(jìn)白鯨優(yōu)化算法； 心電信號； IMF分量； 小波閾值降噪； 肌電干擾

中圖分類號： TN911.7?34" " " " " " " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A" " " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2025）02?0070?07

Method of signal denoising based on parameter?optimized VMD

HE Yujie1， 2， LI Xin’e1， 2， HE Jun1， 2

（1. State Key Laboratory of Dynamic Measurement Technology， North University of China， Taiyuan 030051， China;

2. School of Electrical and Control Engineering， North University of China， Taiyuan 030051， China）

Abstract： In allusion to the problem of difficult removal of electromyographic interference noise in electrocardiogram （ECG） signals， a method of signal denoising based on parameter?optimized variational mode decomposition （VMD） is proposed. The beluga whale optimization （BWO） algorithm is improved by designing the dynamic boundary strategy and inverse population generation. The improved BWO algorithm is used for the adaptive optimization of the VMD parameters to determine the number of decomposition layers K and the penalty factor α. The noise?containing ECG signal is decomposed to obtain k intrinsic mode function （IMF） components， and the correlation coefficient method is used to identify the effective modes and noise?containing modes. The noise?dominated modal components are noise?reduced by means of the wavelet thresholding， and the dominant modes and noise?reduced modes of the reconstructed signal are reconstructed. The simulation signals and ECG signals with real EMG interference are processed for the denoising. The experimental results show that the proposed method is superior to wavelet threshold denoising method， EMD method and EMD?wavelet threshold denoising method， and the autocorrelation coefficient of real ECG signals with noise can reach more than 0.91 after denoising.

Keywords： variational modal decomposition; signal denoising; parameter optimization; improved beluga optimization algorithm; ECG signal; IMF component; wavelet threshold denoising; electromyogrophic interference

0" 引" 言

心電信號（Electrocardiogram， ECG）是診斷人體心血管疾病最為重要的生理參數(shù)之一，對心電信號的處理和分析具有極其重要的實(shí)用價(jià)值[1]。然而心電信號是一種微弱、非線性、非平穩(wěn)的生理信號，在采集過程中，易受到被測者肌肉收縮所產(chǎn)生的肌電噪聲的干擾。肌電干擾信號頻帶較寬，頻率[2]通常為5～500 Hz，極易與心電信號發(fā)生頻譜混疊，因此成為心電信號去噪領(lǐng)域的難點(diǎn)問題。

心電信號肌電干擾的去除，目前常用的去噪方法有：小波閾值去噪法、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition， EMD）、變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition， VMD）等。

小波閾值去噪法具有計(jì)算速度快、信號保留完整等特點(diǎn)，得到了廣泛應(yīng)用[3]，但其易受小波基選取和閾值函數(shù)選取的影響。文獻(xiàn)[4]針對小波閾值去噪中傳統(tǒng)軟、硬閾值的不足，提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，并將其應(yīng)用在心電信號的肌電干擾去除中。文獻(xiàn)[5]提出了一種小波基的選擇程序，在心電信號去噪過程中，同時(shí)保持信號峰值接近其全振幅，對信號峰值等特征點(diǎn)進(jìn)行保留。

EMD可以將信號自適應(yīng)地分解為若干本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function， IMF）[6]。文獻(xiàn)[7]采用EMD聯(lián)合小波閾值去噪對心電信號中的噪聲信號進(jìn)行去除。文獻(xiàn)[8]采用EMD結(jié)合各IMF分量的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性進(jìn)行心電信號去噪。但是EMD在信號分解過程中存在模態(tài)混疊，使得信號中特征頻率與噪聲的分離程度不足。

