在數學中，若兩個變量之間存在一次函數關系，則稱它們之間存在線性關系.可見，如果兩個變量之間存在線性關系，其圖像在平面直角坐標系內是一條傾斜直線.從近幾年高考物理實驗的數據處理方式來看，無論是力學實驗還是電學實驗，因線性關系處理數據具有易操作性等優(yōu)點，使得運用線性關系處理實驗數據成為高考的高頻考點.下面以認識和理解線性關系為切入點，用幾種不同的方式建立線性關系，探討運用線性關系處理高中物理實驗數據的方法.

一、認識和理解物理實驗中的線性關系

線性關系的認識和理解是高考物理實驗處理數據的基礎，需要恰當地建立物理量之間的線性關系才能順利解題.

【例1】某同學用自己設計的如圖1所示裝置探究彈簧彈性勢能與形變量的關系.彈射器（厚度不計）固定在水平桌面上，彈簧一端固定在彈射器底部，彈簧處于原長時另一端在彈射器出口位置，現將小球（小球直徑略小于彈射器內徑）壓縮彈簧后由靜止釋放，壓縮量為x，小球在水平桌面上做直線運動并通過一個光電門.已知小球的質量為m，直徑為d，小球通過光電門的時間為t.

圖1""" 圖2

（1）小球通過光電門時的速度大小v=""" （用題中所給字母表示）.

（2）為減小實驗誤差，彈射器出口端距離光電門應該適當""" （選填“近些”或“遠些”）.

（3）該同學通過多次實驗，得到了多組x與對應的t，并作出圖像如圖2所示，則下列選項中能正確表示彈簧彈性勢能Ep與形變量x的關系的圖像是（" ）

【解析】（1）小球通過光電門的平均速度近似等于瞬時速度，即v=dt.

（2）小球與水平桌面間存在摩擦力的作用，為了減小摩擦力的影響，彈射器出口端距離光電門應該適當近些.

（3）彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能，根據動能定理有Ep=12mv2=md22t2，由題圖2可知，x與t成反比，將x=kt，代入可得Ep=md22k2x2，所以EP與x2成線性關系，C選項正確.

【點評】本題第（3）問中，需要根據圖2的x-1t圖像確定Ep-x圖像，從四個選項可以看出，圖像都是傾斜直線，縱坐標為EP，橫坐標不同，需要根據實驗原理和物理規(guī)律推導彈簧彈性勢能EP與形變量x的函數關系方可求解.通過本題，旨在讓學生認識和理解物理實驗中的線性關系.

二、直接建立線性關系處理實驗數據

高中物理實驗中，物理量之間的直接線性關系是很常見的，例如，“探究物體的加速度與力、質量的關系”的實驗中a與F關系，“測定玻璃的折射率”的實驗中sini與sinr的關系.

【例2】圖3是小明同學在做“測定玻璃的折射率”的實驗中所留下的圖紙，該同學選用的玻璃磚前后兩個光學面相互平行，a和a′分別是玻璃磚與空氣的兩個界面，在玻璃磚的一側插上兩枚大頭針P1和P2，然后在另一側透過玻璃磚觀察，并插上大頭針P3，使其擋住P2、P1的像；接著插上大頭針P4，使其擋住P3和P2、P1的像，用“”表示大頭針的位置，這樣P1、P2確定了射入玻璃磚的光線，P3、P4確定了射出玻璃磚的光線.

（1）根據以上信息，請在圖3中畫出光路圖.

（2）小明同學根據a界面測得的入射角θ1和折射角θ2的正弦值畫出了如圖4所示的圖像，從圖像可求得玻璃磚的折射率是""" （保留兩位有效數字）.

（3）如圖5所示，若在實驗過程中畫出界面a后，不小心將玻璃磚向上平移了一些，導致界面a′畫到圖中虛線位置，而在作光路圖時界面a仍為開始所畫的，則所測得的折射率與真實值相比將""" （填“偏大”“偏小”或“不變”）.

【解析】（1）根據題意，畫出的光路圖如圖6所示.

圖6""" 圖7

（2）根據折射定律n=sinθ1sinθ2，可知sinθ2-sinθ1圖像斜率倒數表示折射率，由圖像可得，斜率k=0.450.72=0.625，則折射率n=1k=10.625=1.6.

（3）根據題意，在實驗過程中畫出界面a后，不小心將玻璃磚向上平移了一些，導致界面a′畫到圖中虛線位置，而在作光路圖時界面a仍為開始所畫的，如圖7所示，由圖可知，入射角i不變，導致折射角r偏小，則所測得的折射率將偏大.

【點評】從圖6可以看出，sinθ2與sinθ1成線性關系，其圖像斜率倒數表示折射率.本題中，sinθ2與sinθ1有直接的線性關系，無需進行轉化，直接根據圖像斜率的物理意義即可解決問題.

三、間接建立線性關系處理實驗數據

高中物理實驗數據的處理中，有很多物理量之間并沒有直接的線性關系，例如，“探究物體的加速度與力、質量的關系”的實驗中a與m的關系等，這類非線性關系給數據的處理帶來了不便，需要對物理量進行合理的轉化，如倒數轉化、平方轉化和其它綜合性轉化等.

