【摘要】針對電動汽車運行過程中，電池溫度呈現(xiàn)中間高、四周低的分布，從而影響電池使用壽命的問題，以幾何平均溫度為目標函數(shù)，提出基于浮動映射拓撲優(yōu)化的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，通過算例對比分析了單工況和多工況動力電池包的最高溫度及溫差。分析結(jié)果表明，所得到的拓撲構(gòu)型在多工況時可以有效降低散熱過程中的最高溫度和溫差，使溫度分布均勻。最后將該方法運用到動力電池包支撐結(jié)構(gòu)中，結(jié)果表明，該方法在有效降低溫度的同時，不增加電池包結(jié)構(gòu)的體積，優(yōu)化了材料的分布，實現(xiàn)了電池包整體結(jié)構(gòu)的輕量化。

主題詞：浮動映射法 拓撲優(yōu)化 動力電池包散熱 輕量化

中圖分類號：TU318 " 文獻標志碼：A " DOI： 10.19620/j.cnki.1000-3703.20230255

Heat Dissipation Design of Power Battery Pack Structure Based

on FPTO Method

Huang Dengfeng1，2， Zhou Shunshun1，2， Yan Xiaolei1，2， Zha Yunfei1，2

（1. Fujian University of Technology， Fuzhou 350118；2. Fujian Key Laboratory of Automotive Electronics and Electric Drive，F(xiàn)uzhou 350118）

【Abstract】As the battery temperature shows a high distribution in the middle and low distribution around during the operation of electric vehicles， it affects the battery service life. To this end， a steady-state heat conduction structure design method based on Floating Projection Topology Optimization （FPTO） is proposed using the geometric mean temperature as the objective function， and the maximum temperature and temperature difference of the power battery pack under single and multiple operating conditions are comparatively analyzed by means of an arithmetic example， which demonstrates that the obtained topological configuration can effectively reduce the maximum temperature and temperature difference in the heat dissipation process during the multiple operating conditions， so as to make the temperature distribution uniform. Finally， the method is applied to the power battery pack support structure， and the results show that the method effectively reduces the temperature without increasing the volume of the battery pack structure， optimizes the distribution of materials， and realizes lightweight of the overall structure of the battery pack.

Key words： FPTO method， Topology optimization， Power battery pack， Heat dissipation， Light weighting

【引用格式】 黃登峰， 周順順， 閆曉磊， 等. 基于浮動映射法的動力電池包散熱結(jié)構(gòu)設(shè)計[J]. 汽車技術(shù)， 2024（7）： 37-43.

HUANG D F， ZHOU S S， YAN X L， et al. Heat Dissipation Design of Power Battery Pack Structure Based on FPTO Method[J]. Automobile Technology， 2024（7）： 37-43.

1 前言

鋰離子電池包作為電動汽車的核心部件之一[1]，在放電過程中對溫度變化敏感，需保證其工作在適當?shù)臏囟确秶鷥?nèi)，才能充分發(fā)揮其性能[2]。

利用電池熱管理系統(tǒng)鋪設(shè)散熱片的方法可以對電池進行散熱，但同時也增大了其體積和質(zhì)量。而采用熱拓撲方法，不僅節(jié)約材料、降低成本，還能優(yōu)化動力電池包的散熱效果。因此，采取拓撲優(yōu)化方法[3]實現(xiàn)實際工程中的熱防護及輕量化具有重要的研究意義。