VMD將信號分解成不同頻率占優(yōu)的子信號，進(jìn)而分析信號[9]，有效解決了模態(tài)混疊問題。利用VMD進(jìn)行信號處理時(shí)，分解層數(shù)K和懲罰因子α的值需預(yù)先設(shè)定，且K與α的值對分解效果有很大影響。目前確定K與α的方法主要有三種：一是根據(jù)先驗(yàn)知識或中心頻率觀察法[10]，該方法需要多次嘗試，效率較低且適應(yīng)性較差；二是評價(jià)指標(biāo)選取法[11]，根據(jù)信號特征建立合適的評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行參數(shù)選取，但此方法選取出的K值不具有普遍性；三是優(yōu)化算法選取法[12]，通過各類元啟發(fā)式算法（如粒子群算法、鯨魚優(yōu)化算法）進(jìn)行自適應(yīng)尋優(yōu)，得到相應(yīng)參數(shù)。通過優(yōu)化算法搜索得到VMD參數(shù)，通常需要大量的迭代計(jì)算，在實(shí)際應(yīng)用過程中，如何提高優(yōu)化算法的精度，避免陷入局部最優(yōu)，是需要解決的問題。

針對以上問題，本文提出了一種基于參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解的信號降噪方法。首先本文提出了一種改進(jìn)白鯨優(yōu)化（Improved Beluga Whale Optimization， IBWO）算法，實(shí)現(xiàn)對VMD中分解層數(shù)K與懲罰因子α自適應(yīng)尋優(yōu)。該算法設(shè)計(jì)了動態(tài)邊界條件與反向種群生成方式，提高了IBWO的搜索能力，又避免陷入局部最優(yōu)；基于最優(yōu)K與α，對信號進(jìn)行變分模態(tài)分解；采用相關(guān)系數(shù)法對各IMF分量進(jìn)行判別，對噪聲主導(dǎo)的IMF分量采用小波閾值去噪法處理；最后將所有分量重構(gòu)，得到降噪后的信號。

1" 相關(guān)理論

1.1" 變分模態(tài)分解（VMD）

變分模態(tài)分解是一種借助Hilbert?Huang變換、頻率混合等技術(shù)的信號分解方法，能夠?qū)⑤斎胄盘柗纸鉃閗個(gè)模態(tài)分量，每個(gè)分量都具有確定的中心頻率和有限的帶寬，具體原理如下。

每個(gè)模態(tài)的單邊譜可以通過計(jì)算與待分解信號相關(guān)的模態(tài)的Hilbert變換來獲取：

[δt+jπt·ukt] （1）

通過引入指數(shù)項(xiàng)來調(diào)整模態(tài)函數(shù)的中心頻率，將每個(gè)模態(tài)的頻譜轉(zhuǎn)移至基帶：

[δt+jπt·ukte-jωkt] （2）

變分模態(tài)分解可以被描述為一個(gè)帶有約束條件的最優(yōu)化問題，具體形式如下：

[minuk，ωkk?tδt+jπt·ukte-jωkt22s.t." "kuk=f] （3）

為了尋求變分約束模型的最優(yōu)解，引入了Lagrange乘數(shù)λ算子和二次懲罰函數(shù)項(xiàng)α，構(gòu)建增廣Lagrange函數(shù)：

[Luk，ωk，λ=αk?tδt+jπt·ukte-jωkt22+ft-kukt22+λt，ft-kukt]

（4）

迭代后的最優(yōu)解為：

[un+1k（ω）=f（ω）-i≠kun+1i（ω）+λn（ω）21+2α（ω-ωnk）2] （5）

[ωn+1k=0∞ωun+1kω2dω0∞un+1kω2dω] （6）

[λn+1ω=λnω+βfω-kun+1kω] （7）

1.2" 白鯨優(yōu)化算法

白鯨優(yōu)化算法（Beluga Whale Optimization，BWO）是由文獻(xiàn)[13]提出的一種元啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，該算法受白鯨捕食過程的啟發(fā)而建立，具有全局勘探、局部開發(fā)和鯨落三個(gè)階段。算法首先對白鯨位置進(jìn)行初始化，由參數(shù)[Bf]決定算法執(zhí)行勘探階段還是開發(fā)階段，[Bf]公式如下：

[Bf=B01-T2Tmax] （8）

式中：T為當(dāng)前迭代次數(shù)；[Tmax]為最大迭代次數(shù)；[B0]為（0，1）的變化值。當(dāng)[Bf]gt;0.5時(shí)執(zhí)行勘探階段，否則執(zhí)行開發(fā)階段。