1.單倒數轉化建立線性關系

【例3】在探究氣體壓強與體積關系的實驗中，某興趣小組設計了如圖8的實驗裝置.已知重力加速度為g，注射器氣密性和導熱良好且外界環(huán)境溫度保持不變，不計一切摩擦.

（1）用刻度尺測得注射器刻度上40mL到50mL的長度為1cm，注射器活塞的橫截面積為S=""" cm2；

（2）取下沙桶，向右拉動活塞一段距離后，用橡膠套堵住注射孔，此時的氣體壓強為大氣壓p0；

（3）掛上沙桶，穩(wěn)定后，測出此時的氣體體積V和沙桶的總質量m，則氣體壓強的表達式p2=""""" ；（請選用p0、g、S、m表示）

（4）在沙桶內適量添加沙子，重復步驟（3）；

（5）以沙桶的總質量m為縱軸，以1V為橫軸，繪制m-1V圖像，如圖9所示，圖中橫軸截距為a，縱軸截距為b，可求得未懸掛沙桶時注射器內氣體的體積V0=""" ，實驗時當地的大氣壓強p0=""" .（請選用a、b、g、S表示）

【解析】（1）注射器活塞的橫截面積為S=VL=50-401cm2=10cm2.

（3）根據受力平衡可得p0S=p2S+mg，解得氣體壓強的表達式為p2=p0-mgS.

（5）根據玻意耳定律可得p0V0=p2V=（p0-mgS）V，整理可得m=-p0SV0g·1V+p0Sg，結合m-1V圖像可得p0SV0g=ba，p0Sg=b，解得V0=1a，p0=bgS.

【點評】根據玻意耳定律可得p0V0=p2V=（p0-mgS）V，可見，m與V之間并沒有直接的線性關系，如果將兩個物理量中的某一個物理量取倒數，即可找到他們的“新線性關系”.根據物理規(guī)律解得m=-p0SV0g·1V+p0Sg，根據圖像的斜率和截距即可求解.

2.雙倒數轉化建立線性關系

【例4】一研究性學習小組設計了如圖10所示的電路測電源的電動勢E、內阻r及待測電阻Rx.實驗器材有：待測電源（E，r）；電壓表（量程1.5V，內阻很大）；待測電阻Rx；電阻箱R（0～99.99Ω）；定值電阻R0=1.0Ω；單刀單擲開關K1，單刀雙擲開關K2，導線若干.

圖10

圖11

圖12

實驗步驟如下：

（1）將圖11中電路實物圖連接完整.

（2）先測Rx的阻值，將該同學的操作補充完整：

①閉合開關K1，將K2切換到1，調節(jié)R至適當阻值時讀出其示數R1和對應的電壓表示數U1；

②保持R示數不變，""" ，讀出電壓表示數U2；

③待測電阻Rx=""" （用所測量的量表示）.

（3）該小組同學已經測得Rx=4.5Ω，繼續(xù)測電源電動勢E和內阻r.具體操作如下：

①閉合開關K1，將K2切換到2，多次調節(jié)Rx，讀出多組電阻箱示數R及對應電壓表讀數U；

②由測得的數據繪出了如圖12所示的圖線，則1U-1R的直線方程為""" （用物理量符號表示）；

③由圖12求得電源電動勢E=""" V，內阻r=""" Ω（結果均保留兩位小數）.

【解析】（1）根據電路圖，實物連線如圖13所示.

圖13

（2）②保持R示數不變，將K2切換到2，讀出電壓表示數U2；③將K2切換到1時，有U1=I（R1+Rx），將K2切換到2時，有U2=IR1，聯立可得待測電阻為Rx=U1-U2U2R1；

（3）②閉合開關K1，將K2切換到2，根據閉合電路歐姆定律可得E=U+UR（Rx+R0+r），整理可得1U-1R的直線方程為1U=Rx+R0+rE·1R+1E.

③根據1U-1R圖像可得1E=0.7V-1，Rx+R0+rE=2.8-0.70.5A-1，解得E≈1.43V，r=0.50Ω.

【點評】因E=U+UR（Rx+R0+r），U與R之間沒有線性關系，受圖12的啟示，若對它們分別取倒數，得到方程1U=Rx+R0+rE·1R+1E，顯然，1U與1R之間存在著線性關系，根據斜率和截距即可求解相關物理量.

3.平方轉化建立線性關系

【例5】圖14是利用自由落體運動進行“驗證機械能守恒定律”的實驗.所用的打點計時器通以50Hz的交流電.

圖14""" 圖15

（1）甲同學按照正確的實驗步驟操作后，選出一條紙帶如圖15所示，其中O點為打點計時器打下的第一個點，A、B、C為三個計數點，用刻度尺測得OA=12.41cm，OB=18.60cm，OC=27.21cm，在計數點A和B、B和C之間還各有一個點.已知重物的質量為1.00kg，取g=9.80m/s2、在OB段運動過程中，重物重力勢能的減少量△Ep=""" J；重物的動能增加量△Ek=""" J（結果均保留三位有效數字）.