拓撲優(yōu)化是在給定的設(shè)計域內(nèi)尋求最佳材料分布的方法。應(yīng)用較多的方法包括變密度法[4]、水平集法[5]、進化法[6]、均勻化[7]法等。Rodrigues[8]首次將拓撲優(yōu)化方法應(yīng)用到熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，研究了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。Nishiwaki[9]以結(jié)構(gòu)總體勢能為目標函數(shù)，得到了最佳的穩(wěn)態(tài)散熱拓撲結(jié)構(gòu)。王定標等[10]運用熱拓撲方法，以平均溫度最低為目標函數(shù)，對電子元件散熱結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計。喬赫廷等[11]引入幾何平均溫度作為目標函數(shù)，實現(xiàn)了最高溫度最小化。侯麗園等[12]通過比較最優(yōu)構(gòu)型中的溫度指標值和散熱弱度值等，總結(jié)出各目標函數(shù)對不同工況的適用性。Xue等[13]將散熱弱度指標應(yīng)用于電池包結(jié)構(gòu)散熱中，以溫度作為約束條件，在滿足溫度要求的同時，使電池包結(jié)構(gòu)強度最大。Kambampati等[14]通過p范數(shù)[15]近似得出電池包結(jié)構(gòu)熱處的最高溫度，采用水平集方法得到最高溫度下的拓撲構(gòu)型。以上熱傳導(dǎo)拓撲優(yōu)化方法得到的結(jié)果未考慮如中間密度單元、邊界不清晰、鋸齒狀、精度差等問題。

浮動映射（Floating Projection Topology Optimization，F(xiàn)PTO）法[16]能夠處理得到邊界清晰且光滑的拓撲構(gòu)型。為此本文以FPTO法為基礎(chǔ)，采用幾何平均溫度為目標函數(shù)進行熱拓撲優(yōu)化，開展動力電池包支撐結(jié)構(gòu)散熱設(shè)計，以解決動力電池放電過程中溫度分布不均及熱集中等問題，獲得便于制造、散熱效率高的結(jié)構(gòu)。

2 FPTO算法原理

2.1 拓撲優(yōu)化模型

基于FPTO法的結(jié)構(gòu)散熱設(shè)計包括確定設(shè)計變量、確定目標函數(shù)表達式和確定約束條件。圖1為設(shè)計域模型，其中[Ω1]為實材料區(qū)域，[Ω0]為空材料區(qū)域，[?Ω]為邊界區(qū)，[Q]為溫度載荷向量，設(shè)計域左側(cè)固定。

本文基于浮動映射法，通過[p]范數(shù)近似模擬電池包在發(fā)熱過程中的最高溫度，以電池包中幾何平均溫度最小化為目標函數(shù)，建立優(yōu)化模型如下：

[find " x=x1，x2，…，xnmin " Tpn=1Ni=1Ntip1p s.t： i=1nxivi≤f?V0 " " " " " " " " " " " K（xi）T=Qxi=1 " " " " " " 當 "xi∈Ω1 " "xi=xmin " " " " 當 "xi∈Ω0; "i=1，2，...，nxminlt;xilt;1 當 "xi∈?Ω] （1）

式中：xi為設(shè)計變量，取值范圍通常為[xmin，1]，為避免求解矩陣奇異，xmin通常取值為0.001；K為結(jié)構(gòu)的整體傳熱系數(shù)矩陣；Q為溫度載荷向量；T為節(jié)點溫度向量；n為設(shè)計域內(nèi)單元總數(shù)；vi為單元體積；V0為初始狀態(tài)下總體積；f為設(shè)定的體積分數(shù)；ti表示第[i]個單元節(jié)點的溫度；N為設(shè)計域內(nèi)單元節(jié)點總數(shù)；T pn為幾何平均溫度；p為凝聚參數(shù)，p取值越大，越接近最高溫度，在實際問題中較大的p值易引發(fā)迭代振蕩、收斂困難等問題，根據(jù)數(shù)值測試結(jié)果，本文p取值為16[17]。

2.2 線性材料插值模型及靈敏度分析

采用浮動映射法求解散熱問題時，單元材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)與單元密度之間采用無懲罰的線性插值模型，存在如下關(guān)系：

[Ei=xiE0] （2）

式中：E0為材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)，[Ei]為插值后的單元熱傳導(dǎo)系數(shù)。