全局勘探階段位置更新按照j的奇偶性而有所不同，當(dāng)j為偶數(shù)時(shí)，位置更新公式為：

[XT+1i，j=XTi，Pj+（XTr，P1-XTr，Pj）（1+r1）sin2πr2] （9）

式中：Pj是從d維中選擇的隨機(jī)數(shù)；r1和r2是（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)。當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)，式（9）中的正弦函數(shù)變?yōu)橛嘞液瘮?shù)。局部開發(fā)階段位置更新公式為：

[XT+1i=r3XTbest-r4XTi+C1?LF?（XTr-XTi）] （10）

[C1=2r4（1-TTmax）] （11）

式中：[XTbest]是白鯨中的最佳位置；r3和r4是（0，1）的隨機(jī)數(shù)；C1是測量Lévy飛行強(qiáng)度的隨機(jī)跳躍強(qiáng)度；LF是Lévy飛行函數(shù)。

鯨魚墜落階段位置更新公式為：

[XT+1i=r5XTi-r6XTr+r7Xstep] （12）

式中：r5、r6、r7均為（0，1）的隨機(jī)數(shù)；Xstep是白鯨墜落的步長。[Xstep]公式為：

[Xstep=（ub-lb）exp-C2TTmax] （13）

[C2=2Wf·n] （14）

[Wf=0.1-0.05TTmax] （15）

式中：C2是與白鯨墜落概率和種群規(guī)模有關(guān)的階躍因子；ub和lb分別是變量的上下界；Wf為鯨魚墜落概率。

2" 改進(jìn)白鯨優(yōu)化算法

本文提出一種改進(jìn)的白鯨優(yōu)化（IBWO）算法，通過設(shè)計(jì)動態(tài)邊界條件與反向種群生成方式對白鯨優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)。IBWO算法流程如下。

1） 算法初始化。設(shè)定算法維度為2，分別對應(yīng)分解層數(shù)K與懲罰因子α。根據(jù)信號特征設(shè)置種群個(gè)數(shù)、迭代次數(shù)和個(gè)體范圍，并隨機(jī)生成初始化種群。

2） 根據(jù)動態(tài)邊界條件判斷是執(zhí)行勘探階段還是開發(fā)階段。本文引入余弦因子，將邊界條件設(shè)置為式（16），將權(quán)重設(shè)為非線性遞減形式，遞減速度先快后慢，[B'f]大于0.5時(shí)執(zhí)行勘探階段，否則執(zhí)行局部開發(fā)階段。引入非線性動態(tài)邊界條件，使得算法前期重點(diǎn)關(guān)注全局勘探，后期重點(diǎn)關(guān)注局部開發(fā)，更好地平衡勘探與開發(fā)階段，有利于提高算法的精度，并防止算法出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。

[B'f=B0?cosπT2Tmax] （16）

3） 生成反向種群。為防止算法陷入局部最優(yōu)，在當(dāng)前種群的基礎(chǔ)上生成反向種群，同時(shí)考慮當(dāng)前解和反向解，有利于算法跳出局部最優(yōu)。在生成反向種群時(shí)，由于迭代前期種群質(zhì)量較低，因此基于當(dāng)前種群生成的反向種群質(zhì)量也較低。基于此，在生成反向種群過程中引入動態(tài)權(quán)重因子，權(quán)重因子為正弦函數(shù)，如公式（17）所示。算法迭代初期權(quán)值較小，迭代后期權(quán)值較大，可以更好地引導(dǎo)反向解的生成，有助于算法跳出局部最優(yōu)，提高算法精度。

[X（t）=lb+ub-sinTTmax·X（t）] （17）

4） 計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)。以信號的最小包絡(luò)熵為適應(yīng)度函數(shù)，進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算，最小包絡(luò)熵值越小，說明分解效果越好。將當(dāng)前解與步驟3）生成的反向解進(jìn)行適應(yīng)度排序，選擇適應(yīng)度最小的個(gè)體作為最優(yōu)個(gè)體。