（2）甲同學多次實驗，以重物的速度平方v2為縱軸， 以重物下落的高度h為橫軸，作出如圖16所示的v2-h圖像，則當地的重力加速度g=""" m/s2.（結果保留3位有效數字）

圖16

【解析】（1）由題可知△Ep=mghOB=1×9.8×0.1860 J=1.82 J.根據動能的定義可知△Ek=12mv2B，而B點的瞬時速度vB=xAC4T=（27.21-12.41）×10-24×0.02m/s=1.85 m/s，所以△Ek=1.71 J.

（2）根據機械能守恒定律可知△Ep=△Ek，mgh=12mv2，即有2g=v2h，所以在v2-h圖像中，其斜率即為重力加速度的2倍，所以g=12k=12×5.80.3m/s2=9.67 m/s2.

【點評】如果不進行轉化，本題中的v與h間并沒有線性關系，將v平方后，根據v2與h之間的線性關系進行解題.

4.綜合轉化建立線性關系

【例6】兩只電壓表V1、V2，量程分別為0.25V和1.5V，為了準確測量它們的內阻（約為幾千歐），備有以下器材：電阻箱R（0～9.999Ω），滑動變阻器R′（0～20Ω），直流電源E（2V，內阻不計），開關S，導線若干.請完成下列填空：

圖17""" 圖18

（1）圖17為某位同學設計的實物連線圖，請在圖中直接修改存在的問題.

（2）在修改后的實物連線圖中，閉合S前，應將滑動變阻器R′的滑片調到最""" 端（選填“左”或“右”）.

（3）調節(jié)電阻箱的阻值R和變阻器R′的滑片位置，使電壓表V1的示數U1=0.250V，記錄此時電壓表V2的示數U2和阻值R；多次改變阻值R和滑片位置，但保持U1=0.250V不變，得到多組U2、R值.

圖19

（4）處理數據，得到如圖18所示的U2U1-1R關系圖線.根據圖線算出電壓表V1的內阻為""" kΩ，電壓表V2的內阻為""" kΩ（均取兩位有效數字）.

【解析】（1）該電路應該用分壓電路，如圖19所示.

（2）在修改后的實物連線圖中，閉合S前，應將滑動變阻器R′的滑片調到最左端.

（4）由電路圖可知，電壓表V2示數U2=IRV2=U1R+U1RV1RV2，整理得U2U1=RV2·1R+RV2RV1，

由U2U1-1R圖像可知，圖像斜率k=RV2=5.0-0.61.45kΩ=3.0kΩ，圖像縱軸截距b=RV2RV1=0.6，解得RV1=5.0kΩ.

【點評】綜合轉化沒有固定的模式，需要依據題設條件、設問的要求和物理規(guī)律等進行摸索，找到利用線性關系處理數據的最優(yōu)解.在本題中，U1、U2和R之間也沒有直接線性關系，需要根據物理規(guī)律找到這些量之間的關系：U2=IRV2=U1R+U1RV1RV2，但圖18給出了U2U1-1R的關系圖線，可想到將方程進行合理轉化，解出U2U1，再結合圖像即可求解.

根據以上實例可以看出，有的物理量與物理量之間有直接的線性關系，有的物理量與物理量之間并不存在直接的線性關系，需要進行合理的轉化才能進行數據的處理，這也是學生在解題過程中普遍存在的難點之一.從非線性關系向線性關系轉化是難點，但如果認真分析實驗原理，觀察題目所給的問題，可以從設問或圖像中找到轉化的思路.

四、建立線性關系處理實驗數據的思路

在高中物理實驗中，建立線性關系來處理實驗數據是一種非常重要且可靠的方法，學生要明白建立線性關系不僅是一種數據處理方法，更是深入理解物理現象的重要途徑．這類問題一般難度較大，需要學生不斷總結，理順解題思路方能解決問題．

首先，需要通讀題目，摸索命題意圖，選擇合適的變量，直接或間接建立線性關系是最關鍵的一步．通過對實驗原理的深入理解，找出那些可能存在線性關系的物理量．例如，在用安阻法測量電源電動勢和內阻時，需要分析電流與電阻是否存在線性關系，根據具體的電路和閉合電路的歐姆定律列出方程，進而尋找物理量之間的線性關系．

其次，當物理量之間存在直接的線性關系時，根據線性關系規(guī)律解題即可；當物理量之間不存在直接的線性關系時，需要進行合理轉化，找到線性關系后再進行分析．

再次，如果試題中有數據測量類的問題，實驗過程中要確保數據的準確性和精確性．仔細操作儀器，多次測量以獲取可靠的數據．當獲得一系列數據后，便可以著手構建線性關系．可以通過繪制圖像，將一個物理量作為橫軸，另一個作為縱軸．如果數據點大致分布在一條直線附近，就初步表明存在線性關系．

最后，建立線性關系后，便能利用它進行分析和計算．可以根據直線的斜率和截距等參數，深入理解物理規(guī)律．同時，還可以利用線性關系來檢驗實驗結果的合理性．如果與預期的線性關系相差過大，就需要重新審視實驗過程是否存在問題．

責任編輯" 李平安