許多剪紙作品都是對(duì)稱(chēng)圖案，例如，沿“雙鵲登枝圖”（圖1）正中的虛線(xiàn)將其對(duì)折，左右兩邊的圖案會(huì)完全重合，它的剪法通常是先把一張紙對(duì)折，在折痕左邊剪出如圖2所示的圖案，再把這張紙翻開(kāi)鋪平就得到完整的圖案．像這樣的圖案，被稱(chēng)為左右對(duì)稱(chēng)，又如，沿“天鵝戲水圖”（圖3）正中的虛線(xiàn)將其對(duì)折，則上下兩邊的圖案（天鵝與其倒影）會(huì)完全重合，像這樣的圖案，被稱(chēng)為上下對(duì)稱(chēng)．

上下對(duì)稱(chēng)和左右對(duì)稱(chēng)都屬于圖形對(duì)稱(chēng)中的同一種類(lèi)型——軸對(duì)稱(chēng)，下面說(shuō)說(shuō)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)基本概念，由此加深對(duì)軸對(duì)稱(chēng)的認(rèn)識(shí)．

一、兩點(diǎn)的軸對(duì)稱(chēng)

每個(gè)圖形都是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)集合而成的，我們先從點(diǎn)的軸對(duì)稱(chēng)說(shuō)起，在一張紙上任意畫(huà)出兩個(gè)點(diǎn)，你能把這張紙折疊一次使這兩點(diǎn)重合嗎？請(qǐng)你試一試，如果試成了，將紙鋪平，觀(guān)察這兩點(diǎn)與折痕的位置關(guān)系，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：這兩點(diǎn)分別在折痕的兩邊，而且折痕垂直平分連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段，即折痕在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．

如圖4，設(shè)平面上有兩點(diǎn)A和B，如果直線(xiàn)l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，或者說(shuō)點(diǎn)A和點(diǎn)B成軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)l是它們的對(duì)稱(chēng)軸，例如，圖1中左右兩只喜鵲的上喙尖是成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是正中豎直虛線(xiàn)所在的直線(xiàn)，圖3中天鵝與其倒影的兩尾尖是成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是正中水平虛線(xiàn)所在的直線(xiàn)．

平面上任意兩點(diǎn)都是成軸對(duì)稱(chēng)的，它們有且僅有一條對(duì)稱(chēng)軸．兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸把平面分為兩部分，每一部分稱(chēng)為半平面，這兩點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面上，如果把其中一個(gè)半平面沿對(duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)180°，則隨著兩個(gè)半平面重合，這兩點(diǎn)也一定重合．

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)B（-2，1）的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)C（2，-1）的對(duì)稱(chēng)軸是x軸，點(diǎn)A（2，1）和點(diǎn)D（1，2）的對(duì)稱(chēng)軸是過(guò)原點(diǎn)并且平分∠x(chóng)Oy的直線(xiàn)l．想一想：點(diǎn)（a，b）關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是什么？

如下頁(yè)圖6，平面上兩點(diǎn)A，B的對(duì)稱(chēng)軸l與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)D．在l上任取一點(diǎn)C，連接線(xiàn)段AC與BC，則一定會(huì)有AC=BC，∠ACD=∠BCD.同學(xué)們可以利用全等三角形證明這個(gè)結(jié)論．

“最短路線(xiàn)”問(wèn)題的解法也用到了兩點(diǎn)的軸對(duì)稱(chēng)，如圖7，一個(gè)人要從A地到直馬路l1的路邊送貨，再到直馬路l2的路邊接貨，并把接到的貨送到B地，下面為他設(shè)計(jì)做完這些事的最短路線(xiàn).A和B是定點(diǎn)，l1和l2是定直線(xiàn)，送貨點(diǎn)C和接貨點(diǎn)0分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)題是：點(diǎn)C和點(diǎn)D選在何處做完事的路線(xiàn)最短？答案是：取點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接A'，B'，線(xiàn)段A'B'與l1，l2分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)0，折線(xiàn)ACDB即為最短路線(xiàn)，你能解釋為什么這樣做嗎？

二、兩個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)

如圖8，△ABC和△A'B'C'上的點(diǎn)可以一一對(duì)應(yīng)，如點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，……并且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都關(guān)于同一直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，即l是線(xiàn)段AA'，BB'，CC'，DD'等共有的垂直平分線(xiàn)．如果把圖形沿l對(duì)折，則這兩個(gè)三角形重合．

一般地說(shuō)，如果兩個(gè)圖形上所有的點(diǎn)可以一一對(duì)應(yīng)，并且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都關(guān)于同一直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，或者說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)是它們的對(duì)稱(chēng)軸．例如，圖8中△ABC和△A'B'C'是成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，直線(xiàn)l是它們的對(duì)稱(chēng)軸．

兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，可能它們各自完整地分布在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，如圖8；也可能每個(gè)圖形都被對(duì)稱(chēng)軸分為兩部分，如圖9中△ABC和△A'B'C'的對(duì)稱(chēng)軸l穿過(guò)每個(gè)三角形．

在同一平面內(nèi)，如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸把這個(gè)平面分為兩個(gè)半平面，把其中一個(gè)半平面沿對(duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)180°，則原來(lái)兩個(gè)圖形一定重合．由此可知，成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等．

兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)有上下對(duì)稱(chēng)、左右對(duì)稱(chēng)，此外還包括其他情形，例如，圖10中兩個(gè)三角形關(guān)于斜線(xiàn)l成軸對(duì)稱(chēng)．

三、軸對(duì)稱(chēng)圖形

一般地說(shuō)，如果一個(gè)圖形被一條直線(xiàn)分為兩部分，這兩部分圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則這整個(gè)圖形叫作軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)就是其對(duì)稱(chēng)軸．

軸對(duì)稱(chēng)圖形的任何一條對(duì)稱(chēng)軸，都把它分為全等的兩部分．你能找出圖11中窗花的所有對(duì)稱(chēng)軸嗎？

軸對(duì)稱(chēng)圖形是對(duì)一個(gè)圖形整體而言的，它內(nèi)部包含成軸對(duì)稱(chēng)的兩部分，它們的公共部分在對(duì)稱(chēng)軸上．例如，下頁(yè)圖12中的蝴蝶風(fēng)箏是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸把它分為左右對(duì)稱(chēng)的兩部分，對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)為兩部分共有，正因?yàn)轱L(fēng)箏是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它才能平穩(wěn)地飛行．同理，飛機(jī)的造型也是軸對(duì)稱(chēng)的（圖13）．

由上可知，把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸一分為二，則得到成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形．反之，把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體．則得到一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．

圖形的軸對(duì)稱(chēng)能給人以美感，著名建筑學(xué)家梁思成說(shuō)：“中國(guó)建筑的傳統(tǒng)之一，是對(duì)中軸對(duì)稱(chēng)線(xiàn)的鐘愛(ài)與恪守，”北京紫禁城（故宮）是中國(guó)建筑的典型代表，它的整體布局和宮殿造型都體現(xiàn)了軸對(duì)稱(chēng)（圖14）．

四、軸對(duì)稱(chēng)變換

把一個(gè)圖形按照某種方式變化為一個(gè)新圖形，叫作圖形的變換，例如，把圖形G中的每一點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同一距離，得到新圖形C'，這就是平移變換，如果把圖形G中的每一點(diǎn)都反射到關(guān)于同一條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，得出的這些點(diǎn)又構(gòu)成一個(gè)新圖形G＂，這就是軸對(duì)稱(chēng)變換．

對(duì)有些圖形實(shí)施軸對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，可以只針對(duì)一些關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行操作，圖15是一個(gè)五角星的左半部分，如要補(bǔ)畫(huà)出完整的五角星，則可以直線(xiàn)AF為對(duì)稱(chēng)軸，把左半部分的點(diǎn)B，C，D，E作為關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換．

如圖16．依次得出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，C'，D'，E'，再順次連接AB'．B'C'．C'D'．D'E'，E'F，便得到了完整的五角星．

軸對(duì)稱(chēng)變換不僅可用于作圖，還可用于證明和計(jì)算，

例 如圖17，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B.點(diǎn)E在A(yíng)D上，AE：ED=m：n.試在BC上找出點(diǎn)F，使BFFC=m：n.

分析：本題很容易找出點(diǎn)F的位置，但要證明解法的合理性，就需以軸對(duì)稱(chēng)變換為依據(jù)．

解：如圖18，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，EF交BC于點(diǎn)F，則BF：FC=m：n.下面證明這種解法的合理性．

作CD的垂直平分線(xiàn)l，分別交CD，AB于點(diǎn)G，H．連接CH，DH，則CH=DH，于是∠HDC=∠HCD.又AB∥CD，故∠HDC=∠AHD，∠HCD=∠BHC、于是∠AHD=∠BHC.又∠A=∠B，故△AHD≌△BHC（AAS），于是AH=BH.又l⊥AB，故l是AB的垂直平分線(xiàn)，因此，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，又點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，所以線(xiàn)段AD與BC關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，因軸對(duì)稱(chēng)變換不改變圖形的形狀和大小，故AD=BC.與以上推理相同，可知點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，BF=AE，F(xiàn)C=ED.又A E：ED=m：n，故BFFC=m：n.