求解以幾何平均溫度為目標對設(shè)計變量的靈敏度時，由于存在隱式項，無法直接求解，故構(gòu)造拉格朗日向量伴隨方程，其目標函數(shù)如下：

[f=Tpn+λTQ-KT] （3）

式中：[λ]為任意值，故引入拉格朗日向量構(gòu)造出的新目標函數(shù)與原來的目標函數(shù)值是等價的。

對目標函數(shù)求導(dǎo)得：

[?f?xi=?Tpn?xi+?λT（Q-KT）?xi] （4）

其中：

[?Tpn?xi=?Tpn?ti?ti?xi=1Ni=1Ntip1p-11Ntip-1LTi?T?xi] " " （5）

式中：[ti=LTiT]，[Li]為索引矩陣。故有：

[?f?xi=?Tpn?xiLTi?T?xi+λT?Q?xi-?K?xiT-K?T?xi " " =?Tpn?xiLTi-λTK?T?xi-λT?K?xiT] " " " "（6）

由于溫度對設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)是隱式項，不能直接計算得到，故采用伴隨法求解靈敏度，令其為零可得：

[Kλ=?Tpn?xiLi=1Ni=1Ntip1p-11Ntip-1Li] " " " " " （7）

故以幾何平均溫度為目標的靈敏度表達式為：

[?f?xi=-λT?K?xiT] （8）

求得目標函數(shù)的靈敏度后，根據(jù)熱拓撲優(yōu)化模型，在優(yōu)化迭代的過程中需滿足體積約束，故靈敏度表達式為：

[?Vf?xi=vii=1nvi] （9）

式中：Vf為全局的單元體積。

2.3 變量更新及浮動映射約束施加

求得目標函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度后，浮動映射采用的單元求解方法為無阻尼最優(yōu)性標準（Optimality Criteria，OC）法，其更新公式如下：

[xki=1， xk-1iBi≥1xmin， xk-1iBi≤xminxk-1iBi， xmin≤xk-1iBi≤1] （10）

式中：[Bi=-?C/?xiλ?Vf/?xi]；[λ]為體積約束下的拉格朗日乘子；k為迭代次數(shù)，通過二分法計算得到。

在迭代的過程中更新單元設(shè)計變量后，由于數(shù)值不穩(wěn)定，會造成棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴性等問題。FPTO法采用無懲罰的線性插值模型，通過Heaviside函數(shù)，刪除中間密度單元，使材料中的設(shè)計變量xi趨于0/1分布，即：

[xki=tanhβ·?+tanhβxi-?tanhβ·?+tanhβ1-?] （11）

式中：[?]為投影函數(shù)的映射閾值，可以通過確保投影前后體積保持不變來確定；β值控制映射函數(shù)的陡峭程度，其初始值通常設(shè)定為趨于0的正數(shù)，本文中的取值為10-6，“浮動”映射即表示在迭代過程中β的變化過程，β取值越大，設(shè)計變量的值越趨向0/1分布。

2.4 收斂準則

為了便于實際工程中的應(yīng)用與可制造性，浮動映射法通過構(gòu)造水平集函數(shù)，以獲得清晰、光滑的拓撲邊界[18]。水平集函數(shù)的表達式為：

[φk=xks，t-?gt;0， 當 xks，t∈Ω1φk=xks，t-?=0， 當 xks，t∈?Ωφk=xks，t-?lt;0， 當 xks，t∈Ω0] （12）

針對映射后的設(shè)計變量，通過線性插值，得到整個設(shè)計域中任一點（s，t）處的設(shè)計變量xk（s，t）。

定義拓撲誤差[τ]表示由水平集函數(shù)通過插值得到的光滑拓撲結(jié)構(gòu)與實際拓撲結(jié)構(gòu)的差值，其表達式為：

[τ=Cvki-CxkiCvki] （13）

式中：[Cvki]為光滑設(shè)計的目標函數(shù)，通過細化變量xk（s，t）的體積加權(quán)求得；[Cxki]為單元設(shè)計的目標函數(shù)。

在更新迭代過程中，通過定義的拓撲誤差，控制[β]的更新，當[τ]達到設(shè)定值時，可認為拓撲的構(gòu)型邊界清晰、光滑，則停止增大[β]值。

3 算例分析

本文列舉單工況多熱源算例和多工況多熱源算例[19]。單工況多熱源是指集中熱源的工況相同、數(shù)值相同、無權(quán)值系數(shù)；多工況多熱源是指集中熱源的工況不同、數(shù)值相同、權(quán)值系數(shù)相同?；诟佑成錈嵬負浞椒?，以幾何平均溫度最小化為目標，通過二維算例、三維算例得到的拓撲構(gòu)型及結(jié)果，得出所提出的目標函數(shù)降低最高溫度、溫差的有效性，并將其應(yīng)用到動力電池包支撐結(jié)構(gòu)中。