5） 判斷是否到達(dá)最大迭代次數(shù)，若未到達(dá)則進(jìn)行下一次迭代；若已到達(dá)最大迭代次數(shù)，則將最優(yōu)個(gè)體的位置輸出，即為分解層數(shù)K與懲罰因子α的值。

IBWO算法流程如圖1所示。

3" 去噪方法及指標(biāo)

3.1" 去噪方法

結(jié)合VMD的特點(diǎn)，本文采用IBWO確定VMD中的分解層數(shù)K和懲罰因子α，確定參數(shù)后對ECG進(jìn)行VMD，對得到的每一個(gè)IMF分量計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)大于0.5的信號認(rèn)為由ECG主導(dǎo)，否則認(rèn)為由噪聲主導(dǎo)。利用小波閾值去噪對噪聲主導(dǎo)的信號進(jìn)行降噪處理，最后將所有IMF分量進(jìn)行重構(gòu)，得到降噪后的ECG。

IBWO?VMD參數(shù)優(yōu)化的具體步驟如下。

1） 初始化IBWO參數(shù)。

2） 在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機(jī)生成初始化群體，初始化IBWO。

3） IBWO開始迭代，計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)，尋找最優(yōu)的分解層數(shù)K和懲罰因子α。

4） 對含噪ECG進(jìn)行K層VMD。

5） 對VMD得到的k個(gè)IMF分量進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，相關(guān)系數(shù)大于0.5的IMF分量認(rèn)為是ECG主導(dǎo)，否則認(rèn)為是噪聲主導(dǎo)的分量。

6） 對判斷為噪聲主導(dǎo)的IMF分量采用小波閾值去噪進(jìn)行去噪處理。

7） 將由ECG主導(dǎo)的IMF分量和去噪后的噪聲主導(dǎo)IMF分量進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的ECG。

本文去噪方法流程如圖2所示。

3.2" 評價(jià)指標(biāo)

為了全面評估在ECG肌電干擾去噪中本文方法的有效性，使用了三個(gè)評價(jià)指標(biāo)：信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）、均方誤差（Mean Square Error， MSE）和自相關(guān)系數(shù)（Autocorrelation Coefficient， AC），用于判斷去噪后信號與原始信號的相似程度。

[SNR=10lgi=1nx2（i）i=1n[x（i）-f'（i）]2] （18）

[MSE=1ni=1n[x（i）-f'（i）]2] （19）

[AC=i=1n[x（i）-x][f'（i）-f']i=1n[x（i）-x]2?i=1n[f'（i）-f']2] （20）

式中：[x（i）]代表無噪聲的原始ECG；[f'（i）]代表經(jīng)過去噪處理后的ECG。[SNR]越大，MSE越小，表示去噪后的信號與無噪聲信號相似程度越高，去噪效果越好。AC越大，表明經(jīng)過去噪后重構(gòu)的ECG與原始ECG之間的偏差越小，去噪效果越好。

4" 仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)測驗(yàn)證

ECG的肌電干擾噪聲可以看作一種有限帶寬的高斯白噪聲，先前的研究常常使用可控的高斯白噪聲來模擬肌電干擾進(jìn)行相關(guān)分析[14]。本文選擇來自“MIT?BIH Arrhythmia Database”的103號ECG。將103號ECG疊加信噪比為10 dB的高斯白噪聲，產(chǎn)生含噪103號ECG。分別采用小波閾值去噪法、EMD、EMD?小波閾值去噪法及本文方法對含噪的103號ECG進(jìn)行去噪，并將處理結(jié)果進(jìn)行對比分析。圖3為信噪比為10 dB的103號ECG。

4.1" 仿真實(shí)驗(yàn)

將仿真103號ECG作為IBWO的輸入來選取VMD參數(shù)，最終得到的最優(yōu)參數(shù)為K=7，α =1 200。

經(jīng)過IBWO?VMD處理后，103號ECG被分解為7個(gè)IMF分量，如圖4所示，各IMF分量的頻譜如圖5所示。

計(jì)算每個(gè)IMF分量與原始心電信號的相關(guān)系數(shù)，這7個(gè)IMF分量的相關(guān)系數(shù)依次為0.507 8、0.734 6、0.621 4、0.423 7、0.017 5、0.005 0、0.002 3。IMF1～I(xiàn)MF3分量的相關(guān)系數(shù)均大于0.5，而IMF4～I(xiàn)MF7分量的相關(guān)系數(shù)均小于0.5。因此，認(rèn)為IMF1～I(xiàn)MF3由ECG主導(dǎo)，IMF4～I(xiàn)MF7由噪聲信號主導(dǎo)。對噪聲主導(dǎo)的IMF4～I(xiàn)MF7分量進(jìn)行小波閾值去噪處理，將去噪后的IMF4～I(xiàn)MF7分量與ECG主導(dǎo)的IMF1～I(xiàn)MF3分量進(jìn)行重構(gòu)，即可得到去噪后的103號ECG。采用不同方法對信號進(jìn)行去噪處理，各方法重構(gòu)后的103號ECG見圖6。

由圖6可知：經(jīng)本文方法去噪后，有效地去除了肌電干擾信號；相比其他去噪方法，本文方法去噪后的103號ECG較多地保留了原始ECG的信號特征，更好地對原始ECG進(jìn)行了還原。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提去噪算法的去噪能力，在103號ECG中再添15 dB、20 dB高斯白噪聲進(jìn)行分析驗(yàn)證，對不同信噪比的噪聲分別采用小波閾值去噪、EMD、EMD?小波閾值去噪、本文方法進(jìn)行驗(yàn)證與對比。不同信噪比下各去噪方法去噪后[SNR]、MSE、AC等比較指標(biāo)如表1所示。

從表1可以看出，本文方法相較于其余三種去噪方法，擁有更大的SNR和AC，以及更小的MSE。表明經(jīng)本文去噪方法重構(gòu)的ECG與原始ECG相似度較高，證明了本文方案的可行性。

4.3" 實(shí)測ECG實(shí)驗(yàn)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在實(shí)際ECG上的去噪效果，選取“MIT?BIH Noise Stress Test Database”中的肌電干擾（MA信號）作為干擾信號進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)分析，將MA信號與ECG合成可得真實(shí)測量的含噪ECG。MA信號如圖7所示。

選取“MIT?BIH”心電數(shù)據(jù)庫中正常ECG101號、105號和戴有起搏器患者的ECG104號，與MA信號結(jié)合形成真實(shí)測量的含肌電干擾的ECG信號，采用小波閾值去噪、EMD、EMD?小波閾值去噪、本文方法分別對含有MA的101號、104號、105號ECG進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)。含MA的101、104、105號ECG與本文方法重構(gòu)后的101、104、105號ECG對比如圖8所示。

由于原始ECG與MA均包含少量的基線漂移噪聲，SNR與MSE評估的準(zhǔn)確性受到嚴(yán)重影響，因此，在評估和驗(yàn)證實(shí)測ECG時(shí)，僅采用了去噪后的ECG與原始ECG之間的自相關(guān)系數(shù)（AC）進(jìn)行評估。不同ECG去噪后ACF值如表2所示。

由表2可知，與其他去噪方法相比，采用本文提出的去噪方法得到的AC值最接近1，表明經(jīng)本文方法去噪后得到的ECG與原始ECG相似度最高，更大程度地保留了原始ECG的信號特征。

5" 結(jié)" 論

本文針對心電信號中的肌電干擾去除問題，提出一種參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解的信號去噪方法。為實(shí)現(xiàn)變分模態(tài)分解中分解層數(shù)K與懲罰因子α的自適應(yīng)選取，提出了一種改進(jìn)白鯨優(yōu)化算法，通過設(shè)計(jì)動態(tài)邊界條件和反向種群生成方式，提高了VMD參數(shù)自尋優(yōu)的搜索能力；基于分解層數(shù)K與懲罰因子α對信號進(jìn)行分解，利用相關(guān)系數(shù)篩選噪聲主導(dǎo)模態(tài)，對噪聲主導(dǎo)模態(tài)分量進(jìn)行小波閾值去噪；將去噪后噪聲分量與其余分量重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)信號去噪。