3.1 二維算例

圖2a為單工況多熱源算例，設(shè)計域尺寸為0.05 m×0.05 m。設(shè)計域內(nèi)同時設(shè)置5個數(shù)值相同的集中熱源q=100 W/m3，設(shè)定溫度T=0℃，導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，體積約束為40%，濾波半徑rmin=2 mm。

圖2b所示為多工況多熱源算例，設(shè)計域內(nèi)設(shè)置5個數(shù)值相同的集中熱源，q1、q2、q3、q4、q5代表5個不同工況的熱源線性疊加工況，設(shè)定四角點溫度T=0 ℃，其余參數(shù)同圖2a。

二維算例最優(yōu)拓撲構(gòu)型及溫度指標如表1所示。單工況多熱源以及多工況多熱源的情況下，拓撲構(gòu)型及溫度指標有著顯著區(qū)別。單工況多熱源算例中，各熱源處的溫度分別向四周進行擴散，導(dǎo)致中心點處溫度較高；在多工況多熱源算例中，各熱源處的溫度彼此相連后向四角低溫區(qū)擴散，導(dǎo)致中心點處的熱源溫度較低，四周溫度較高。圖2a的熱源處溫差較小，為0.09 ℃；圖2b最低溫度在中心熱源處，由此可驗證浮動映射熱拓撲方法的有效性。多工況多熱源的情況下得到的拓撲構(gòu)型可以有效解決基于人工經(jīng)驗鋪設(shè)散熱片的方法造成的熱量集中分布在中心處的現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，將二維算例拓展到三維，以進一步驗證本文方法的準確性。

3.2 三維算例

三維多工況多熱源算例示意如圖3所示。設(shè)計域尺寸為0.06 m×0.06 m×0.01 m，設(shè)計域四邊溫度T=0 ℃，熱源q1、q2、q3、q4數(shù)值同為100 W/m3，且對稱分布在正方體內(nèi)部，q1～q4分別代表4種熱源工況，導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，體積約束為40%，濾波半徑rmin=1.2 mm。

三維算例最優(yōu)拓撲構(gòu)型及溫度指標如表2所示。熱源處的溫度相等，溫差為零，這是由于該算例的拓撲構(gòu)型具有對稱性且各熱源與散熱邊界處的距離相等。在多工況多熱源情況下，各熱源處的溫度未直接向低溫區(qū)的4個散熱邊界擴散，而是各熱源在彼此相連后向散熱邊界處擴散，此時降低最高溫度及減小溫差的效果最佳。三維算例可以得到和二維算例相同的結(jié)論，因此以幾何平均溫度為目標函數(shù)在降低最高溫度的同時，也降低了溫差，使溫度分布更均勻。故將此方法運用到新能源動力電池包支撐結(jié)構(gòu)中。

4 動力電池包支架設(shè)計

根據(jù)二維、三維算例得到的結(jié)果，考慮以多工況多熱源幾何平均溫度最小化為目標，采用浮動映射熱拓撲方法設(shè)計新型的電池包散熱結(jié)構(gòu)。

4.1 二維動力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

電池模型采用型號為18650的三元鋰電池，根據(jù)出廠參數(shù)，將其簡化為高度為65 mm、半徑為9 mm的圓柱體。電池半徑為10.5 mm（包含密封圈尺寸）。在理想狀態(tài)下，電池作為非設(shè)計域，被看作一種特殊材料制作而成的均勻發(fā)熱體。傳統(tǒng)的電池模組支架通常是注塑件，起到固定電池包的作用，并不具備良好的散熱能力。為提高電池的使用壽命，降低電池最高溫度及溫差，本文采用浮動映射方法設(shè)計出散熱性能良好的新型支撐結(jié)構(gòu)。