設(shè)計(jì)仿真與含真實(shí)肌電干擾的心電信號實(shí)驗(yàn)，將本文方法與EMD、小波閾值去噪、EMD?小波閾值去噪進(jìn)行對比，采用信噪比、均方誤差與自相關(guān)系數(shù)三個(gè)評價(jià)指標(biāo)定量證明了本文方法的去噪效果優(yōu)于其余三種方法。綜上證明了本文方法在心電信號降噪中具有良好的降噪效果，是一種有效的去噪方法。

注：本文通訊作者為李新娥。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳倩蓉，梁永波，趙飛駿，等.基于心電?脈搏波的心血管疾病識別研究[J].中國醫(yī)學(xué)物理學(xué)雜志，2019，36（2）：210?214.

[2] ASHISH K， HARSHIT T， VIRENDER K M， et al. Stationary wavelet transform based ECG signal denoising method [J]. ISA transactions， 2021， 144： 251?262.

[3] 徐晗昕，俞斌杰，柳麗，等.改進(jìn)小波閾值函數(shù)在手部姿態(tài)獲取中的應(yīng)用[J].傳感器與微系統(tǒng)，2023，42（11）：165?168.

[4] 楊承金，聶春燕，王慧宇，等.基于小波改進(jìn)閾值的肌電干擾降噪研究與效果評估[J].電子測量技術(shù)，2021，44（22）：80?86.

[5] SINGH B N， TIWARI A K. Optimal selection of wavelet basis function applied to ECG signal denoising [J]. Digital signal processing， 2006， 16（3）： 275?287.

[6] 施佳朋，黃漢明，薛思敏，等.基于EMD?VMD?LSTM的地震信號分類研究[J].傳感器與微系統(tǒng)，2021，40（6）：57?59.

[7] 朝樂蒙，梁瑩，夏慧琳.基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解聯(lián)合小波閾值的自適應(yīng)心電信號基線漂移噪聲去除[C]//中國醫(yī)學(xué)裝備大會暨2021醫(yī)學(xué)裝備展覽會論文匯編.蘇州：《中國醫(yī)學(xué)裝備》雜志社，2021：108?114.

[8] 盧莉蓉，牛曉東，王鑒，等.基于EMD與IMF分量統(tǒng)計(jì)特性的ECG去噪[J].中國醫(yī)學(xué)物理學(xué)雜志，2021，38（12）：1529?1534.

[9] 蔡改貧，李波波，趙鑫，等.基于自適應(yīng)VMD?Hilbert的球磨機(jī)負(fù)荷參數(shù)預(yù)測[J].傳感器與微系統(tǒng)，2023，42（9）：133?136.

[10] 盧莉蓉，王鑒，牛曉東.基于VMD和小波閾值的ECG肌電干擾去噪處理[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2020，33（6）：867?873.

[11] ZHANG M， JIANG Z， FENG K. Research on variational mode decomposition in rolling bearings fault diagnosis of the multistage centrifugal pump [J]. Mechanical systems and signal processing， 2017， 93： 460?493.

[12] 郁偉，李正權(quán)，邢松.改進(jìn)WOA?VMD算法的心電信號去噪[J].中國醫(yī)學(xué)物理學(xué)雜志，2023，40（9）：1143?1150.

[13] ZHONG C T， LI G， MENG Z. Beluga whale optimization： a novel nature?inspired metaheuristic algorithm [J]. Knowledge?based systems， 2022， 251： 109215.

[14] 楊承金，聶春燕，車敏詩，等.心電信號去噪效果的評估與分析[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2022，58（1）：300?312.

[15] 魏安凱，王娜，丁軍航，等.基于優(yōu)化SSA?VMD的滾動軸承故障信號降噪方法[J].電子設(shè)計(jì)工程，2024，32（16）：64?68.