由于電池包具有高度的對稱性，本文以3×3的模型為例，設(shè)計域尺寸為0.12 m×0.12 m。設(shè)計域內(nèi)設(shè)置9個50 W/m3的多工況多熱源，設(shè)定四周溫度T=0 ℃，假設(shè)材料的導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，電池的導(dǎo)熱系數(shù)K1=10 W/m℃，體積約束為50%，濾波半徑rmin=3 mm。電池支架如圖4所示。

將本文所提出的浮動映射方法與傳統(tǒng)固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）法進行對比。圖5a為SIMP法多工況多熱源下的最優(yōu)散熱拓撲構(gòu)型，其中，紅色代表電池材料、深藍色表示空材料、淺綠色代表拓撲結(jié)構(gòu)材料。圖5b為熱源擴散示意圖，其中紅色部分為熱源的高溫區(qū)，藍色部分為低溫區(qū)。圖6a和圖6b為FPTO法多工況多熱源下的最優(yōu)散熱拓撲構(gòu)型和溫度擴散示意圖，其顏色分布與SIMP法相同。由圖7可知SIMP法目標函數(shù)迭代曲線最終收斂值為22.62，F(xiàn)PTO法目標函數(shù)迭代曲線最終收斂值為22.61，降低了0.01。表3、表4所示分別為SIMP法和FPTO法得到的9個熱源處的溫度值。通過表5中對比結(jié)果可得：熱源處最高溫、熱源處最低溫度、溫度差、全域的幾何平均溫度與傳統(tǒng)多工況多熱源SIMP方法相比，多工況多熱源的FPTO方法的溫度指標值更小，故散熱效果更好。因此，在多工況多熱源時采用浮動映射法以幾何平均溫度最小化為目標得到的電池包支撐結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型，有效降低了中心熱源處的最高溫度，顯著降低了溫差，使溫度分布更均勻。

4.2 三維動力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

基于FPTO法設(shè)計三維動力電池支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型如圖8所示。設(shè)計域尺寸為0.12 m×0.12 m×0.008 m。設(shè)計域內(nèi)設(shè)置9個集中熱源q=50 W/m3，設(shè)定4面綠色部分為動力電池包支撐結(jié)構(gòu)散熱區(qū)域，溫度為T=0 ℃。假設(shè)材料的導(dǎo)熱系數(shù)K0=200 W/m℃，電池的導(dǎo)熱系數(shù)K1=10 W/m℃，體積約束為50%，濾波半徑rmin=3 mm。

在圖8所示新能源電池包的支撐模型的基礎(chǔ)上，采用幾何平均溫度最小化為目標函數(shù)的浮動映射拓撲優(yōu)化方法得到的最優(yōu)拓撲構(gòu)型如圖9a所示。根據(jù)圖9a得到的最優(yōu)散熱拓撲構(gòu)型并將其導(dǎo)入三維軟件CATIA中進行后處理，得到整個單體電池包支撐結(jié)構(gòu)如圖9b所示。

5 結(jié)束語

本文利用浮動映射拓撲優(yōu)化方法以幾何平均溫度最小化為目標函數(shù)，進行電動汽車電池包散熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。二維、三維算例及動力電池包支撐結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化結(jié)果表明：單工況多熱源、多工況多熱源的情況下，以幾何平均溫度為目標的熱拓撲結(jié)構(gòu)，降低了散熱過程中的最高溫度和溫差，使溫度分布更加均勻，散熱性更好。

將此方法運用在新能源動力電池包支撐結(jié)構(gòu)，通過SIMP法和FPTO法的對比，可以得出：所提出的FPTO方法降低了動力電池的最高溫度，使溫度分布更均勻，提高了電池的使用壽命和安全性，有效地解決了傳統(tǒng)電池熱管理方法增加電池包結(jié)構(gòu)體積和質(zhì)量的缺陷及根據(jù)人工經(jīng)驗鋪設(shè)散熱片，散熱慢、溫度集中分布等問題，能夠在合理分配材料的同時，減輕了電池包整體的質(zhì)量。

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（責任編輯 王 一）

修改稿收到日期為2023年5月30日。